\documentclass[a7paper]{kartei} \usepackage[utf8]{inputenc} %UTF8 \usepackage[OT1]{fontenc} \usepackage[scaled]{helvet} \usepackage[ngerman]{babel} % Neue Rechtschreibung \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{nicefrac} \usepackage{array} \usepackage{mathdots} \usepackage{cancel} \usepackage{units} \usepackage{setspace} \usepackage{booktabs} \usepackage{wasysym} % Deutsche Absatzformatierung \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{1em} % Oft verwendete spacer \def \bk {\hspace*{2mm}} \def \simplecenter {\vspace*{-10mm}\centering\vfil} % dies und das \newcommand*\imag{\mathbf{i}} \newcommand*\euler{\mathbf{e}} \newcommand*\leibd{\mathbf{d}} \newcommand*\leibdx{\mathbf{d}x} \newcommand*\leibdt{\mathbf{d}t} \newcommand*\bigbar{\!\!\left.\begin{matrix}\,\\\,\end{matrix}\right|} \def\rank{\mathop{\rm Rang}\nolimits} \def\kernel{\mathop{\rm Kern}\nolimits} \def\image{\mathop{\rm Bild}\nolimits} \def\arcsin{\mathop{\rm arc\,sin}\nolimits} \def\arccos{\mathop{\rm arc\,cos}\nolimits} \def\arctan{\mathop{\rm arc\,tan}\nolimits} \def\arccot{\mathop{\rm arc\,cot}\nolimits} \def\arsinh{\mathop{\rm arsinh}\nolimits} \def\arcosh{\mathop{\rm arcosh}\nolimits} \def\artanh{\mathop{\rm artanh}\nolimits} \def\arcoth{\mathop{\rm arcoth}\nolimits} \def\vdts{\lower1pt\hbox{$\smash{\vdots}$}} \def\ddts{\lower1pt\hbox{$\smash{\ddots}$}} \def\phant#1#2{\hbox to0pt{#1\hss}\phantom{\hbox{#2}}} \def\mphant#1#2{\phant{$#1$}{$#2$}} \newcommand*\dg{^{\circ}} % Wurzel mit haken \newcommand\hksqrt[2][]{\mathpalette\DHLhksqrtA{{#1}{#2}}} \def\DHLhksqrtA#1#2{\setbox0=\hbox{$#1\DHLhksqrtB#2$}\dimen0=\ht0 \advance\dimen0-0.2\ht0 %0.2 ist das Mass fuer die Hakenlaenge, relativ zum Inhalt der Wurzel \setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}% {\box0\lower0.4pt\box2}} \def\DHLhksqrtB#1#2{\def\a{#1}\def\b{}\ifx\a\b\sqrt{#2\,}\else\sqrt[#1]{#2\,}\fi} % Vektoren \def\Vec#1{\overrightarrow{#1}} \def\PVec#1{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage{circuitikz} \begin{document} \fach{Elektrotechnik 1 f"ur ET} \kommentar{by Clifford Wolf} \include{hinweis} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Rechtssystem bzw. \\ rechtsh"andiges Koordinatensystem} \small Ein kartesisches Koordinatensystem im $\mathbb R^3$ hei"st {\it Rechtssystem}, wenn die positive $x$-Achse zur positiven $y$-Achse gedreht die positive $z$-Achse im Sinn einer Rechtsschraube ergibt. Auch {\it Rechtsh"andiges Koordinatensystem}, denn wenn man Daumen und Zeigefinger der rechten Hand ausstreckt ("`Pistole"') und den Mittelfinger der rechten Hand normal zur Handfl"ache wegstreckt, so entspricht der Daumen der positiven $x$-Achse, der Zeigefinger der positiven $y$-Achse und der Mittelfinger der positiven $z$-Achse. \hfil\begin{tikzpicture} \draw[rotate=0,->] (0,0) -- (1,0) node[below] {$y$}; \draw[rotate=90,->] (0,0) -- (1,0) node[right] {$z$}; \draw[rotate=225,->] (0,0) -- (0.7,0) node[above] {$x\;\;$}; \draw (2,1.3) node[below right] {\begin{minipage}{5.5cm} \footnotesize (Das Arbeiten mit Vektoren im $\mathbb R^3$ wird in den Karten "`SBP Mathematik -- Aufbaukurs 2"' sowie "`Mathematik 2 f"ur ET"' bereits gr"undlich behandelt und daher hier nicht wiederholt.) \end{minipage}}; \end{tikzpicture} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Zeit und Raum} \small Die SI-Einheit der Zeit ist die Sekunde: $$ [t] = \unit[1]{s} $$ Die SI-Einheit der L"ange (Strecke) ist das Meter: $$ [l] = \unit[1]{m} $$ Strecken im Raum werden durch Vektoren des $\mathbb R^3$ angeschrieben. Zur vereinfachten Schreibweise wird h"aufig die Bezeichnung eines Punktes stellvertretend f"ur seinen Ortsvektor verwendet. z.B. Vektor $\vec s$ von $\mathcal P_1$ nach $\mathcal P_2$: $$ \vec s = \mathcal P_2 - \mathcal P_1 = \overrightarrow{\mathcal P_1 \mathcal P_2} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Bewegung und Beschleunigung} \small {\it Bewegung/Geschwindigkeit\/} ist die Orts"anderung pro Zeiteinheit: $$ \vec v = \frac{\leibd \mathcal P}{\leibdt} = \dot{\mathcal P}, \hskip1cm [\vec v] = \unitfrac[1]{m}{s} $$ {\it Beschleunigung\/} ist die Bewegungs"anderung pro Zeiteinheit: $$ \vec a = \frac{\leibd \vec v}{\leibdt} = \dot{\vec v} = \ddot{\mathcal P}, \hskip1cm [\vec a] = \unitfrac[1]{m}{s^2} $$ Hinweis: Im Englischen wird streng zwischen "`velocity"' (Bewegung als gerichtete Gr"o"se) und "`speed'" (Betrag der Geschwindigkeit) unterschieden. Im Deutschen ist diese sprachliche Unterscheidung nicht so streng. Umso wichtiger ist es, die Symbole f"ur die gerichtete Gr"o"se $\vec v$ und die ungerichtete Gr"o"se $v$ nicht durcheinander zu bringen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die Masse eines K"orpers} \small Die SI-Einheit der Masse ist das Kilogramm: $$ [m] = \unit[1]{kg} $$ Massen sind stets positiv und die Massen der Teilk"orper ergeben addiert die Masse des Gesamtk"orpers. Die Masse eines K"orpers "au"sert sich in zwei physikalischen Eigenschaften: \scriptsize \begin{itemize} \item Die tr"age Masse, die bewirkt, dass ein K"orper proportional zu seiner Masse bestrebt ist seine derzeitige Bewegung beizubehalten und \item die schwere Masse, die bewirkt, dass sich zwei K"orper proportional zum Produkt ihrer Massen (und indirekt proportional zum Quadrat ihrer Entfernung) gegenseitig anziehen. \end{itemize} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stoffmenge} Die {\it Stoffmenge\/} $n$ bezeichnet die Anzahl der Partikel in einem K"orper, wobei die exakte Definition von {\it Partikel\/} aus dem jeweiligen Kontext heraus verschieden ist (z.B. Anzahl der Atome, Ionen oder Molek"ule). $$ [n] = \unit[1]{mol} $$ Dabei ist $\unit[1]{mol}$ die Anzahl der Atome in $\unit[12]{g}$ des Kohlenstoffisotops $^{12}\mathrm C$. Diese Zahl wird durch die {\it Avogadro-Konstante\/} $N_\text{A}$ festgehalten: $$ N_\text{A} \approx \unitfrac[6{,}022\cdot10^{23}]{1}{mol} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stoffbezogene Masse} Die {\it stoffbezogene Masse\/} $M$ (auch {\it Atomgewicht\/} oder {\it Molekulargewicht\/}) gibt zu einem Stoff die Masse von $\unit[1]{mol}$ des Stoffes an. $$ M = \frac{m}{n}, \hskip1cm [M] = \unitfrac[1]{g}{mol} $$ Die stoffbezogene Masse ist fast exakt durch die Anzahl der Kernteilchen (Protonen und Neutronen) in einem Partikel des Stoffs multipliziert mit $\unitfrac[1]{g}{mol}$ gegeben. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Impuls und Kraft \\ kinetische Grundgleichung} Der {\it Impuls $\vec p$ eines K"orpers\/} ist das Produkt seiner Masse mit seiner Geschwindigkeit: $$ \vec p = m \vec v, \hskip1cm [\vec p] = \unitfrac[1]{kg\,m}{s} $$ Der Impuls ist eine Erhaltungsgr"o"se. Die "Anderungsrate des Impulses eines K"orpers wird {\it Kraft} (mit der Einheit {\it Newton}) genannt: $$ \frac{\leibd\vec p}{\leibdt} = \frac{\leibd m \vec v}{\leibdt} = m \vec a = \vec F, \hskip1cm [\vec F] = \unit[1]{N} = \unitfrac[1]{kg\,m}{s^2}$$ \small Die Beziehung $m \vec a = \vec F$ ("`Kraft ist, was Massen zu beschleunigen vermag."' -- Isaac Newton) nennt man {\it kinetische Grundgleichung}. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Gravitationsfelder} Jeder K"orper mit Masse $m$ erzeugt ein {\it Gravitationsfeld} das andere Massen in der Entfernung $r$ und Richtung $\vec e$ zu seinem Massenmittelpunkt hin beschleunigt: $$ \vec a = -G\frac{m}{r^2}\vec e $$ D.h. zwei K"orper mit den Massen $m_1$ und $m_2$ im Abstand $r$ "uben auf den jeweils anderen eine anziehende Kraft aus: $$ F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} $$ Dabei ist $G$ die Gravitationskonstante: $$ G \approx \unitfrac[6{,}673\cdot10^{-11}]{N\,m^2}{kg^2} = \unitfrac[6{,}673\cdot10^{-11}]{m^3}{kg\,s^2} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Freier Fall \\ Gewichtskraft} \small Auf der Erde wird jeder ungebremste K"orper vom Gravitationsfeld der Erde mit $$ g \approx \unitfrac[9{,}81]{m}{s^2} $$ senkrecht nach unten (zum Massenmittelpunkt der Erde hin) beschleunigt. \vfil D.h. ein K"orper mit der Masse $m$ "ubt eine Gewichtskraft von $$ F = m g $$ senkrecht nach unten (zum Massenmittelpunkt der Erde hin) aus. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Elektrische Ladung eines K"orpers} \small Die SI-Einheit der Ladung ist das Coulomb: $$ [Q] = \unit[1]{C} = \unit[1]{As} $$ Ladungen k"onnen positiv oder negativ sein. Die Ladungen der Teil\-k"orper ergeben addiert die Ladung des Gesamtk"orpers. Ladungen treten immer als Vielfaches der Elementarladung $e$ auf: $$ e \approx \unit[1{,}602\cdot10^{-19}]{C} $$ Ein Proton hat die Ladung $e$ und ein Elektron $-e$. Die Ladung eines K"orpers resultiert immer aus einem verh"altnism"a"sig sehr kleinem "Uberschuss von Protonen (positive Ladung) oder Elektronen (negative Ladung). Die Ladung ist eine Erhaltungsgr"o"se. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das Coulomb-Gesetz} \scriptsize Wir betrachten Punktladungen im Vakuum. Jede Ladung $Q$ erzeugt ein {\it elektrisches Feld}, das in einem Raumpunkt mit Abstand $r$ in der Richtung $\vec e$ die Feldst"arke $$ \vec E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec e, \hskip1cm [\vec E] = \frac{[\vec F]}{[Q]} = \unitfrac{N}{C} = \unitfrac{V}{m} = \unitfrac{kg\,m}{A\,s^3} $$ aufweist. Dieses Feld "ubt auf eine Probeladung $Q_\text{P}$ im Feld eine zur Feldst"arke proportionale Kraft $\vec F = Q_\text{P} \vec E$ aus. Daraus folgt das {\it Coulomb-Gesetz\/}, welches besagt, dass zwei Ladungen $Q_1$ und $Q_2$ auf die jeweils andere eine Kraft $$ F = \frac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon_0r^2}, \hskip1cm \varepsilon_0 \approx \unitfrac[8{,}854\cdot10^{-12}]{C^2}{N\,m^2} $$ aus"uben, wobei die Kraft anziehend ist wenn die Ladungen unterschiedliches Vorzeichen haben und absto"send wenn die Ladungen gleiches Vorzeichen haben. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Mechanische Arbeit, Energie} \small Mechanische Arbeit $A$ mit der Einheit Joule $$ A = \vec F \cdot \vec s, \hskip1cm [A] = \unit[1]{N\,m} = \unit[1]{J} $$ ist, wenn etwas die Strecke $\vec s$ bewegt wird und dabei die Kraft $\vec F$ aufgewendet wird. Energie $E$ (ebenfalls mit der Einheit Joule) ist allgemein die F"ahigkeit Arbeit zu leisten. Die Energie ist eine Erhaltungsgr"o"se. D.h. um z.B. $\unit[1]{J}$ mechanische Arbeit zu verrichten, muss $\unit[1]{J}$ einer anderen Energieform (z.B. elektrische Energie) aufgewendet werden und ist nachher in einer anderen Energieform (z.B. kinetische Energie des bewegten K"orpers oder W"armeenergie durch Reibung) vorhanden. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Leistung} Leistung $P$ (Einheit Watt) ist aufgewandte Energie (Arbeit) pro Zeiteinheit: $$ P = \frac{A}{t} = \frac{E}{t}, \hskip1cm [P] = \unitfrac[1]{J}{s} = \unit[1]{W} $$ Man unterscheidet zwischen der mittleren Leistung $\bar P = A/t$ und der Momentanleistung $P(t) = \leibd A(t) / \leibdt$. F"ur die elektrische Leistung gilt: $$ P = U I = I^2 R = U^2 / R, \hskip1cm \unit[1]{W} = \unit[1]{V} \cdot \unit[1]{A} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Periodische Schwingungen} Einen zeitabh"angigen Vorgang $u(t)$ mit $$ \exists \;T \in \mathbb R^+\!: \; \forall\; t \in \mathbb R\!: \; u(t) = u(t+T) \text, $$ d.h. mit einem Funktionsgraphen, der seinen Verlauf nach jeweils der Zeitdauer $T$ wiederholt, nennt man {\it periodische Schwingung\/} mit der {\it Periodendauer\/} $T$. (Die Periodendauer ist das kleinste $T \in \mathbb R^+$ das diese Bedinung erf"ullt.) Die Wiederholungsrate $f$ nennt man {\it Frequenz der Schwingung} (mit der Einheit Hertz): $$ f = 1/T, \hskip1cm [f] = \unitfrac[1]{1}{s} = \unit[1]{Hz} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Amplitude, Gleichanteil} \small Unter dem {\it Gleichanteil\/} $\bar u$ versteht man den Durchschnittswert der schwingenden Gr"o"se $u$ einer periodischen Schwingung "uber eine Periodendauer $T$: $$ \bar u = \frac{1}{T} \int_0^T u(t)\; \leibdt $$ Unter der {\it Amplitude\/} ({\it Spitzenwert, Scheitelwert\/}) $\hat u$ versteht man die maximale Abweichung der schwingenden Gr"o"se $u$ von ihrem {\it Gleichanteil\/} $\bar u$ "uber eine Periodendauer $T$: $$ \hat u = \max_{t \in [0, T)} |u(t) - \bar u| $$ Wenn Schwingungen untersucht werden, wird h"aufig nur der Fall $\bar u = 0$ (also ohne Gleichanteil) untersucht. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Sinusschwingungen, Kreisfrequenz} \small Aus verschiedenen Gr"unden werden h"aufig {\it Sinusschwingungen\/} ({\it sinusoidale Schwingungen, harmonische Schwingungen\/}) untersucht. Das sind Schwingungen der Form $$ u = \hat u \sin(\varphi_0 + \omega t) \text. $$ Dabei bezeichnet $\varphi_0$ die Startphase in Radiant. Oft ist die Phasenlage unerheblich und es wird vereinfachend $\varphi_0 = 0$ angenommen. Und $\omega = 2\pi f$ ist die {\it Kreisfrequenz\/} der Schwingung in $\unitfrac{1}{s} = \unitfrac{rad}{s}$. Bildlich gesprochen ist die Kreisfrequenz die "`Bahngeschwindigkeit am Einheitskreis"'. Durch die Verwendung der Kreisfrequenz statt der Frequenz ersparen wir uns ein allzu h"aufiges Anschreiben des Faktors $2\pi$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Wellen} \scriptsize Eine {\it Welle\/} ist die Ausbreitung einer Schwingung "uber die Kopplung schwingungsf"ahiger Systeme, sodass jeder von der Welle durchdrungene Raumpunkt eine Schwingung in der Zeit und gleichzeitig das von der Welle durchdrungene Medium eine "`Schwingung im Raum"' ausf"uhrt. Dabei "andert sich bei der "`Schwingung im Raum"' die Phasenlage "uber die Zeit. Die Geschwindigkeit mit der sich die Phasenlagen durch das Medium bewegen nennt man {\it Phasengeschwindigkeit\/} $c$ oder auch {\it Ausbreitungsgeschwindigkeit\/} der Welle. Wichtig: In der Regel bewegt sich nur die "`Information der Phasenlage"' mit dieser Geschwindigkeit und keine Materie! D.h. an der Raumkoordinate $x$ gilt zum Zeitpunkt $t$: $$ u = \hat u \sin\left(\frac{\omega}{c}x - \omega t\right) $$ \tiny\hrule (Die sog. Wellengleichung stellt einen Bezug zwischen den "`Schwingungen in der Zeit"' und der "`Schwingung im Raum"' "uber die 2. Ableitungen dieser Schwingungen her. Dabei tritt das Quadrat der Phasengeschwindigkeit als Faktor zwischen diesen 2. Ableitungen auf.) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Wellenl"ange \\ Kreiswellenzahl} Gegeben ist eine Welle (mit $x$ als Raumkoordinate): $$ u = \hat u \sin\left(\frac{\omega}{c}x - \omega t\right) $$ Der (kleinste) Abstand im Raum zwischen zwischen zwei gleichen Phasenlagen wird {\it Wellenl"ange\/} $\lambda$ genannt: $$ u(x,t) = u(x+\lambda,t) \bk\Longrightarrow\bk \lambda = \frac{c}{f} = \frac{2\pi c}{\omega} $$ Der Faktor $\omega/c$ wird als {\it Kreiswellenzahl\/} $k$ abgek"urzt: $$ k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda} \bk\Longrightarrow\bk c = \frac{\omega}{k} = \lambda f = \frac{\lambda}{T} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Raumladungsdichte \\ Fl"achenladungsdichte} \small Ist die Ladung $Q$ eines K"orpers gleichm"a"sig "uber das Volumen $V$ des K"orpers verteilt, so spricht man von einem {\it gleichf"ormig geladenen K"orper\/} mit der {\it Raumladungsdichte} $$ \varrho = \frac{Q}{V}, \hskip1cm [\varrho] = \unitfrac[1]{C}{m^3} \text. $$ Bei einem gut leitf"ahigen K"orper wird sich wegen der gegenseitigen Absto"sung gleicher Ladungen die Ladung $Q$ jedoch auf der Oberfl"ache $A$ des K"orpers verteilen. Sodass die Raumladungsdichte an Bedeutung verliert und statt dessen die Ladungskonzentration sinnvollerweise in der (mittleren) Fl"achenladungsdichte $\sigma$ gemessen wird: $$ \sigma = \frac{Q}{A}, \hskip1cm [\sigma] = \unitfrac[1]{C}{m^2} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Der elektrische Strom} Bewegen sich elektrische Ladungen durch einen Leiter so spricht man vom {\it elektrischen Strom\/} $I$. Die Einheit der {\it Stromst"arke\/} ist das {\it Ampere\/} (Coulomb pro Sekunde): $$ I = \frac{Q}{t}, \hskip1cm [I] = \unitfrac[1]{C}{s} = \unit[1]{A} $$ Der elektrische Strom ist keine geometrisch gerichtete Gr"o"se! Statt dessen bezieht sich das Vorzeichen des Stroms auf einen frei gew"ahlten Bezugssinn. Es ist stets darauf zu achten, dass der Bezugssinn aus dem Schaltplan klar erkennbar ist, sodass die Vorzeichen der Str"ome sinnvoll interpretiert werden k"onnen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Notation f"ur Momentanwerte \\ Newtonscher Fluxionspunkt} \sloppy Die Momentanwerte der Spannung ($U(t)$) und des Stroms ($I(t)$) werden h"aufig einfach mit den Kleinbuchstaben $u$ und $i$ abgek"urzt: $$ u := U(t) \hskip1cm i := I(t) $$ Da man in der Elektrotechnik (und der Physik) sehr oft mit Ableitungen nach der Zeit arbeitet, hat sich eingeb"urgert f"ur die Notation abk"urzend den "`Newtonschen Fluxionspunkt"' statt der Leibnitz-Schreibweise zu verwenden. Zum Beispiel: $$ I = C\frac{\leibd U}{\leibdt} \bk\Leftrightarrow\bk I = C\dot{U}, \hskip1cm \vec a = \frac{\leibd^2 \vec s}{\leibdt^2} \bk\Leftrightarrow\bk \vec a = \ddot{\vec s} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Elektrische Spannung} \tiny (Wir betrachten ein konservatives $\vec E$-Feld. D.h. eine Situation in der keine Induktionsvorg"ange stattfinden und daher $\text{rot} \vec E = 0$ gilt.) Ein $\vec E$-Feld "ubt eine Kraft $\vec F = \vec E Q$ auf eine im $\vec E$-Feld befindlichen Ladung $Q$ aus (Coulomb-Kraft). Wird nun diese Ladung im $\vec E$-Feld bewegt, so wird nach $A = \vec s \cdot \vec F$ Arbeit geleistet. D.h. wir k"onnen sagen, dass sich damit die potentielle Energie der Lage der Ladung ver"andert. Die St"arke des $\vec E$-Feldes kann also in potentieller Energie pro Ladungseinheit und Streckeneinheit gemessen werden: $$ [\vec E] = \unitfrac[1]{J}{Q\,m} = \unitfrac[1]{V}{m} \hskip1cm \text{mit } \unit[1]{V} = \unitfrac[1]{J}{C} $$ Vergleicht man (im elektrostatischen Fall) zwei Raumpunkte $\mathcal P_1$ und $\mathcal P_2$, so kann man durch Integration einer beliebigen Strecke zwischen diesen Punkten die {\it Spannung\/} $U$ (potentielle Energie pro Ladungseinheit, in der Einheit Volt) zwischen diesen Punkten bestimmen: $$ U = \int_{\mathcal P_1}^{\mathcal P_2} \vec E\,\leibd \vec s, \hskip1cm [U] = \unit[1]{V} = \unitfrac[1]{J}{C} $$ Durch willk"urliches Festlegen eines ausgezeichneten Raumpunktes mit $U = \unit[0]{V}$ ({\it Ground, Masse\/}) kann jedem Raumpunkt ein {\it Potential\/} in Volt zugeordnet werden. Die Spannung zwischen zwei Punkten ist dann die Potentialdifferenz zwischen diesen zwei Punkten. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Bezugssinn bei Strom und Spannung} \tiny Bei der Analyse von elektrischen Netzen werden frei gew"ahlte Bezugsinne f"ur Str"ome und Spannungen festgelegt. Diese werden (wenn nicht aus dem Kontext klar) in den Schaltplan als Pfeile eingezeichnet. \hfil \begin{circuitikz}[european voltage, european resistor] \draw (0,0) node[anchor=east] {$U_1$} to [R, o-o, i>_=$I$, v^>=$U$] (5,0) node[anchor=west] {$U_2$}; \end{circuitikz} \small Bei einer positiven Spannung zeigt der Spannnungspfeil vom hohen Potential zum niedrigen Potential ($U = U1 - U2$). Bei einem Spannungpfeil um ein Bauteil (wie in dem Bespiel) spricht man vom {\it Spannungsabfall am Bauteil\/}. Bei einem positiven Strom zeigt der Strompfeil in Richtung des Ladungsstroms. D.h. bei einem Ohm'schen Widerstand gilt $U=RI$ wenn Strom- und Spannungspfeil dieselbe Orientierung haben (und $U=-RI$ andernfalls). \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Richtungssinn bei Strom und Spannung} Der Richtungssinn des Stroms gibt die Richtung der tats"achlichen Verschiebung einer positiven Ladung an. Wenn Richtungssinn und Bezugssinn "ubereinstimmen, so hat die Stromst"arke ein positives Vorzeichen. Sind Richtungssinn und Bezugssinn verschieden, so hat die Stromst"arke ein negatives Vorzeichen. Analog dazu zur Spannung: F"allt die Spannung in Richtung des Bezugssinns ab, so sind Richtungssinn und Bezugssinn gleich und die Spannung ist positiv. Ist der Spannungsabfall entgegen des Bezugssinns so sind Richtungssinn und Bezugssinn verschieden und die Spannung ist negativ. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Gleich- und Wechselspannung \\ Gleich- und Wechselstrom} Bei einer zeitlich unver"anderten Spannung $u = \text{const.}$ bzw. einem zeitlich unver"anderten Strom $i = \text{const.}$ spricht man von einer {\it Gleichspannung\/} bzw. einem {\it Gleichstrom\/} (engl. DC). Bei einer zeitlich ver"anderten Spannung $u = U(t)$ bzw. einem zeitlich ver"anderlichen Strom $i = I(t)$ spricht man von einer {\it Wechselspannung\/} bzw. einem {\it Wechselstrom\/} (engl. AC). Bei einer Wechselspannung bzw. einem Wechselstrom, bei dem der Mittelwert nicht Null ist, nennt man diesen Mittelwert {\it Gleichanteil\/}. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ohmscher Widerstand} \small In einem gew"ohnlichen elektrischen Leiterabschnitt verhalten sich der Strom $I$ durch und Spannung $U$ am Leiter proportional zueinander: $$ U = R \cdot I $$ Die Proportionalit"atskonstante $R$ wird {\it ohmscher Widerstand} genannt und in der Einheit Ohm gemessen: $$ [R] = \unitfrac[1]{V}{A} = \unit[1]{\Omega} $$ Der Widerstandswert gibt quasi an, wie schlecht der Leiterabschnitt den Strom leitet, also wie viele Volt f"ur ein Ampere notwendig sind. Bauteile, die sich nur durch ihren konstanten Ohm'schen Widerstandswert auszeichnen werden einfach kurz {\it Widerstand} genannt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Faraday-Konstante} H"aufig ist aus der stoffbezogenen Masse $M$ (in $\unitfrac{g}{mol}$) und einer Anzahl von (z.B. freien) Elementarladungen pro Partikel $N$ eine massebezogene Ladungsdichte $\varrho$ zu errechnen. Das geschieht mit Hilfe der Avogadro-Konstante $N_\text{A}$ und der Elementarladung $e$: \begin{align*} N_\text{A} &\approx \unitfrac[6{,}022\cdot10^{23}]{1}{mol} \\ e &\approx \unit[1{,}602\cdot10^{-19}]{C} \\ \varrho &= e N_\text{A} N / M = F N / M \end{align*} Der Faktor $F = e N_\text{A}$ wird {\it Faraday-Konstante} genannt und betr"agt: $$ F \approx \unitfrac[96\,485]{C}{mol} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Kreis: \\ Umfang und Fl"ache} Ein Kreis ist durch seinen Radius $r$ bzw. seinen Durchmesser $d=2r$ gegeben. Der Umfang $U$ des Kreises ist: $$ U = \pi d = 2 \pi r $$ Die Fl"ache $A$ des Kreises ist: $$ A = \pi r^2 $$ Hierbei ist $\pi$: $$ \pi \approx 3{,}14159\dots $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Kugel: \\ Oberfl"ache und Volumen} Eine Kugel ist durch ihren Radius $r$ gegeben. Die Oberfl"ache $A$ der Kugel ist: $$ A = 4 \pi r^2 $$ Das Volumen $V$ der Kugel ist: $$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $$ Zusammenhang "uber Ableitung des Volumens nach $r$: $$ A = \frac{\leibd V}{\leibd r} = \frac{4\pi}{3} \frac{\leibd r^3}{\leibd r} = 4 \pi r^2 $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Radiant, Steradiant \\ Candela} \small Radiant ist ein dimensionsloses Winkelma"s. Ein Winkel $\alpha$ hat so viele Radiant (rad) wie der vom Winkel eingeschlossene Kreisbogen des Einheitskreises lang ist. Es gilt also f"ur den Vollkreis: $$ 360^\circ \mathrel{\hat{=}} \unit[2\pi]{rad} $$ Steradiant ist ein dimensionsloses Ma"s f"ur Raumwinkel. Ein Raumwinkel $\Omega$ hat so viele Steradiant (sr) wie die Oberfl"ache der vom Raumwinkel eingeschlossenen Kugelkappe der Einheitskugel gro"s ist. Der volle Raumwinkel betr"agt entsprechend $\unit[4\pi]{sr}$. Die Einheit der Lichtst"arke (Candela, cd) ist von der Dimension Leistung pro Raumwinkel: $$ \unit[1]{cd} = \unitfrac[\frac{1}{683}]{W}{sr} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Wirkungsgrad} Wenn eine Maschine Arbeit verrichtet, also Energie von einer Form in eine andere Form umwandelt, so wird stets ein Teil der Energie in eine ungew"unschte Form (meistens Abw"arme) umgewandelt. Die Leistung die dabei "`verloren"' geht nennt man Verlustleistung $P_\text{V}$. Sie ist die Differenz aus zugef"uhrter Leistung $P_\text{zu}$ und planm"a"sig abgegebener Leistung $P_\text{ab}$: $$ P_\text{V} = P_\text{zu} - P_\text{ab} $$ Der Quotient aus abgegebener und zugef"uhrter Leistung hei"st Wirkungsgrad $\eta$ (meist in Prozent angegeben): $$ \eta = \frac{P_\text{ab}}{P_\text{zu}} = 1 - \frac{P_\text{V}}{P_\text{zu}} \le 1 $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Koh"arentes Einheitensystem} Ein koh"arentes Einheitensystem ist ein Einheitensystem in dem jede Einheit entweder eine Basiseinheit ist oder sich als Potenzprodukt der Basiseinheiten (ohne konstante Faktoren) anschreiben l"asst. Beispiele f"ur koh"arente Einheitensysteme sind das SI-Ein\-heiten\-system und das CGS-Einheitensystem. \vfill\small F"ur Aufgabenstellungen aus der Elektrotechnik ist es oft sinnvoll von SI abweichend ein koh"arentes Einheitensystem mit den Basiseinheiten Meter, Sekunde, Volt und Ampere zu verwenden (die Einheiten bleiben dieselben wie in SI -- lediglich die Darstellungen als Potenzprodukte von Basiseinheiten "andern sich). \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{SI Basiseinheiten} \simplecenter \begin{tabular}{lccll} \toprule \multicolumn{3}{c}{SI-Basisgr"o"se} & \multicolumn{2}{c}{SI-Basiseinheit} \\ \cmidrule(r){1-3} \cmidrule(r){4-5} L"ange & $l$ & $L$ & der/das Meter & $\unit[1]{m}$ \\ Zeit & $t$ & $T$ & die Sekunde & $\unit[1]{s}$ \\ Masse & $m$ & $M$ & das Kilogramm & $\unit[1]{kg}$ \\ Stromst"arke & $I$ & $I$ & das Ampere & $\unit[1]{A}$ \\ Temperatur & $T$ & $\Phi$ & das Kelvin & $\unit[1]{K}$ \\ Lichtst"arke & $I_v$ & $J$ & das Candela & $\unit[1]{cd}$ \\ Stoffmenge & $n$ & $N$ & das Mol & $\unit[1]{mol}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \vskip1em \par \centerline{\small (Bei den Basisgr"o"sen steht in der Tabelle jeweils zuerst das} \par \centerline{\small g"angige Formelzeichen und danach das g"angige Dimensionssymbol.)} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Abgeleitete Gr"o"sen und Einheiten} \vbox{\begin{tabular}{lclr@{$\;=\;$}l} \multicolumn{2}{c}{Abgeleitete Gr"o"se} & \multicolumn{3}{c}{Abgeleitete Einheit} \\ \cmidrule(r){1-2} \cmidrule(r){3-5} Frequenz & $f$ & Hertz & $\unit[1]{Hz}$ & $\unitfrac{1}{s}$ \\ Kraft & $F$ & Newton & $\unit[1]{N}$ & $\unitfrac[1]{kg \cdot m}{s^2}$ \\ Druck & $\rho$ & Pascal & $\unit[1]{Pa}$ & $\unitfrac[1]{N}{m^2}$ \\ Energie & $E$ & Joule & $\unit[1]{J}$ & $\unit[1]{N\,m}$ \\ Leistung & $P$ & Watt & $\unit[1]{W}$ & $\unitfrac[1]{J}{s}$ \\ elektrische Spannung & $U$ & Volt & $\unit[1]{V}$ & $\unitfrac[1]{W}{A}$ \\ elektrische Ladung & $Q$ & Coulomb & $\unit[1]{C}$ & $\unit[1]{A\,s}$ \\ elektrischer Widerstand & $R$ & Ohm & $\unit[1]{\Omega}$ & $\unitfrac[1]{V}{A}$ \\ elektrischer Leitwert & $G$ & Siemens & $\unit[1]{S}$ & $\unitfrac{1}{\Omega}$ \\ elektrische Kapazit"at & $C$ & Farad & $\unit[1]{F}$ & $\unitfrac[1]{C}{V}$ \\ Induktivit"at & $L$ & Henry & $\unit[1]{H}$ & $\unitfrac[1]{V \cdot s}{A}$ \\ magnetischer Fluss & $\Phi$ & Weber & $\unit[1]{Wb}$ & $\unit[1]{V\,s}$ \\ magnetische Flussdichte & $B$ & Tesla & $\unit[1]{T}$ & $\unitfrac[1]{Wb}{m^2}$ \\ \bottomrule \end{tabular}} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{SI Vors"atze} \simplecenter \begin{tabular}{lr@{$\;\hat=\;$}llr@{$\;\hat=\;$}l} \multicolumn{3}{c}{\small Vors"atze f"ur Werte $< 1$} & \multicolumn{3}{c}{\small Vors"atze f"ur Werte $> 1$} \\ \cmidrule(r){1-3} \cmidrule(r){4-6} Yocto & $10^{-24}$ & y & Deka & $10^{1}$ & da \\ Zepto & $10^{-21}$ & z & Hekto & $10^{2}$ & h \\ Atto & $10^{-18}$ & a & Kilo & $10^{3}$ & k \\ Femto & $10^{-15}$ & f & Mega & $10^{6}$ & M \\ Piko & $10^{-12}$ & p & Giga & $10^{9}$ & G \\ Nano & $10^{-9}$ & n & Tera & $10^{12}$ & T \\ Mikro & $10^{-6}$ & $\mu$ & Peta & $10^{15}$ & P \\ Milli & $10^{-3}$ & m & Exa & $10^{18}$ & E \\ Zenti & $10^{-2}$ & c & Zetta & $10^{21}$ & Z \\ Dezi & $10^{-1}$ & d & Yotta & $10^{24}$ & Y \\ \bottomrule \end{tabular} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Vakuumlichtgeschwindigkeit \\ elektrische Feldkonstante \\ magnetische Feldkonstante} \small Die Vakuumlichtgeschwindigkeit $c_0$ betr"agt: $$ c_0 = \unitfrac[299\,792\,458]{m}{s} \approx \unitfrac[3\cdot10^8]{m}{s} $$ Die elektrische Feldkonstante $\varepsilon_0$ betr"agt: $$ \varepsilon_0 \approx \unitfrac[8{,}854\cdot10^{-12}]{A\,s}{V\,m} $$ Die magnetische Feldkonstante $\mu_0$ betr"agt: $$ \mu_0 = \unitfrac[4\pi\cdot10^{-7}]{V\,s}{A\,m} \approx \unitfrac[12{,}566\cdot10^{-7}]{V\,s}{A\,m} $$ Durch gegenseitiges Einsetzen der Maxwell-Gleichungen und Umformen in die Form einer Wellengleichung kommt man zur Maxwell-Beziehung: $$ \varepsilon_0 \mu_0 c_0^2 = 1 \hskip1em \Leftrightarrow \hskip1em c_0 = 1 / \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Gr"o"sengleichungen} Eine Gr"o"sengleichung ist eine Gleichung in der alle Gr"o"sen (Konstanten wie Variablen) durch Formelsymbole ausgedr"uckt werden. Eine Gr"o"sengleichung ist unabh"angig vom gew"ahlten Einheitensystem g"ultig. Gr"o"sengleichungen sind zum Beispiel: $$ U = R \cdot I, \hskip1cm t = CR \cdot \ln\left(\frac{U_\text{Bias}}{U_\text{Bias} - U_\text{C}}\right) $$ \vfill\hrule \small Achtung: Die Argumente f"ur viele Funktionen wie z.B. der obenstehende Logarithmus oder Winkelfunktionen m"ussen dimensionslos sein und diese Funktionen liefern auch dimensionslose Werte. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Zahlenwertgleichung} Eine Zahlenwertgleichung ist eine Gleichung in die (dimensionslose) Zahlenwerte von Gr"o"sen in vorgegebenen Einheiten eingesetzt werden m"ussen. Sie sind quasi "`Kochrezepte"' zum Ausrechnen konkreter Zahlenwerte. Zahlenwertgleichungen sind zum Beispiel: $$ l_{\unit{cm}} = 2{,}54 \cdot l_{\unit{Zoll}} $$ $$ f_{\unit{Hz}} = \frac{5033}{\sqrt{L_{\unit{mH}} \cdot C_{\unit{\mu F}}}} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{konzentriertes Stromkreiselement} \small Unter einem {\it konzentrierten Stromkreiselement\/} (konzentrierten Bauteil, engl. {\it lumped component\/}) versteht man ein idealisiertes Bauteil ohne r"aumliche Ausdehnung, dessen Verhalten nur "uber die Str"ome an und den Spannungen zwischen den Anschl"ussen beschrieben wird. Bei konzentrierten Stromkreiselementen gibt es keinen Zeitversatz zwischen einem Ereignis an einem Anschluss des Bauteils und den dazugeh"origen Auswirkungen an den anderen Anschl"ussen des Bauteils. \vfill\hrule\scriptsize Ein Bauteil kann insbesondere dann als konzentriertes Stromkreiselement angenommen werden, wenn seine tats"achliche r"aumliche Ausdehnung viel kleiner ist als die Wellenl"ange des am Bauteil anliegenden Signals. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{1. Kirchhoff'sche Regel \\ (Knotenregel)} Die Summe aller einem {\it Knoten\/} zuflie"senden Str"ome ist gleich der Summe der aus dem Knoten abflie"senden Str"ome. Wenn Bezugssinn und Richtungssinn eines Stroms verschieden sind so hat man es eben mit negativen zuflie"senden ($\hat=$ abflie"senden) sowie negativen abflie"senden ($\hat=$ zuflie"senden) Str"omen zu tun. Es ist also f"ur die G"ultigkeit der Knotenregel nicht notwendig, den Bezugssinn der Str"ome gleich ihrem Richtungssinn zu w"ahlen. \vfill\tiny Als {\it Knoten\/} wird in der Netzwerkanalyse der Zusammenschluss aller direkt durch Leiterbahnen o."A. verbundenen Bauteilanschl"usse verstanden. In der Netzwerkanalyse wird angenommen, dass diese direkten Verbindungen einen vernachl"assigbar kleinen elektrischen Widerstand aufweisen und die r"aumliche Ausdehnung sowie genaue Geometrie der Verbindungen keine Rolle spielen. Ein Knoten wird als perfekte "Aquipotentialfl"ache angenommen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{2. Kirchhoff'sche Regel \\ (Maschenregel)} Die Summe der Spannungsabf"alle in einer {\it Masche\/} ist immer gleich Null. Hierbei sind die Vorzeichen von Spannungsabf"allen deren Bezugssinne entgegen dem Umlaufsinn der Masche laufen, umzudrehen. \vfill\tiny Als {\it Masche\/} wird in der Netzwerkanalyse ein Pfad entlang der Bauteile ({\it Zweige\/}) von einem Knoten zum n"achsten bezeichnet, wenn der Startpunkt dieses Pfades auch der Endpunkt des Pfades ist. Bei Netzwerken mit planarer Darstellung nennt man eine Masche, die den Rand einer Zelle der planaren Darstellung entlang verl"auft, ein {\it Fenster}. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{G"ultigkeitsbereich der \\ Kirchhoff'schen Regeln} \small Die Kirchhoff'schen Regeln gelten nur unter folgenden Bedingungen: \begin{itemize} \item 1. Kirchhoff'sche Regel: \\ {\scriptsize Es gibt keine positiven oder negativen "Uberschussladungen in den Knoten oder den Bauteilen als Ganzes. D.h. eventuelle Verschiebestr"ome (zeitliche "Anderungsrate des elektrischen Flusses) sind auf das Innere von Bauteilen beschr"ankt. } \item 2. Kirchhoff'sche Regel: \\ {\scriptsize Es gibt keine zeitliche "Anderung des Magnetfeldes (d.h. keine induktiven Vorg"ange) au"serhalb der Bauteile. D.h. das elektrische Feld ist au"serhalb der Bauteile ein konservatives Feld.} \end{itemize} Diese Annahmen bilden die Grundlage der Netzwerkanalyse. Wir k"onnen i.d.R. von der G"ultigkeit dieser Annahmen ausgehen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Netzwerkanalyse} In der Netzwerkanalyse werden elektrische Netze (bestehend aus Knoten und Zweigen) wie folgt untersucht: {\bf 1.} Aufstellen einer {\bf Stromgleichung} pro Knoten nach der Knotenregel. Wegwerfen einer dieser Gleichungen (beseitigen einer linearen Abh"angigkeit). {\bf 2.} Aufstellen einer {\bf Spannungsgleichung} pro linear unabh"angiger Masche (z.B. pro Fenster bei planaren Netzen) nach der Maschenregel. \sloppy {\bf 3.} L"osen dieses Gleichungssystems nach den unbekannten Gr"o"sen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Widerstand und Leitwert} Ein Widerstandsbauteil wird durch seinen Widerstandswert $R$ (Resistanz) sowie das ohmsche Gesetz beschrieben: $$ U = RI \hskip1cm [R] = \unitfrac[1]{V}{A} = \unit[1]{\Omega} $$ Der Kehrwert des Widerstands wird Leitwert $G$ (Konduktanz) genannt und in Siemens gemessen: $$ G = \frac{1}{R} \hskip1cm [G] = \unitfrac[1]{A}{V} = \unit[1]{S} $$ Manche Schaltungen lassen sich einfacher mit Hilfe der Leitwerte der Bauteile als mit Hilfe ihrer Widerstandswerte beschreiben. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Serienschaltung von Widerst"anden} Zwei Widerst"ande in Serie werden wg. der Knotenregel immer vom selben Strom durchflossen. D.h. die U-I-Charakteristik der Serienschaltung von $R_1$ und $R_2$ ist $$ U = R_1I + R_2I = (R_1+R_2)I \text{.} $$ D.h. die Serienschaltung aus $R_1$ und $R_2$ zeigt das gleiche Verhalten wie ein einzelner Widerstand $R=R_1+R_2$. Einen solchen Widerstand nennt man dann die {\it Ersatzschaltung\/} f"ur die Serienschaltung aus $R_1$ und $R_2$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Parallelschaltung von Widerst"anden} An zwei parallel geschalteten Leitwerten f"allt wegen der Maschenregel die gleiche Spannung ab. D.h. die I-U-Charakteristik der Parallelschaltung von $G_1$ und $G_2$ ist $$ I = G_1U + G_2U = (G_1 + G_2)U \text. $$ D.h. es kann ein Ersatzleitwert $G = G_1 + G_2$ statt der Parallelschaltung verwendet werden und f"ur die Widerstandswerte $R_1=1/G_1$ und $R_2=1/G_2$ gilt f"ur den Ersatzwiderstand $R$: $$ R = \frac{1}{G} = \frac{1}{G_1 + G_2} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} =: R_1 || R_2 $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Spannungsteiler} Wird an die Serienschaltung aus $R_1$ und $R_2$ die Spannung $U$ angelegt, so f"allt an $R_1$ die Spannung $U_1$ und an $R_2$ die Spannung $U_2$ proportional zu den Widerstandswerten ab: $$ \frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}, \hskip2em U_1 = U\frac{R_1}{R_1+R_2}, \hskip2em U_2 = U\frac{R_2}{R_1+R_2} $$ \vfill\scriptsize Beweis: $R_1$ und $R_2$ werden beide vom selben Strom $I$ durchflossen. D.h. $U_1 = R_1I$, $U_2 = R_2I$ und $U = U_1 + U_2$. Durch Elimination von $I$ und $U$ gelangt man zur ersten oben stehenden Gleichung. Durch Elimination von $I$ und $U_2$ zur zweiten und durch Elimination von $I$ und $U_1$ zur dritten. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stromteiler} Wird durch die Parallelschaltung aus $G_1$ und $G_2$ ein Strom geleitet, so teilt sich dieser Strom direkt proportional zu den Leitwerten auf: $$ \frac{I_1}{I_2} = \frac{G_1}{G_2}, \hskip2em I_1 = I\frac{G_1}{G_1+G_2}, \hskip2em I_2 = I\frac{G_2}{G_1+G_2} $$ F"ur die entsprechenden Widerstandswerte $R_1 = 1/G_1$ und $R_2 = 1/G_2$ bedeutet das: $$ \frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}, \hskip2em I_1 = I\frac{R_2}{R_1+R_2}, \hskip2em I_2 = I\frac{R_1}{R_1+R_2} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ideale Gleichstrom- und \\ Gleichspannungsquellen} Eine ideale {\it Gleichstromquelle\/} liefert bei jeder Spannung den gleichen konstanten Strom. Eine ideale {\it Gleichspannungsquelle\/} liefert bei jedem Strom die gleiche konstante Spannung. \hfil \begin{tikzpicture} \draw[-latex] (-3,0) -- (4,0) node[above] {$U$}; \draw[-latex] (0,-1) -- (0,2) node[right] {$I$}; \draw[thick,red] (-3,1) -- (4,1) node[above left] {Stromquelle}; \draw[thick,blue] (1,-1) -- (1,2) node[right] {Spannungsquelle}; \end{tikzpicture} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Strom- und Spannungsquellen \\ mit Innenwiderstand} \scriptsize Eine Spannungsquelle mit seriellem Innenwiderstand bzw. eine Stromquelle mit parallelem Innenwiderstand kann vollst"andig "uber zwei verschiedene Strom-Spannungs-Tupel charakterisiert werden. Meistens geschieht diese Charakterisierung "uber den Kurzschlussstrom $I_\text{K}$ bei $U=0$ und der Leerlaufspannung $U_0$ bei $I=0$. Bei der Spannungsquelle mit Quellenspannung $U_\text{q}$ und seriellem Innenwiderstand $R_\text{i}$: $$ U_\text{q} = U_0 \hskip1cm R_\text{i} = U_0 / I_\text{K} $$ Bei der Stromquelle mit Quellenstrom $I_\text{q}$ und parallelem Innenwiderstand $R_\text{i}$: $$ I_\text{q} = I_\text{K} \hskip1cm R_\text{i} = U_0 / I_\text{K} $$ Von au"sen kann eine Spannungsquelle mit seriellem Innenwiderstand nicht von einer Stromquelle mit parallelem Innenwiderstand unterschieden werden. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Einfache Ersatzschaltungen f"ur Dioden} a) "`Einbahnstra"se f"ur den Strom"' b) wie a) aber mit {\it Schwellenspannung\/} ({\it Flussspannung\/}) c) zus"atzlich mit Serienwiderstand: $1/R = \Delta I / \Delta U$ \hfil \begin{tikzpicture} \begin{scope}[xshift=-3cm] \draw[-latex] (-1,0) -- (1,0) node[below] {$U$}; \draw[-latex] (0,-1) -- (0,2) node[left] {$I$}; \draw[red,thick] (-0.7,0) -- (0,0) -- (0,1.8); \draw (-0.5,-0.5) node {a)}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=0cm] \draw[-latex] (-1,0) -- (1,0) node[below] {$U$}; \draw[-latex] (0,-1) -- (0,2) node[left] {$I$}; \draw[red,thick] (-0.7,0) -- (0.5,0) -- (0.5,1.8); \draw (-0.5,-0.5) node {b)}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=+3cm] \draw[-latex] (-1,0) -- (1,0) node[below] {$U$}; \draw[-latex] (0,-1) -- (0,2) node[left] {$I$}; \draw[red,thick] (-0.7,0) -- (0.5,0) -- (0.8,1.8); \draw (-0.5,-0.5) node {c)}; \end{scope} \end{tikzpicture} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{L"osen einfacher \\ Schaltungen mit Dioden} \small Einfache Schaltungen mit Dioden k"onnen wie folgt gel"ost werden: {\bf 1.} Treffen einer willk"urlichen Annahme dar"uber, welche Dioden leiten. {\bf 2.} Ersetzen der leitenden Dioden mit Spannungsquellen und ggf. Serienwiderst"anden. Ersetzen der sperrenden Dioden mit Unterbrechungen. {\bf 3.} L"osen der Gleichungen zur resultierenden Schaltung. {\bf 4.} "Uberpr"ufen der resultierenden Str"ome durch die Dioden bzw. Spannungsabf"alle an den Dioden. Wenn die urspr"ungliche Annahme falsch war: Wiederholen mit neuer Annahme. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Erzeugerbezugssystem \\ Verbraucherbezugssystem \\ elektromotorische Kraft} Im {\it Erzeugerbezugssystem\/} zeigen die Bezugssinne des Stroms entgegen der Bezugssinne der Spannungsabf"alle. Im Erzeugerbezugssystem gibt die Leistung $P = UI$ die erzeugte elektrische Leistung an. D.h. wenn $P>0$ dann wird Energie nicht-elektrisch aufgenommen und elektrisch abgegeben. Im {\it Verbraucherbezugssystem\/} zeigen die Bezugssinne des Stroms in Richtung der Bezugssinne der Spannungsabf"alle. Im Verbraucherbezugssystem gibt die Leistung $P = UI$ die verbrauchte elektrische Leistung an. D.h. wenn $P>0$ dann wird Energie elektrisch aufgenommen und nicht-elektrisch abgegeben. Die von Quellen erzeugte elektrische Spannung wird manchmal auch {\it elektromotorische Kraft\/} (EMK) genannt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Leistung bei Wechselstrom- \\ und Wechselspannungsquellen \\ an Ohm'schen Lasten} \scriptsize Seien $u := U(t)$ bzw. $i := I(t)$ der Spannungs- bzw. Stromverlauf von Wechsel\-strom- bzw. -spannungsquellen mit der Periodendauer $T$. Dann ist die Leistung am Lastwiderstand $R$: $$ p = u \cdot i = u^2 / R = i^2 R $$ \vskip-0.5em Die durchschnittliche Leistung $\bar p$ bei einem sinusf"ormigen Verlauf $u = \hat u \sin(\omega t)$ ist somit: \vskip-2em $$ \bar p = \frac{1}{RT} \int_0^T\! u^2\, \leibdt = \frac{1}{RT} \int_0^T\! (\hat u \sin(\omega t))^2\, \leibdt = \frac{\hat u^2}{2R}$$ \vskip-0.5em Als {\it Effektivwert $U_\text{eff}$ der Spannung $u$\/} wird jene Gleichspannung bezeichnet, die an einem Ohm'schen Widerstand die gleiche durchschnittliche Leistung umsetzt wie die Wechselspannung $u$. D.h. f"ur einen sinusf"ormigen Verlauf gilt: $$ U_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T\! u^2\, \leibdt} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T\! (\hat u \sin(\omega t))^2\, \leibdt} = \frac{\hat u}{\sqrt{2}} $$ \vskip-0.5em (Analog dazu: Effektivwert des Stroms.) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Grundstromkreis \\ \hskip1em \\ Leistungsanpassung \\ \hskip1em \\ Wirkungsgrad im Grundstromkreis} \small Ein sog. {\it Grundstromkreis\/} ist ein einfacher Stromkreis aus einer Quelle $U_\text{q}$ bzw. $I_\text{q}$ mit Innenwiderstand $R_\text{i}$ und einem Lastwiderstand (Au"senwiderstand) $R_\text{a}$. Bei einem Grundstromkreis spricht man von {\it Leistungsanpassung} wenn die am Lastwiderstand umgesetzte Leistung $P_\text{a}$ maximal wird. Das ist bei $R_\text{i} = R_\text{a}$ der Fall. D.h. in diesem Fall f"allt die halbe Quellenspannung ($U_\text{q}$) an $R_\text{a}$ ab bzw. flie"st der halbe Quellenstrom ($I_\text{q}$) durch $R_\text{a}$. Der Wirkungsgrad $\eta = P_\text{a} / P_\text{q}$ der Quelle im Grundstromkreis steigt mit dem Wert des Lastwiderstands $R_\text{a}$: $$ \eta = \frac{R_\text{a}}{R_\text{a} + R_\text{i}}, \hskip2em P_\text{a} = U_\text{q}^2 \frac{R_\text{a}}{(R_\text{a} + R_\text{i})^2}, \hskip2em P_\text{q} = U_\text{q}^2 \frac{1}{R_\text{a} + R_\text{i}} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Spannungsteiler unter Last} \scriptsize Ein Spannungsteiler aus $R_1$ und $R_2$ besitzt folgende Ersatzschaltung: \hfil \begin{circuitikz}[scale=1.5,european voltage, european resistor] \begin{scope}[xshift=-1.8cm] \draw (0,0) node[ground] {} to[V,v=$U_0$,american voltage] (0,2) -- (1,2) to[R,l=$R_1$] (1,1) to[R,l=$R_2$] (1,0) -- (0,0); \draw (1,1) to[short, *-o] (1.5,1); \draw (0,1) ++(-0.2, 0.4) node {$+$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=1.7cm] \draw (0,0) node[ground] {} to[V,v=$\frac{U_0 R2}{R1+R2}$,american voltage] (0,1.5) to[R,l=$R_1 || R_2$,-o] (1.5,1.5); \draw (0,0.75) ++(-0.2, 0.4) node {$+$}; \end{scope} \draw (0.2,1) node {$\Longrightarrow$}; \end{circuitikz} D.h. der Spannungsteiler verh"alt sich wie eine Parallelschaltung von $R_1$ und $R_2$ gegen den unbelasteten Arbeitspunkt des Spannungsteilers. (Beweis: Umwandeln von $U_0$ und $R_1$ in eine Stromquelle mit Parallelwiderstand, Zusammenfassen der Widerst"ande, R"uckumwandeln in Spannungsquelle.) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ausn"utzen von Symetrieeigenschaften \\ bei der Netzwerkanalyse} \scriptsize Viele auf den ersten Blick komplizierte Schaltung k"onnen durch Ausn"utzen von Symetrieeigenschaften der Schaltung leicht gel"ost werden: {\bf Unendliche Kettenschaltungen:} Ersetzen der ganzen Kette ab dem zweiten Glied durch die zu dimensionierende Ersatzschaltung. So erh"alt man z.B. eine Gleichung der Form $R = f(R)$ die u.U. leicht gel"ost werden kann. {\bf Virtuelle Massen:} Wenn zwei identische Pfade mit gleichem Bezugspotential vom gleichen Strom durchflossen werden, so ergeben sich Knotenpaare die auf gleichem Potential liegen m"ussen. Diese Knotenpaare k"onnen bel. durch passive Zweige verbunden oder einfach kurzgeschlossen werden bzw. passive Zweige oder Kurzschl"usse zwischen diesen Knoten k"onnen entfernt werden. So kann sich u.U. eine leichtere Schaltung ergeben. {\bf Zusammenfassen von symetrischen Gr"o"sen:} Wenn aus Symetriegr"unden zwei Str"ome oder Spannungen identisch sein m"ussen, ergeben sich oft einfachere Gleichungssysteme, wenn f"ur diese Str"ome oder Spannungen die gleichen Variablen verwendet werden und die durch diesen Schritt abh"angig gewordene Gleichungen aus dem System gestrichen werden k"onnen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Dreieck-Stern-Transformation} \scriptsize Die Dreieckschaltung und die Sternschaltung sind zueinander "aquivialent: \hfil \begin{circuitikz}[european voltage, european resistor] \begin{scope}[xshift=-2cm] \draw[scale=0.7, transform shape] (210:2) node[left] {2} to[R,l=$R_{12}$,o-o] (90:2) node[above] {1} to[R,l=$R_{31}$,o-o] (330:2) node[right] {3} to[R,l=$R_{23}$,o-o] (210:2); \end{scope} \begin{scope}[xshift=+2cm] \draw[scale=0.7, transform shape] (90:2) node[left] {1} to[R,l=$R_{1}$,o-*] (0,0) (210:2) node[left] {2} to[R,l=$R_{2}$,o-*] (0,0) (330:2) node[right] {3} to[R,l_=$R_{3}$,o-*] (0,0); \end{scope} \draw(0,0) node {$\Longleftrightarrow$}; \end{circuitikz} $$ R_{12} = \frac{R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{3}R_{1}}{R_{3}}, \hskip2em R_{1} = \frac{R_{12}R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \hskip0.5cm $$ Die Berechung von $R_{23}$ und $R_{31}$ geschieht aus Symmetriegr"unden analog zur Berechnung von $R_{12}$. Ebenso werden $R_{2}$ und $R_{3}$ analog zu $R_{1}$ berechnet. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Dimensionieren einer Ersatzspannungsquelle \\ bzw. Ersatzstromquelle} \scriptsize Zum Dimensionieren der Ersatzspannungsquelle bzw. Ersatzstromquelle eines aktiven linearen Zweipols sind zwei der drei Parameter Innenwiderstand $R_\text{i}$, Leerlaufspannung $U_0$ und Kurzschlussstrom $I_\text{K}$ zu bestimmen. Der dritte Parameter kann -- wenn ben"otigt -- "uber die Beziehung $U_0 = R_\text{i} \cdot I_\text{K}$ ermittelt werden. Bestimmung von $R_\text{i}$: Ersetzen aller inneren Spannungsquellen durch Kurschl"usse ($U=\unit[0]{V}$) und aller inneren Stromquellen durch Unterbrechungen ($I=\unit[0]{A}$). Ermitteln des Ersatzwiderstandes. (Nur m"oglich bei Schaltungen mit konstanten -- d.h. nicht gesteuerten -- inneren Quellen.) Bestimmung von $U_0$ bzw. $I_\text{K}$: Aufstellen von Maschen- und Knotengleichungen f"ur offenen Ausgang (f"ur $U_0$) bzw. kurzgeschlossenen Ausgang (f"ur $I_\text{K}$). L"osen f"ur Spannung ($U_0$) bzw. Strom ($I_\text{K}$) zwischen den Ausgangsklemmen. Alternative Strategie (empfohlen z.B. bei Zweipolen mit inneren gesteuerten Quellen): Aufstellen einer Strom-Spannungs-Gleichung und Koeffizientenvergleich mit $U=U_0 - I R_\text{i}$ (Ersatzspannungsquelle) bzw. $I = I_\text{K} - U / R_\text{i}$ (Ersatzstromquelle). \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Methode der Ersatzquellen} \sloppy Oft ist zu einer linearen Schaltung das Verhalten (Strom und/oder Spannung) entlang eines bestimmten Zweiges gesucht. Diese Probleme k"onnen h"aufig mit der {\it Methode der Ersatzquellen\/} gel"ost werden: {\bf 1.} Entfernen des zu untersuchenden Zweiges. Die Anschlussstellen des entfernten Zweiges werden zu den Anschlussklemmen unserer Ersatzquelle. {\bf 2.} Umwandeln der verbleibenden Schaltung in eine Strom- oder Spannungsquelle mit Innenwiderstand. {\bf 3.} Wiederanschlie"sen des zu untersuchenden Zweiges an die Ersatzquelle. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{"Uberlagerungssatz nach Helmholtz \\ (Superpositionsprinzip)} \scriptsize In einer linearen Schaltung kann jeder Strom und jede Spannung als Linearkombination der Auswirkungen der (ungesteuerten) Quellen ausgedr"uckt werden. Daraus folgt, dass in so einem Netzwerk jeder Strom und jede Spannung berechnet werden kann indem die Auswirkung jeder Quelle auf die untersuchte Gr"o"se getrennt analysiert wird. Man geht dazu wie folgt vor: {\bf 1.} F"ur jede (ungesteuerte) Quelle wird ein Netzwerk gebildet in dem alle anderen (ungesteuerten) Quellen den Wert Null zugeordnet bekommen (d.h. Spannungsquellen werden durch Kurzschl"usse und Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzt). {\bf 2.} Die gesuchte Gr"o"se wird f"ur jedes der in {\bf 1.} erzeugten Netze getrennt berechnet. {\bf 3.} Die gesuchte Gr"o"se ist die Summe der in {\bf 2.} ermittelten Werte. Es ist nat"urlich auch m"oglich, die Quellen in Gruppen einzuteilen und die oben stehenden Schritte f"ur jede Gruppe von Quellen anstatt f"ur jede Quelle durchzuf"uhren. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Veranschaulichungen von \\ Vektorfeldern} \scriptsize {\bf Vektorpfeile:} Das Feld wird durch ein Raster von Pfeilen visualisiert deren L"ange und Ausrichtung dem lokalen Wert des Feldes entsprechen. Vorteil: Nahe an der numerischen Darstellung als $\vec f(x, y, z)$. Nachteil: Quellen und Senken sowie ob das Feld konservativ (wirbelfrei) ist ist nur schwer zu erkennen. {\bf Feldlinien:} Das Feld wird durch Feldlinien veranschaulicht. Eine Feldlinie beginnt stets in einer Quelle und endet stets in einer Senke. Die Ausrichtung der Feldlinien entspricht der lokalen Orientierung des Feldes und die Dichte der Feldlinien der lokalen Feldst"arke. Wirbel werden durch Feldlinien die Schleifen bilden und daher weder Anfang noch Ende haben visualisiert. {\bf Feldr"ohren:} "Ahnlich den Feldlinien wird der Raum in Feldr"ohren zerlegt. Der Querschnitt $A$ jeder Feldr"ohre wird an jeder Stelle von der gleichen Summe $\iint_A \vec f \cdot \leibd \vec n$ durchsetzt. D.h. ein besonders kleiner Feldr"ohrenquerschnitt steht f"ur eine besonders gro"se Feldst"arke. % Im Modell der Feldr"ohren kann man sich leicht vorstellen, wie eine Fl"ussigkeit durch die Feldr"ohren flie"st. Bei gleicher Fl"ussigkeitsmenge pro Zeiteinheit f"ur alle R"ohren entspricht dann die Str"omungsrichtung und -geschwindigkeit in jedem Raumpunkt dem lokalen Wert des Feldes. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Konservative Felder \\ und Potentiale} \tiny Ein {\it konservatives Feld} ist ein Feld, in dem keine geschlossenen Feldlinien (Schleifen, Wirbel) auftreten. D.h. in einem konservativen Feld hat jede Feldlinie einen Anfang (Quelle) und ein Ende (Senke). Manchmal jedoch muss Quelle und/oder Senke idealisierend als unendlich weit entfernt angenommen werden (z.B. $\vec E$-Feld einer einzelnen positiven Punktladung: Quelle ist die Punktladung und Senke die Innenfl"ache einer gedachten Hohlkugel mit unendlich gro"sem Radius und der Punktladung im Zentrum). Die wesentliche Eigenschaft eines konservativen Feldes ist, dass in einem konservativen Feld jedes geschlossene Wegintegral $\oint \vec E \cdot \leibd\vec s = 0$ ist. In einem konservativen Feld (wie z.B. dem $\vec E$-Feld im elektrostatischen Fall) liefert jedes Wegintegral vom Punkt $\mathcal P_1$ zum Punkt $\mathcal P_2$, unabh"angig davon welcher Weg von $\mathcal P_1$ nach $\mathcal P_2$ gew"ahlt wurde, den gleichen Wert. Damit kann durch willk"urliche Wahl von $\varphi(\mathcal P_0) = 0$ jedem Raumpunkt $\mathcal P$ eindeutig das {\it Potential} $\varphi(\mathcal P) = -\int_{P_0}^{P}\vec E\cdot\leibd\vec s$ zugewiesen werden. (Das negative Vorzeichen ist notwendig, da das $\vec E$-Feld per Konvention vom hohen Potential zum niedrigen zeigt.) Das Potential im $\vec E$-Feld ist das {\it elektrische Potential} und die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten im $\vec E$-Feld ist die {\it elektrische Spannung}. Das {\it elektrische Potential} entspricht der potentiellen Energie der Lage einer Ladung im $\vec E$-Feld. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Potentialfl"achen} \small Werden in einem konservativen Feld Punkte gleichen Potentials zu Fl"achen verbunden, ergeben sich abgeschlossene (oder den Raum in Halbr"aume teilende) Fl"achen -- die sogenannten {\it Potentialfl"achen\/} ({\it "Aquipotentialfl"achen\/}). Die Oberfl"achen der Potentialfl"achen stehen stets normal zu den Feldlinien bzw. den Feldvektoren des sie definierenden Feldes. Oft ist es zur besseren Veranschaulichung sinnvoll, zu einem Aufbau Potentialfl"achen zu "aquidistant gew"ahlten Potentialen zu konstruieren. Ein nicht stromf"uhrender Leiter ist immer feldfrei. Daher ist jede leitende, nicht stromf"uhrende Oberfl"ache eine Potentialfl"ache. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Homogene und inhomogene Felder \\ und Charakterisierung "uber Potentialfl"achen} \small Als {\it homogen\/} wird ein Feld bezeichnet, das in jedem Raumpunkt den gleichen Wert aufweist. In einem homogenen Feld sind die Potentialfl"achen zu "aquidistant gew"ahlten Potentialen parallele, r"aumlich "aquidistante Ebenen. Im Inneren eines Plattenkondensators mit ausreichend gro"sen Platten und ausreichend kleinem Plattenabstand herrscht ein ann"ahernd homogenes $\vec E$-Feld. Das Gegenteil des homogenen Feldes ist das inhomogene Feld. Insbesondere in der Umgebung scharfer Kanten und Spitzen leitender Oberfl"achen kommt es zu einer Stauchung der Potentialfl"achen und somit zu besonders gro"sen Feldst"arken. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Punktprodukt \\ Normalprojektion} \scriptsize Sei $\vec a, \vec b \in \mathbb R^3$ mit $\vec a := \begin{pmatrix} a_\text{x} \\ a_\text{y} \\ a_\text{z} \end{pmatrix}$, $\vec b := \begin{pmatrix} b_\text{x} \\ b_\text{y} \\ b_\text{z} \end{pmatrix}$ und $\gamma := \angle(\vec a, \vec b)$. Dann ist das {\it Punktprodukt\/} ({\it innere Produkt\/}, {\it skalare Produkt}) definiert als: $$ \vec a \cdot \vec b \;:=\; a_\text{x} b_\text{x} + a_\text{y} b_\text{y} + a_\text{z} b_\text{z} \;=\; \cos(\gamma) |a| |b| $$ Die Normalprojektion von $\vec a$ auf $\vec b$ ist damit $\vec a \cdot \vec b / |b|$, wobei der Faktor $1 / |b|$ wegf"allt wenn der Vektor $\vec b$ bereits auf die L"ange 1 normiert ist. \tiny Bei Oberfl"achenintegralen wird die mit dem Fl"acheninhalt des Fl"achenst"ucks gewichtete Komponente eines Vektorfeldes die durch ein Fl"achenst"uck durchtritt errechnet, indem das Punktprodukt aus Vektorfeld und Normalvektor des Fl"achenst"ucks errechnet wird, wobei die L"ange des Normalvektors auf den Fl"acheninhalt des Fl"achenst"ucks normiert wird. z.B.: $$Q = \oiint_A \vec D \cdot\leibd\vec n$$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Fluss und Flussdichte} Der {\it Fluss} ist allgemein das Punktprodukt zwischen Vektorfeld und Fl"ache. Z.B. ist der Gesamtfluss $Q$, der von einer konzentrierten Ladung ausgeht, gleich dem Fl"achenintegral im $\vec D$-Feld "uber eine die Ladung einschlie"sende geschlossene Oberfl"ache: $Q = \oiint_A \vec D \cdot\leibd\vec n$. In konservativen Feldern geht jeder Fluss von einer Quelle aus und endet in einer Senke. Die {\it Flussdichte} ist damit das betrachtete Vektorfeld. W"ahrend die Flussdichte eine Funktion des Raumes ist, ist der Fluss selbst keine geometrische Gr"o"se. Erst die Flussdichte verr"at uns, wie sich der Fluss auf den Raum aufteilt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Elektrischer Fluss und \\ elektrische Flussdichte} Elektrische Felder werden (im elektrostatischen Fall) von elektrischen Ladungen $Q$ verursacht. Da die Gr"o"se des von einer Ladung ausgehenden Flusses proportional zur Gr"o"se der Ladung ist, wird der Fluss selbst ebenfalls mit $Q$ bezeichnet. D.h. ein elektrischer Fluss $Q$ hat als Quelle eine Ladung $Q$ und als Senke eine Ladung $-Q$. Die elektrische Flussdichte hat das Formelzeichen $\vec D$ und die elektrische Ladungsdichte das Formelzeichen $\varrho$. Die Beziehung zwischen elektrischen Ladungen und elektrischen Fl"ussen (bzw. der Ladungsdichte und Flussdichte) wird "uber den {\it Divergenz-Operator} ausgedr"uckt: $$ \mathop{\rm div} \vec D = \varrho $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Satz vom elektrischen H"ullenflu"s \\ (Gau"s'scher Integralsatz)} Die elektrische Ladungsdichte $\varrho$ ist das Quellenfeld der elektrischen Flussdichte $\vec D$: $$ \varrho = \mathop{\rm div} \vec D $$ Nach dem Gau"s'schen Integralsatz folgt daher f"ur jedes Volumen $V$, seine geschlossene H"ulle $\partial V$ und die darin eingeschlossene Ladung $Q(V)$: $$ \iiint_V \varrho \,\leibd V = \oiint_{\partial V} \vec D \cdot \leibd\vec n = Q(V) =: \text{H"ullenflu"s} $$ D.h. ist ein H"ullenfluss f"ur ein Volumen 0 so befinden sich in diesem Volumen gleich viele positive wie negative Ladungen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Elektrische Feldst"arke \\ Permittivit"at} \small Ein elektrischer Fluss ruft in dem von ihm durchdrungenen Raum ein elektrisches $\vec E$-Feld hervor, das in der St"arke proportional zur elektrischen Flussdichte $\vec D$ ist und per Konvention (wie auch das $\vec D$-Feld) in Richtung der negativen Ladungen zeigt. (Das ist gleichzeitig jene Richtung in die eine positive Probeladung im $\vec E$-Feld beschleunigt werden w"urde.) Die mediumsabh"angige Proportionalit"atskonstante, die (im einfachen linearen, isotropen, zeitlich und r"aumlich homogenen Fall) $\vec D$-Feld und $\vec E$-Feld miteinander verkn"upft wird Permittivit"at $\varepsilon$ genannt: $$ \vec D = \varepsilon \vec E = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec E $$ Dabei ist $\varepsilon_0$ die elektrische Feldkonstante und $\varepsilon_r$ die {\it relative Permittivit"at\/} ({\it Permittivit"atszahl\/}) des Mediums. Vakuum hat die Permittivit"atszahl $\varepsilon_r = 1$ und andere Medien immer $\varepsilon_r > 1$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das $\vec E$-Feld einer Punktladung} \begin{sloppypar} Bei einer Punktladung ist $\mathop{\rm div} \vec D = \varrho \neq 0$ nur am Ort der Punktladung gegeben. D.h. alle Feldr"ohren m"ussen in der Punktladung beginnen und erstrecken sich von der Puntladung aus radial und gleichm"a"sig mit gleichem Raumwinkel $\Omega$ pro Feldr"ohre in den Raum. \end{sloppypar} D.h. im Abstand $r$ von der Punktladung hat jede Feldr"ohre den Querschnitt $\Delta A = r^2\Omega$. Der elektrische Gesamtfluss $Q$ teilt sich mit $Q\Omega / (4\pi)$ pro Feldr"ohre auf die Feldr"ohren auf. D.h. Es gilt f"ur Flussdichte und Feldst"arke im Abstand $r$: $$ |\vec D| = \frac{Q}{4 \pi r^2} \hskip1em \Rightarrow \hskip1em |\vec E| = \frac{Q}{4 \pi r^2 \varepsilon} \hskip1em \text{(wegen $\vec D = \varepsilon \vec E$)} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das $\vec E$-Feld im Plattenkondensator \\ Kapazit"at des Plattenkondensators} \scriptsize Das Feld in einem Plattenkondensator mit hinreichend gro"sen Platten und hinreichend kleinem Plattenabstand kann als homogen angenommen werden. Wenn sich auf der einen Platte die Ladung $Q$ und auf der anderen die entsprechende Gegenladung $-Q$ befindet, so betr"agt der elektrische Gesamtfluss $Q$ und teilt sich gleichm"a"sig auf den Plattenquerschnitt $A$ auf: $$ |\vec D| = \frac{Q}{A} \hskip1em \Rightarrow \hskip1em |\vec E| = \frac{Q}{\varepsilon A} \hskip1em \text{(wegen $\vec D = \varepsilon \vec E$)} $$ Die Spannung am Kondensator betr"agt somit abh"angig vom Plattenabstand $l$: $$ U = l\vec E = Q\frac{l}{\varepsilon A} \hskip1em \Rightarrow \hskip1em Q = \frac{\varepsilon A}{l}U = CU $$ Die Proportionalit"atskonstante $C = \varepsilon A/l$ mit $[C] = \unit[1]{Farad} = \unit[1]{F} = \unitfrac[1]{C}{V}$ wird {\it Kapazit"at} des Kondensators genannt. Es gilt generell f"ur die Kapazit"at an einem Kondensator: $$ Q = CU $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das $\vec E$-Feld im Kugelkondensator \\ Kapazit"at des Kugelkondensators} \small In einem Kugelkondensator sind die "Aqipotentialfl"achen konzentrische Kugelfl"achen. Potential $\varphi$ und Feldst"arke $\vec E$ im Abstand $r$ vom Mittelpunkt betragen (wie bei einer Punktladung) $$ \varphi = \frac{Q}{\varepsilon}\cdot\frac{1}{4 \pi r}, \hskip2em \vec E = -\frac{\leibd \varphi}{\leibd r} \vec e_r = \frac{Q}{\varepsilon}\cdot\frac{1}{4 \pi r^2} \vec e_r \text. $$ F"ur einen Kugelkondensator mit Innenradius $r_1$ und Au"senradius $r_2$ ergibt sich damit f"ur die Kapazit"at: $$ C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{\varphi(r_1) - \varphi(r_2)} = \frac{Q}{ \frac{Q}{4 \pi \varepsilon}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)} = $$ $$ = \frac{4 \pi \varepsilon}{\cancel{Q}} \cdot \frac{\cancel{Q}}{\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}} = \varepsilon\frac{4 \pi r_1 r_2}{r_2 - r_1} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Influenz} \small Wird ein zun"achst ungeladener elektrischer Leiter einem $\vec E$-Feld ausgesetzt, so wird es wegen der Kraftwirkung des $\vec E$-Feldes auf die Ladungstr"ager im Leiter zu einer Ladungsverschiebung im Leiter kommen. Diese Ladungsverschiebung dauert an, bis das durch die Ladungsverschiebung erzeugte $\vec E$-Feld im Leiter sich mit dem von au"sen angelegten $\vec E$-Feld in der Form "uberlagert, sodass die beiden Felder sich im Leiterinneren gegenseitig aufheben. W"urde man dann an diesem Punkt den Leiter normal zu dem von au"sen angelegten Feld in zwei Teile schneiden so erhielte man ein positiv und ein negativ geladenes Leiterst"uck. Diesen Vorgang der Ladungsverschiebung/Ladungstrennung in Leitern durch das "au"sere $\vec E$-Feld nennt man {\it Influenz}. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Dielektrika} \scriptsize Ein den elektrischen Strom nicht leitendes Medium wird allgemein {\it Dielektrikum\/} genannt. Im Mikroskopischen wird generell mit $\varepsilon = \varepsilon_0$ gearbeitet. Die von 1 abweichenden Permittivit"atszahlen verschiedenster Medien lassen sich durch Influenz der (z.T. stark eingeschr"ankt) beweglichen Ladungen im Medium erkl"aren. Zur einfachen makroskopischen Beschreibung einer kontinuierlichen Materie werden dann diese Effekte in einer Permittivit"atszahl $\varepsilon_r > 1$ zusammengefasst: $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ Im Kondensator haben die mit $\varepsilon_r > 1$ verbundenen Influenzerscheinungen den selben Effekt wie eine Verkleinerung des Plattenabstandes. Daher ist f"ur Kondensatoren mit besonders gro"ser Kapazit"at ein Dielektrikum mit besonders gro"sem $\varepsilon_r$ w"unschenswert. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Isotropheit, Linearit"at, Homogenit"at \\ und Frequenzunabh"angigkeit \\ dielektrischer Eigenschaften} \tiny Damit ein $\varepsilon \in \mathbb R$ mit $\vec D = \varepsilon \vec E$ ein Medium hinreichend bez"uglich seiner dielektrischen Eigenschaften beschreiben kann muss eine Reihe von Bedingungen erf"ullt sein: {\bf Isotropheit:} Ein Medium das in allen Raumrichtungen dieselben dielektrischen Eigenschaften aufweist hei"st {\it isotrop}. Insbesondere Materialien mit Gitterstrukturen wie z.B. Kristalle verhalten sich i.d.R. nicht so und sind daher {\it anisotrop}. {\bf Linearit"at:} Ein Medium, bei dem eine direkte Proportionalit"at zwischen $\vec D$ und $\vec E$ existiert, hei"st {\it linear}. Insbesondere bei Materialen mit hoher Permittivit"at gilt das nur in erster N"aherung f"ur kleine Feldst"arken. F"ur gro"se Feldst"arken m"ussen dann komplexere {\it nicht lineare} Modelle verwendet werden. {\bf Homogenit"at:} Materialien, die in jedem Raumpunkt dieselben Eigenschaften aufweisen hei"sen {\it homogen}. {\bf Frequenzunabh"angigkeit:} Materialien, die bei Wechselfeldern bei jeder Frequenz dieselben Eigenschaften aufweisen, sind {\it frequenzunabh"angig}. Materialien mit hoher Permittivit"at haben oft eine gro"se {\it Frequenzabh"angigkeit}. D.h. ggf. sind bei einer Angabe von $\varepsilon$ bzw. $\varepsilon_r$ eines Mediums auch die Rahmenbedingungen, unter denen dieses $\varepsilon$ bzw. $\varepsilon_r$ das Medium sinnvoll beschreibt, anzugeben und bei der Verwendung dieser Zahlen entsprechend zu beachten. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Kapazit"at des Plattenkondensators \\ bzw. des Kugelkondensators} \small F"ur den Plattenkondensator gilt: $$ C = \frac{Q}{U} = \varepsilon \frac{A}{l} $$ F"ur den Kugelkondensator gilt: $$ C = \frac{Q}{U} = \varepsilon \frac{4 \pi r_1 r_2}{r_2 - r_1} $$ Mit $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$, wobei $\varepsilon_0$ die elektrische Feldkonstante und $\varepsilon_r$ die Permittivit"atszahl des Mediums zwischen den Platten bzw. den Kugeloberfl"achen ist. $$ \varepsilon_0 \approx \unitfrac[8{,}854\cdot10^{-12}]{A\,s}{V\,m} = \unitfrac[8{,}854]{pF \cdot m}{m^2} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Der Kondensator als Bauteil} Ein Kondensator ist ein Bauteil mit zwei Anschl"ussen dessen wesentliche Eigenschaft seine Kapazit"at ist. \hfil \begin{circuitikz}[european voltage, european resistor] \draw (0,0) to [C, o-o, i>_=$I$, v^>=$U$] (3,0); \draw (2,0) node[below] {$C$}; \end{circuitikz} F"ur einen (idealen) Kondensator und die durch ihn geflossene Ladungsmenge $Q=\int \!I$ gilt: $$ Q = C U \hskip1em \Longleftrightarrow \hskip1em I = C \dot{U} $$ \scriptsize Mit {\it Ladung des Kondensators\/} ist stets die Ladungsverschiebung zwischen den Kondensatorplatten im Kondensatorinneren gemeint. Als ganzes ist der Kondensator nach au"sen hin nat"urlich elektrisch ungeladen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Sprungantwort einer \\ RC-Serienschaltung} \hfil \begin{circuitikz}[european voltage, european resistor] \draw (-3,0) to[R, o-, i>_=$I$, v^>=$U_\text{R}$] (0,0) to[C, -o, v^>=$U_\text{C}$] (3,0); \draw (-0.7,-0.1) node[below] {$R$}; \draw (2,-0.1) node[below] {$C$}; \end{circuitikz} \hfil \begin{tikzpicture} \draw[-latex] (0,0) -- (8,0) node[above] {$t$}; \draw[-latex] (0,0) -- (0,3) node[right] {$U$}; \draw (3pt,0.5) -- (-3pt,0.5) node[left] {$U_0$}; \draw (3pt,2.5) -- (-3pt,2.5) node[left] {$U_1$}; \draw (1,3pt) -- (1,-3pt) node[below] {$t_0$}; \draw (6,3pt) -- (6,-3pt) node[below] {$t_0 + 5\tau$}; \draw[dashed] [domain=0:7.5,samples=100] (0,0) plot function{x < 1 ? 0.5 : 2.5} node[above left] {$ U_\text{R} + U_\text{C} $}; \draw[thick, dotted, blue] [domain=0:7.5,samples=100] (0,0) plot function{x < 1 ? 0.5 : 2.5 - 2*exp(-(x-1))} node[below left] {$ U_\text{C} = U_1 - (U_1 - U_0) \euler^{-\frac{t - t_0}{\tau}} $}; \draw[thick, dotted, red] [domain=0:7.5,samples=100] (0,0) plot function{x < 1 ? 0 : 2*exp(-(x-1))} node[above left] {$ U_\text{R} = (U_1 - U_0) \euler^{-\frac{t - t_0}{\tau}} $}; % octave:1> 2.5 - 2*exp(-0.5) % ans = 1.2869 \draw (1.5,2.8) -- (1.5,1.2869) (2.5,2.5) -- (2.5,2.8); \draw (2.5,2.5) -- ++($ 1.5*(1.5,1.2869) - 1.5*(2.5,2.5) $); \draw (2.5,2.5) -- ++($ -0.2*(1.5,1.2869) + 0.2*(2.5,2.5) $); \draw[latex-latex] (1.5,2.7) -- node[above] {$\tau$} (2.5,2.7); % octave:2> 2.5 - 2*exp(-2) % ans = 2.2293 \draw (3,2.8) -- (3,2.2293) (4,2.5) -- (4,2.8); \draw (4,2.5) -- ++($ 1.5*(1.5,2.2293) - 1.5*(2.5,2.5) $); \draw (4,2.5) -- ++($ -0.2*(1.5,2.2293) + 0.2*(2.5,2.5) $); \draw[latex-latex] (3,2.7) -- node[above] {$\tau$} (4,2.7); \draw (4.2,2.7) node[right] {\dots}; \draw (5,1.25) node {$ \tau = R C $}; \end{tikzpicture} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Eigenschaften einer RC-Serienschaltung} \small Die Zeit $\tau = RC$ nennt man {\it Zeitkonstante\/} der RC-Serien\-schaltung. Die Frequenz $f_\text{g} = \frac{1}{\tau}$ bzw. die Kreisfrequenz $\omega_\text{g} = \frac{2 \pi}{\tau}$ nennt man {\it Grenzfrequenz\/} der RC-Serienschaltung. Bei Spannungsverl"aufen mit Frequenzen $f >> f_\text{g}$ f"allt fast die ganze Spannung am Widerstand ab (Hochpass). Bei Spannungsverl"aufen mit Frequenzen $f << f_\text{g}$ f"allt fast die ganze Spannung am Kondensator ab (Tiefpass). D.h. f"ur besonders hohe Frequenzen verh"alt sich der Kondensator wie ein Kurzschluss und f"ur besonders niedrige Frequenzen verh"alt sich der Kondensator wie eine Unterbrechung. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Berechnung der Zeitkonstanten \\ einer RC-Kombination} \small {\bf 1.} Zusammenfassen der Kapazit"aten zu einer einzelnen Ersatzkapazit"at $C$ (z.B. durch Identifizieren von Serien- und Parallelschaltungen). {\bf ACHTUNG:} Falls sich die Kapazit"aten nicht zu einer einzelnen Ersatzkapazit"at zusammenfassen lassen, so handelt es sich um einen Filter h"oherer Ordnung, der nicht einfach mit einer Zeitkonstante charakterisiert werden kann. {\bf 2.} Herausnehmen der Ersatzkapazit"at aus der Schaltung und bestimmen des Ersatzwiderstandes $R$ der restlichen Schaltung aus der Sicht der Ersatzkapazit"at. Dabei werden Stromquellen durch Unterbrechungen und Spannungsquellen durch Kurzschl"usse ersetzt. {\bf 3.} Berechnen der Zeitkonstante: $ \tau = R \cdot C $ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{RC Hochpassfilter} \hfil \begin{circuitikz}[european voltage, european resistor, scale=0.8] \draw (-2,2) to[C, o-o] (+2,2); \draw (-2,0) to[short, o-o] (+2,0); \draw (1,2) to[R] (1,0); \draw[-latex] (-2.5,2) -- node[left] {$ U_\text{E} $} (-2.5,0); \draw[-latex] (+2.5,2) -- node[right] {$ U_\text{A} $} (+2.5,0); \end{circuitikz} \small Durchl"assig f"ur hohe Frequenzen. Undurchl"assig f"ur niedrige Frequenzen. Weit unterhalb der Grenzfrequenz D"ampfung von $\unit[6]{dB}$ pro Oktave, d.h. die Ausgangsamplitude halbiert sich pro Halbierung der Frequenz. Hinreichend langsame Signale werden vom Hochpassfilter differenziert. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{RC Tiefpassfilter} \hfil \begin{circuitikz}[european voltage, european resistor, scale=0.8] \draw (-2,2) to[R, o-o] (+2,2); \draw (-2,0) to[short, o-o] (+2,0); \draw (1,2) to[C] (1,0); \draw[-latex] (-2.5,2) -- node[left] {$ U_\text{E} $} (-2.5,0); \draw[-latex] (+2.5,2) -- node[right] {$ U_\text{A} $} (+2.5,0); \end{circuitikz} \small Durchl"assig f"ur niedrige Frequenzen. Undurchl"assig f"ur hohe Frequenzen. Weit oberhalb der Grenzfrequenz D"ampfung von $\unit[6]{dB}$ pro Oktave, d.h. die Ausgangsamplitude halbiert sich pro Verdoppelung der Frequenz. Hinreichend schnelle Signale werden vom Tiefpassfilter integriert. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Serienschaltung \\ und Parallelschaltung \\ von Kondensatoren} \hfil \begin{circuitikz}[european voltage, european resistor] \draw (-2,0) to [C=$C_1$, o-] (-2,-1.5) to [C=$C_2$, -o] (-2,-3); \draw (-3,-1.5) node[left] {$ C_\text{S} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = C_1 || C_2 $}; \draw [yshift=0.3cm] (-7.5,-3) -- (-4,-3) -- (-2,-4) -- (0.5,-4); \begin{scope}[xshift=-6cm, yshift=-3.5cm] \draw (0,0) to[C=$C_3$, o-o] (0,-2); \draw (0,-0.2) -- (2,-0.2) to[C=$C_4$] (2,-1.8) -- (0,-1.8); \draw (3.5,-1.5) node[right] {$ C_\text{P} = C_3 + C_4 $}; \end{scope} \end{circuitikz} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Teilkapazit"aten} \scriptsize Allgemein besteht ein Kondensator mit $n$ Anschl"ussen mit den Ladungen $Q_1, \dots, Q_n$ aus $\frac{n(n-1)}{2}$ Teilkapazit"aten $C_{ij} = C_{ji}$ mit $i, j \in [1; n]$ und $i \neq j$. Wenn die Voraussetzungen zum Kirchhoff'schen Stromgesetz erf"ullt sind, kann zu jedem Zeitpunkt $Q_1 + Q_2 + \cdots + Q_n = 0$ angenommen werden. Wir bezeichnen den elektrischen Fluss zwischen den Anschl"ussen $i$ und $j$ als $Q_{ij} = -Q_{ji}$. D.h. f"ur die Ladung an dem Anschluss $i$, dass $Q_i = \sum_{j=1}^n Q_{ij}$ mit $Q_{ii} = 0$ und f"ur die Spannung zwischen den Anschl"ussen $i$ und $j$, dass $Q_{ij} = C_{ij} U_{ij}$. Damit kommt man z.B. f"ur einen Kondensator mit 4 Anschl"ussen zum folgenden Gleichungssystem (in dem wg. $Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 0$ eine Gleichung von den anderen abh"angig sein muss). \vskip-1.5em $$ \begin{matrix} Q_1 = {+Q_{12}} \; {+Q_{13}} \; {+Q_{14}} = {+C_{12} U_{12}} \; {+C_{13} U_{13}} \; {+C_{14} U_{14}} \\ Q_2 = {-Q_{12}} \; {+Q_{23}} \; {+Q_{24}} = {-C_{12} U_{12}} \; {+C_{23} U_{23}} \; {+C_{24} U_{24}} \\ Q_3 = {-Q_{13}} \; {-Q_{23}} \; {+Q_{34}} = {-C_{13} U_{13}} \; {-C_{23} U_{23}} \; {+C_{34} U_{34}} \\ Q_4 = {-Q_{14}} \; {-Q_{24}} \; {-Q_{34}} = {-C_{14} U_{14}} \; {-C_{24} U_{24}} \; {-C_{34} U_{34}} \\ \end{matrix} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Extremwerte des Potentials \\ und der elekt. Feldst"arke \\ au"serhalb der Leiter} In einem leeren, ladungsfreien Feldgebiet liegen die Extremwerte (Minima und Maxima) des elektrostatischen Potentials immer an den R"andern. In einem leeren, ladungsfreien Feldgebiet liegen die Maxima des Betrags der elektrischen Feldst"arke (und damit auch der elektrischen Flu"sdichte) im statischen Fall immer an den R"andern. \vfill \scriptsize Beweis: In beiden F"allen f"uhrt die Annahme des Gegenteils zu Widerspr"uchen beim Versuch ein entsprechendes Bild von Flu"sr"ohren und Potentialfl"achen zu erstellen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Eigenschaften von Feldlinien} \small Die Tangente an eine Feldlinie ist immer gleich orientiert wie der Feldvektor an der Stelle des Feldes. In 2-dimensionalen Darstellungen (Schnitte des Raums mit der Zeichenebene) k"onnen die R"ander von Flussr"ohren als Feldlinien interpretiert werden (und umgekehrt). Der Abstand zwischen den Feldlinien ist indirekt proportional zur Feldst"arke. Die Feldlinien stehen immer senkrecht auf die Potentialfl"achen. Feldlinien (wie Flussr"ohren) beginnen bei Quellen und enden bei Senken des Feldes. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das elektrische Feld \\ im Inneren stromfreier Leiter} \small Das Innere stromfreier Leiter ist immer feldfrei. Die Oberfl"ache des stromfreien Leiters ist eine Potentialfl"ache. Alle "Uberschussladungen in einem stromfreien Leiter lagern sich an der Oberfl"ache des Leiters ab. Sie werden durch die gegenseitige Absto"sung gleichnamiger Ladungen quasi an die Oberfl"ache verdr"angt. Die Innenfl"ache eines Hohlraumes in einem stromfreien Leiter ist ladungsfrei. Das gilt z.B. auch f"ur die Innenseite eines Bechers. Ein Hohlraum in einem stromfreien Leiter ist feldfrei, wenn sich keine Ladungen im Inneren des Hohlraumes befinden (Faraday-K"afig). \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das elektrische Feld \\ in der Umgebung stromfreier Leiter} Die Oberfl"ache eines stromfreien Leiters bildet eine Potentialfl"ache. Die $\vec E$-Feldlinien stehen senkrecht auf die Potentialfl"achen und damit auf die Oberfl"ache des stromfreien Leiters. Die Oberfl"ache eines insgesamt ungeladenen Leiters in einem $\vec E$-Feld ist Teil einer Potentialfl"ache, die sich auch durch den Raum um den Leiter rechtwinkelig zu den $\vec E$-Feldlinien fortsetzt. D.h. diese Potentialfl"ache ist nicht auf die Oberfl"ache des stromfreien Leiters beschr"ankt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Potentialfl"achen und \\ leitende Oberfl"achen} \small Jede stromfreie leitende Oberfl"ache bildet eine Potentialfl"ache. Wenn entlang einer Potentialfl"ache eine ungeladene stromfreie leitende Oberfl"ache (z.B. Metallfolie) eingezogen wird, so "andert sich dadurch an der Feldkonfiguration nichts. Wenn der Innenraum einer Potentialfl"ache durch ein beliebiges stromfreies Objekt mit leitender Oberfl"ache und der selben "Uberschussladung wie der urspr"ungliche Innenraum der Potentialfl"ache ersetzt wird, so "andert sich dadurch an der "au"seren Feldkonfiguration nichts. Ebenso kann der Au"senraum einer Potentialfl"ache mit einem Objekt mit leitender Oberfl"ache und gleicher "Uberschussladung wie der urspr"ungliche Raum gef"ullt werden ohne dass sich dadurch die Feldkonfiguration im Inneren der Potentialfl"ache "andert. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Funktionsprinzip des Faraday-K"afigs} Ein Raum kann vor {\bf "au"seren} $\vec E$-Feldern abgeschirmt werden, indem er mit einer leitenden Oberfl"ache umgeben wird. Ein "au"seres Feld wird dann durch Influenz innerhalb dieser Oberfl"ache ausgeglichen und der Innenraum des Faraday-K"afigs bleibt feldfrei. In den meisten F"allen reicht auch ein nicht zu weitmaschiges Drahtnetz als leitende Ummantelung aus. ACHTUNG: Die Abschirmung funktioniert nicht von innen nach au"sen! Eine "Uberschussladung im Inneren des K"afigs verursacht sehr wohl ein "au"seres $\vec E$-Feld! \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Funktionsprinzip des \\ Van de Graaff -- Generators} \scriptsize Der Innenraum eines Metallbechers ist immer ladungsfrei, weil die Ladungungen durch ihre gegenseitige Absto"sung an die Au"senseite des Bechers gedr"angt werden. D.h. wenn (z.B. mit einem Metallbl"attchen) Ladungen auf den Becher "uber\-tragen werden, dann macht es einen Unterschied, ob das Metallbl"attchen den Becher au"sen oder innen ber"uhrt: Bei einer Ber"uhrung au"sen werden nur so viele Ladungen "ubertragen, bis die Ladungsdichte am Metallbl"attchen und am Becher ausgeglichen sind. Bei einer Ber"uhrung innen werden alle Ladungen "ubertragen weil die Becherinnenseite ungeladen bleibt und der Ladungsausgleich erst abgeschlossen ist, wenn auch das Metallbl"attchen ungeladen ist. {\bf Bandgenerator von van de Graaf:} Auf ein Transportband werden von einer Spannungsquelle Ladungen aufgespr"uht oder aufgeschmiert. Das Transportband f"uhrt in das Innere einer Hohlkugel wo die Ladungen abgegriffen und auf die Kugeloberfl"ache "ubertragen werden. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das elektrische Feld der Erde} Die Erde tr"agt eine negative elektrische "Uberschussladung wodurch nahe der Erdoberfl"ache nach unten gerichtete Feldst"arken zwischen $\unitfrac[100]{V}{m}$ und $\unitfrac[300]{V}{m}$ auftreten. Im Mittel ist mit einem Richtwert von $\unitfrac[130]{V}{m}$ zu rechnen. Die Feldst"arke nimmt mit wachsendem Abstand zur Erdoberfl"ache schneller ab, als es bei einer geladenen Kugel im leeren Raum zu erwarten w"are. Das liegt daran, dass in der Lufth"ulle (auch nahe des Erdbodens aber vor allem in der Ionosph"are in $\unit[100]{km}$ bis $\unit[300]{km}$ H"ohe) der Erde mehr positiv geladene als negativ geladene Ionen zu finden sind und die Lufth"ulle damit positive "Uberschussladungen beinhaltet. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Elektrische Stromdichte \\ und elektrische Fl"achenstromdichte} Elektischer Strom $I$, der durch einen Leiter flie"st, verteilt sich auf den Leiterquerschnitt. Zur Erfassung der Art dieser Verteilung definieren wir die {\it elektrische Stromdichte\/} $\vec J$ (mit der SI-Einheit $\unitfrac{A}{m^2}$), die zu jedem Punkt im Leiter Richtung und lokale Intensit"at des Stroms angibt. Analog dazu wird f"ur Str"ome in leitenden Oberfl"achen die {\it Fl"achenstromdichte\/} $\vec K$ (mit der SI-Einheit $\unitfrac{A}{m}$) definiert. F"ur Gleichstr"ome (sowie niederfrequente Wechselstr"ome) in geraden Leitern ohne sprunghafte Geometrie"anderungen ist das $\vec J$-Feld bzw. $\vec K$-Feld im Leiter homogen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Resistivit"at \\ und Konduktivit"at} Die {\it Resistivit"at\/} ({\it spezifischer Widerstand\/}) $\rho$ gibt f"ur ein Material an, wie schlecht es den elektrischen Strom leitet. F"ur einen Leiter der L"ange $l$ mit der Querschnittsfl"ache $A$ gilt: $$ R = \rho \frac{l}{A}, \hskip2em [\rho] = \unit[1]{\Omega m} $$ Analog dazu gibt die {\it Konduktivit"at\/} ({\it spezifischer Leitwert\/}) $\gamma$ an, wie gut ein Material den elektrsichen Strom leitet: $$ G = \gamma \frac{A}{l}, \hskip2em \gamma = \frac{1}{\rho}, \hskip2em [\gamma] = \unitfrac[1]{S}{m} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das lokale ohmsche Gesetz} Analog zum globalen Ohm'schen Gesetz $U=RI$ bzw. $I=GU$ gilt lokal f"ur die elektrische Feldst"arke $\vec E$, die Resistivit"at $\rho$ und die Stromdichte $\vec J$: $$ \vec E = \rho \vec J \hskip2em \text{bzw.} \hskip2em \vec J = \gamma \vec E $$ Analog zur Form $P = UI = RI^2 = GU^2$ gilt f"ur die {\it Dichte der Verlustleistung\/} ({\it Dichte der Joule-Verluste}) $p = P/V$: $$ p = \rho J^2 = \gamma E^2 $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{$\vec E$-Feld und elektrisches \\ Potentialfeld von Punktladungen \\ Multipolentwicklung} F"ur das Feld einer Punktladung $Q$ gilt in einem Punkt $\mathcal P$ in der Entfernung $r$ und Richtung $\vec e_r$: $$ \varphi(\mathcal P) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon r}, \hskip2em \vec E(\mathcal P) = -\frac{\leibd \varphi}{\leibd r} \vec e_r = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon r^2} \vec e_r $$ \small Im Fall mehrerer Punktladungen "uberlagern sich die Felder der einzelnen Punktladungen (Superposition). Wenn eine Ansammlung von Punktladungen zu einer Punktladung zusammengefasst werden soll ist nicht nur die Gesamtladung ({\it Monopol}, {\it Ladungsmoment nullter Ordnung \/}) sondern sind auch die sog. {\it Ladungsmomente h"oherer Ordnung\/} (Dipol, Quadrupol, etc.) zu ber"ucksichtigen (Multipolentwicklung). \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Punktdipole \\ elektrisches Moment} Wird eine Anordnung von Punktladungen $Q_1, Q_2, \dots$ an den Orten $\mathcal P_1, \mathcal P_2, \dots$ zu einer Punktladung $Q = \sum Q_i$ am Ort $\mathcal P_0$ zusammengefasst, so wird das von der Ladungsanordnung ausgehende Dipolfeld durch eine einzelne vektorielle Gr"o"se, das sog. {\it elektrische Moment\/} $\vec p$ beschrieben: $$ \vec p = \sum \overrightarrow{\mathcal P_0 \mathcal P_i} \cdot Q_i $$ D.h. das elektrische Moment zeigt von den negativen Ladungen zu den positiven Ladungen. Das elektrische Moment (und damit das von der Ladungsanordnung ausgehende Dipolfeld) ist besonders gro"s, wenn die Ladungen besonders gro"s sind sowie wenn der Abstand der Ladungen besonders gro"s ist. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{$\vec E$-Feld und $\varphi$-Feld \\ des Punktdipols} \small Wir betrachten einen Punktdipol $\vec p = p \vec e_p$ im Ursprung des Koordinatensystems und das Dipolfeld am Ort $\vec r = r \vec e_r$. Sei dazu $\vartheta$ mit $\cos\vartheta = \vec e_p \cdot \vec e_r$ der Winkel zwischen $\vec p$ und $\vec r$. Es gilt an der Stelle $\vec r$: $$ \varphi = \frac{p}{4\pi\varepsilon}\frac{\cos\vartheta}{r^2} = \frac{p}{4\pi\varepsilon}\frac{\vec e_p \cdot \vec e_r}{r^2} $$ $$ \vec E = \frac{p}{4\pi\varepsilon}\frac{3\cos(\vartheta)\vec e_r - \vec e_p}{r^3} = \frac{3(\vec p \cdot \vec e_r)\vec e_r - \vec p}{4\pi\varepsilon r^3} $$ D.h. das Dipolfeld nimmt mit der Entfernung von der Ladungsanordnung um eine Potenz st"arker ab als das Feld einer Punktladung. Daher ist das Dipolfeld einer Ladungsanordnung insbesondere dann von Interesse, wenn die Anordnung insgesamt keine "Uberschussladung beinhaltet und das Dipolfeld daher nicht mit dem Feld einer Punktladung (Monopolfeld) "uberlagert wird. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Linienladungen \\ Linienladungsdichte} \small Eine kontinuierliche Verteilung einer "Uberschussladung entlang einer Kurve $\mathcal S$ wird {\it Linienladung\/} genannt. Die Gr"o"se $\tau = Q/l$ (mit $l$ f"ur die L"ange der Linie) wird {\it Linienladungsdichte\/} genannt. Es gilt f"ur das Feld der Linienladung am Ort $\mathcal P$ $$ \varphi(\mathcal P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \int_{\mathcal S} \frac{\tau}{r} \,\leibd S, \hskip2em \vec E(\mathcal P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \int_{\mathcal S} \frac{\vec e_r \cdot \tau}{r^2} \,\leibd S $$ mit $\vec r := \mathcal P - \mathcal S$ und $r := ||\vec r||_2$. F"ur den Sonderfall dass $\mathcal S$ eine Gerade und $\tau$ konstant ist gilt $$ \varphi(\mathcal P) = \frac{\tau}{2\pi\varepsilon} \ln\left(\frac{r_0}{r}\right), \hskip2em \vec E(\mathcal P) = \frac{\tau}{2\pi\varepsilon} \frac{\vec e_r}{r} $$ mit beliebigem $r_0$ zum Festsetzen des Bezugsortes. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Liniendipole} Das Feld einer Ansammlung von Linienladungen in Form paralleler Geraden kann durch einen Liniendipol beschrieben werden. Hierbei ist es sinnvoll sich die Linienladungen als Punkte $\mathcal P_1, \mathcal P_2, \dots$ auf einer Ebene vorzustellen die die Linienladungen normal schneidet. So kommt man f"ur die Anordnung auf das {\it l"angenbezogene elektrische Moment\/} $\vec p\,'$ im Punkt $\mathcal P_0$: $$ \vec p\,' = \sum \overrightarrow{\mathcal P_0 \mathcal P_i} \cdot \tau_i $$ Das $\varphi$-Feld und $\vec E$-Feld von $\vec p\,'$ im Punkt $\vec r$ mit $\mathcal P_0$ im Ursprung ist dann gegeben durch: $$ \varphi = \frac{p'}{2\pi\varepsilon}\frac{\vec e_p \cdot \vec e_r}{r} \hskip2em \vec E = \frac{3(\vec p\,' \cdot \vec e_r)\vec e_r - \vec p\,'}{2\pi\varepsilon r^2} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Fl"achenladungen} Das Feld einer auf einer Oberfl"ache $\mathcal A$ verteilten Ladung kann mit Hilfe der {\it Fl"achenladungsdichte\/} $\sigma = Q/A$ durch Integration ermittelt werden: $$ \varphi(\mathcal P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{\mathcal A} \frac{\sigma}{r} \,\leibd A, \hskip2em \vec E(\mathcal P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{\mathcal A} \frac{\vec e_r \cdot \sigma}{r^2} \,\leibd A $$ mit $\vec r := \mathcal P - \mathcal A$ und $r := ||\vec r||_2$. F"ur den Sonderfall dass $\mathcal A$ eine Ebene und $\sigma$ konstant ist entsteht ein homogenes Feld mit $$ \varphi(\mathcal P) = \frac{\sigma}{2\varepsilon} r, \hskip2em \vec E(\mathcal P) = \frac{\sigma}{2\varepsilon} \vec e_r $$ mit $\vec r$ als Normalabstand von der Ebene zum Punkt $\mathcal P$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Raumladungen} Das Feld einer "uber ein Volumen $\mathcal V$ verteilten Ladung kann mit Hilfe der {\it Raumladungsdichte\/} $\varrho = Q/V$ durch Integration ermittelt werden: $$ \varphi(\mathcal P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{\mathcal V} \frac{\varrho}{r} \,\leibd V, \hskip2em \vec E(\mathcal P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{\mathcal V} \frac{\vec e_r \cdot \varrho}{r^2} \,\leibd V $$ \vfill Die Formeln f"ur Linienladungen, Fl"achenladungen und Raumladungen folgen alle dem gleichen Schema: Die Linie, Fl"ache bzw. der Raum wir als Kontinuum von Punkten betrachtet und das Integral berechnet jeweils die Superposition der Felder dieser infinitesimal kleinen Punktladungen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ladungserhaltung \\ Vekn"upfung von $\vec J$- und $\varrho$-Feld} \small Es gilt Ladungserhaltung. Ladungen k"onnen nicht erzeugt oder vernichtet werden. Sie k"onnen sich nur in Form von Str"omen bewegen. D.h. f"ur jedes Volumen $\mathcal V$ und seine H"ulle $\partial \mathcal V$ gilt global: $$ I(\partial \mathcal V) = -\dot Q(\mathcal V) $$ Dieser Umstand kann auch lokal mit Hilfe der Stromdichte $\vec J$ und der Raumladungsdichte $\varrho$ ausgedr"uckt werden: $$ \mathop{\rm div} \vec J = \frac{\partial J_x}{\partial x} + \frac{\partial J_y}{\partial y} + \frac{\partial J_z}{\partial z} = -\dot\varrho $$ Der div-Operator ermittelt die Quellendichte eines Vektorfeldes. D.h. "uberall dort, wo ein elektrischer Strom entsteht muss die Ladungsdichte mit der Zeit abnehmen und "uberall dort wo ein elektrischer Strom endet nimmt die Ladungsdichte mit der Zeit zu. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Vekn"upfung von $\vec E$- und $\varphi$-Feld} \small Das $\vec E$-Feld zeig stets in Richtung des abfallenden Potentials: $$ \vec E = -\mathop{\rm grad}\varphi = -\frac{\partial \varphi}{\partial x}\vec e_x -\frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec e_y -\frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec e_z $$ Da bei mehrfacher Differentiation (hinreichend "`glatter"' Funktionen) die Reihenfolge der Differentiation unerheblich ist gilt: $$ \frac{\partial E_x}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \varphi}{\partial x} = -\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y \partial x} = -\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y} = -\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial E_y}{\partial x} $$ Und daher: $$ \frac{\partial E_z}{\partial y} = \frac{\partial E_y}{\partial z}, \hskip1em \frac{\partial E_x}{\partial z} = \frac{\partial E_z}{\partial x}, \hskip1em \frac{\partial E_y}{\partial x} = \frac{\partial E_x}{\partial y} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Der Satz von der elektrischen Umlaufspannung \\ $\,$ \\ Wirbelfreiheit konservativer Felder} \small Im elektrostatischen Fall ist die Spannung in jedem Umlauf Null. Damit ist das $\vec E$-Feld ein konservatives (d.h. wirbelfreies) Feld und kann mit Hilfe der Potentialtheorie untersucht werden. Aus der Definition des elektrischen Potentialfeldes wissen wir: $$ \frac{\partial E_z}{\partial y} = \frac{\partial E_y}{\partial z}, \hskip1em \frac{\partial E_x}{\partial z} = \frac{\partial E_z}{\partial x}, \hskip1em \frac{\partial E_y}{\partial x} = \frac{\partial E_x}{\partial y} $$ % Wir definieren den rot-Operator: $$ \mathop{\rm rot} \vec E := \begin{pmatrix} \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}, & \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}, & \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \\ \end{pmatrix}^T $$ % Und k"onnen somit den Satz von der elektrischen Umlaufspannung mit der Wirbelfreiheit als Vorraussetzung schreiben: $$ \mathop{\rm rot} \vec E = \vec 0 \hskip1em \Longrightarrow \hskip1em \oint_{\mathcal A} \vec E \cdot \leibd \vec s = 0 $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Materialgleichungen \\ im Zusammenhang mit dem $\vec E$-Feld} F"ur isotrope, lineare und zumindest in einer kleinen Umgebung zeitlich und r"aumlich homogene Dielektrika extistiert eine reelle Gr"o"se $\varepsilon$ (Permittivit"at) sodass: $$ \vec D = \varepsilon \vec E $$ F"ur isotrope, lineare und zumindest in einer kleinen Umgebung zeitlich und r"aumlich homogene Leiter extistiert eine reelle Gr"o"se $\gamma$ (Leitf"ahigkeit) sodass: $$ \vec J = \gamma \vec E $$ Im leeren Raum gilt $\varepsilon = \varepsilon_0$ und $\gamma = 0$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\JL{[\![} \def\JR{]\!]} \begin{karte}{Grenzfl"achen und \\ Sprungbedingungen} \small An der Grenzfl"ache zwischen zwei K"orpern $\mathcal V^+$ und $\mathcal V^-$ mit unterschiedlichen Materialeigenschaften tritt eine sprungartige Unstetigkeit der Feldgr"o"sen auf. Diese wird in Form einer Sprungbedingung angeschrieben. Sei z.B. $A^+$ der Grenzwert einer Gr"o"se bei N"aherung an die Grenzfl"ache in $\mathcal V^+$ und $A^-$ der Grenzwert der selben Gr"o"se bei N"aherung an die Grenzfl"ache in $\mathcal V^-$. Dann ist $$ \JL A \JR := A^+ - A^- $$ der {\it Sprung von $A$} beim "Ubertritt von $\mathcal V^-$ zu $\mathcal V^+$. Ist z.B. bekannt, dass sich die Tangentialkomponente des $\vec E$-Feldes beim "Ubertritt durch die Grenzfl"ache nicht "andert so schreibt man $$ \JL \vec E_t \JR = \vec 0 \text. $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Grenzfl"achen und \\ Spr"unge im $\vec J$-Feld} Wir betrachten die zur Grenzfl"ache normale Komponente $J_n$ von $\vec J$. Wenn $\JL J_n \JR \neq 0$ ist dann muss sich "Uberschussladung an der Grenzfl"ache ansammeln oder von ihr abgezogen werden: $$ \JL J_n \JR = -\dot\sigma $$ Da f"ur niederfrequente Vorg"ange i.d.R. $\dot\sigma \approx 0$ ist kann f"ur viele F"alle $\JL J_n \JR = 0$ angenommen werden. \vfill (Zum Vorzeichen von $J_n$: der Normalvektor der Grenzschicht ist von $\mathcal V^-$ nach $\mathcal V^+$ orientiert.) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Grenzfl"achen und \\ Spr"unge im $\vec D$-Feld} Wir betrachten die zur Grenzfl"ache normale Komponente $D_n$ von $\vec D$. Wenn $\JL D_n \JR \neq 0$ ist dann muss es Anteile im $\vec D$-Feld geben die in der Grenzfl"ache beginnen oder enden. D.h. die Grenzfl"ache ist eine Quelle oder Senke des $\vec D$-Feldes. Wegen $\mathop{\rm div} \vec D = \varrho$ wissen wir also: $$ \JL D_n \JR = \sigma $$ Ist die Grenzfl"ache ladungsfrei gilt daher $\JL D_n \JR = 0$ und $D_n$ ist beim "Ubertritt durch die Grenzfl"ache stetig. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Sprungbedingungen \\ im $\vec D$- und $\vec E$-Feld} An der Grenzfl"ache zwischen zwei isotropen Dielektrika gilt f"ur die Tangentialkomponenten $\vec D_t$ und $\vec E_t$ des $\vec D$- und $\vec E$-Feldes: $$ \vec D_t^+ = \vec D_t^- \, \frac{\varepsilon^+}{\varepsilon^-}, \hskip2em \JL E_t \JR = \vec 0 $$ An der Grenzfl"ache mit der Fl"achenladungsdichte $\sigma$ zwischen zwei isotropen Dielektrika gilt f"ur die Normalkomponenten $D_n$ und $E_n$ des $\vec D$- und $\vec E$-Feldes: $$ \JL D_n \JR = \sigma, \hskip2em E_n^+ = E_n^- \, \frac{\varepsilon^-}{\varepsilon^+} + \frac{\sigma}{\varepsilon^+} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Str"ome durch Grenzfl"achen} Wir betrachten einen Sprung $\JL \gamma \JR = \gamma^+ - \gamma^-$ zwischen zwei isotropen Leitern im quasistatischen Zustand mit $\dot \sigma = 0$. D.h. $\JL J_n \JR = 0$ und $\JL \vec E_t \JR = \vec 0$. Wegen $\vec J_t^\pm = \gamma^\pm \vec E_t$ ist i.a. $\JL \vec J_t \JR \neq \vec 0$. D.h. die Tangentialkomponente der Stromdichte ist unstetig. Wegen $J_n = \gamma^\pm E_n^\pm$ ist i.a. $\JL E_n \JR \neq \vec 0$. Und wegen $D_n^\pm = \varepsilon E_n^\pm$ folgt $\JL D_n \JR = \sigma \neq \vec 0$. D.h. an der Kontaktfl"ache stellt sich eine (i.a. sehr kleine) Fl"achenladung ein: $$ \sigma = \JL D_n \JR = \varepsilon \JL E_n \JR = \varepsilon\left(\frac{1}{\gamma^+} - \frac{1}{\gamma^-}\right) J_n $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}