\documentclass[a7paper]{kartei} \usepackage[utf8]{inputenc} %UTF8 \usepackage[OT1]{fontenc} \usepackage[scaled]{helvet} \usepackage[ngerman]{babel} % Neue Rechtschreibung \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{nicefrac} \usepackage{array} \usepackage{mathdots} \usepackage{cancel} \usepackage{units} \usepackage{setspace} % Deutsche Absatzformatierung \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{1em} % Oft verwendete spacer \def \bk {\hspace*{2mm}} \def \simplecenter {\vspace*{-10mm}\centering\vfil} % dies und das \newcommand*\imag{\mathbf{i}} \newcommand*\euler{\mathbf{e}} \newcommand*\leibd{\mathbf{d}} \newcommand*\leibdx{\mathbf{d}x} \newcommand*\leibdt{\mathbf{d}t} \newcommand*\bigbar{\!\!\left.\begin{matrix}\,\\\,\end{matrix}\right|} \def\arcsin{\mathop{\rm arc\,sin}\nolimits} \def\arccos{\mathop{\rm arc\,cos}\nolimits} \def\arctan{\mathop{\rm arc\,tan}\nolimits} \def\arccot{\mathop{\rm arc\,cot}\nolimits} \def\arsinh{\mathop{\rm arsinh}\nolimits} \def\arcosh{\mathop{\rm arcosh}\nolimits} \def\artanh{\mathop{\rm artanh}\nolimits} \def\arcoth{\mathop{\rm arcoth}\nolimits} \def\vdts{\lower1pt\hbox{$\smash{\vdots}$}} \def\ddts{\lower1pt\hbox{$\smash{\ddots}$}} \def\phant#1#2{\hbox to0pt{#1\hss}\phantom{\hbox{#2}}} \def\mphant#1#2{\phant{$#1$}{$#2$}} \newcommand*\dg{^{\circ}} % Wurzel mit haken \newcommand\hksqrt[2][]{\mathpalette\DHLhksqrtA{{#1}{#2}}} \def\DHLhksqrtA#1#2{\setbox0=\hbox{$#1\DHLhksqrtB#2$}\dimen0=\ht0 \advance\dimen0-0.2\ht0 %0.2 ist das Mass fuer die Hakenlaenge, relativ zum Inhalt der Wurzel \setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}% {\box0\lower0.4pt\box2}} \def\DHLhksqrtB#1#2{\def\a{#1}\def\b{}\ifx\a\b\sqrt{#2\,}\else\sqrt[#1]{#2\,}\fi} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{arrows} \begin{document} \fach{Mathematik 1 f"ur ET} \kommentar{by Clifford Wolf} \include{hinweis} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Peano Axiome der nat"urlichen Zahlen} \begin{itemize} \item 1 ist eine nat"urliche Zahl ($1 \in \mathbb N$). \item Jeder nat. Zahl $n$ ist genau ein Nachfolger $N(n)$ \\\bk zugeordnet. \item 1 ist kein Nachfolger. \item $n \neq m \bk \Longrightarrow \bk N(n) \neq N(m)$ \item Induktionsaxion: \\\bk $A(1) \land (A(i) \Rightarrow A(N(i))) \bk \Longrightarrow \bk A(n) \;\forall n \in \mathbb N$ \end{itemize} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{De Morgan'sche Regeln} Seien $A$, $B$ Aussagen, dann gilt: \vfill $$ \lnot(A \land B) \bk \Longleftrightarrow \bk \lnot A \lor \lnot B $$ $$ \lnot(A \lor B) \bk \Longleftrightarrow \bk \lnot A \land \lnot B $$ \vfill \null\hfill (Beweis mittels Wahrheitstafel.) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Direkter und indirekter Beweis} {\bf Direkter Beweis:} Um einen Satz in der Form $A \Rightarrow B$ zu beweisen wird die G"ultigkeit von $A$ angenommen und durch eine Kette von Schl"ussen die G"ultigkeit von $B$ gefolgert. \vfill {\bf Indirekter Beweis:} Es gilt allgemein $$ (A \Rightarrow B) \bk\Longleftrightarrow\bk (\lnot B \Rightarrow \lnot A) $$ (Bew. mit Wahrheitstafel). Um $A \Rightarrow B$ zu beweisen wird die G"ultigkeit von $\lnot B$ angenommen und durch eine Kette von Schl"ussen die G"ultigkeit von $\lnot A$ gefolgert. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Quantoren} {\bf Allquantor:} $\forall A: B$ \dotfill (F"ur alle $A$ gilt $B$.) \\ Zum Beispiel: $\forall n \in \mathbb N: n > 0$ {\bf Existenzquantor:} $\exists A: B$ \dotfill (Es gibt ein $A$ f"ur das $B$ gilt.) \\ Zum Beispiel: $\exists x \in \mathbb R: x \in \mathbb N$ {\bf Negation von Aussagen mit Quantoren:} \\ $\bullet$ Vertauschen von Allquantor und Existenzquantor \\ $\bullet$ Negieren der inneren Aussage Zum Beispiel: $$ \lnot(\forall n \in \mathbb N: n > 0) \bk\Leftrightarrow\bk \exists n \in \mathbb N: n \le 0 $$ $$ \lnot(\exists x \in \mathbb R: x \in \mathbb N) \bk\Leftrightarrow\bk \forall x \in \mathbb R: x \notin \mathbb N $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Vollst"andige Induktion} Um eine Aussage $A(n)$ f"ur alle nat"urlichen Zahlen $n > n_0$ zu beweisen kann man wie folgt vorgehen (Verfahren der vollst"andigen Induktion): \begin{itemize} \item Induktionsstart: Man zeigt die Richtigkeit von $A(n_0)$. \item Induktionsschluss: Man zeigt, dass aus der Richtigkeit von $A(n)$ f"ur $n \ge n_0$ die Richtigkeit von $A(n+1)$ folgt. \end{itemize} Der Induktionsschluss erfolg meist indem die Gleichung bzw. Ungleichung f"ur $A(n)$ durch "Aquivalenzumformung in die Form $A(n+1)$ gebracht wird. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Geometrische Summenformel und \\ geometrische Reihen} $$ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}, \bk\bk\bk \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1}{1-q} $$ \null\hfill(Der Grenzwert existiert nur wenn $|q| < 1$.) {\bf Beweis:} \\ $$ \left. \begin{matrix} s_n \!\!\!&=\, q^0 + \cancel{q^1} + .... + \cancel{q^{n-1}} + \cancel{\phant{$q^n$}{$q^{n+1}$}} \\ s_n \cdot q \!\!\!&=\, \cancel{q^1} + \cancel{q^2} + .... + \cancel{\phant{$q^n$}{$q^{n+1}$}} + q^{n+1} \end{matrix} \bk\right) - $$ $$ \Longrightarrow\bk s_n(1-q) = q^0 - q^{n+1} \bk\Longrightarrow\bk s_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Binomialkoeffizient} F"ur $n,k \in \mathbb N_0$ mit $k \le n$ is der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ definiert durch $$ \binom{n}{k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}\text{.} $$ {\bf Symetrieeigenschaften bzgl. $0 \le k \le n$:} $$ \binom{n}{k} = \binom {n}{n-k}, \bk\bk \binom{n}{0} = \binom{n}{n}, \bk\bk \binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n $$ {\bf Additionstheorem:} $$ \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Binomischer Lehrsatz} F"ur $x,y \in \mathbb R$ und $n \in \mathbb N$: $$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k \bk\bk\text{mit}\bk\bk \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ \null\hfill(Beweis mittels vollst"andiger Induktion nach $n$.) \vfill D.h. f"ur $(x + y)^n$ ist der Koeffizient von $x^ay^b$ gleich $\frac{n!}{a!b!}$. F"ur $(x+y+z)^n$ ist der Koeffizient von $x^ay^bz^c$ gleich $\frac{n!}{a!b!c!}$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Mengen und Mengenoperationen} \small {\it Menge} = Zusammenfassung wohlunterscheidbarer {\it Elemente} zu einem Ganzen. {\bf Aussagen "uber Mengen und Elemente:} \\ $x \in \mathbb M$ \dotfill $x$ ist Element von $\mathbb M$ \\ $\mathbb A \subseteq \mathbb B$ \dotfill $\mathbb A$ ist Teilmenge von $\mathbb B$ \\ $\mathbb A \subset \mathbb B$ \dotfill $\mathbb A$ ist (echte) Teilmenge von $\mathbb B$ {\bf Operation auf Mengen:} \\ $\mathbb A \cup \mathbb B$ \dotfill {\bf Vereinigung:} $x \in (\mathbb A \cup \mathbb B) \Leftrightarrow (x \in \mathbb A) \lor (x \in \mathbb B) $ \\ $\mathbb A \cap \mathbb B$ \dotfill {\bf Durchschnitt:} $x \in (\mathbb A \cap \mathbb B) \Leftrightarrow (x \in \mathbb A) \land (x \in \mathbb B) $ \\ $\mathbb A \setminus \mathbb B$ \dotfill {\bf Differenz:} $x \in (\mathbb A \setminus \mathbb B) \Leftrightarrow (x \in \mathbb A) \land (x \notin \mathbb B) $ \\ $\mathbb A \times \mathbb B$ \dotfill {\bf Produktmenge:} $(a, b) \in (\mathbb A \times \mathbb B) \Leftrightarrow (\mphant{a}{x} \in \mathbb A) \land (\mphant{b}{x} \in \mathbb B)$ {\bf Komplement bzgl. einer Grundmenge $\mathbb M$:} \dotfill \;$\mathbb A^\text{c} = M \setminus A$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Rechenregeln f"ur Mengenoperationen} Die Operationen $\cup$ und $\cap$ sind assoziativ und kommutativ. \vfil Die Operationen $\cup$ und $\cap$ sind zueinander distributiv: $$ \mathbb A \cup (\mathbb B \cap \mathbb C) = (\mathbb A \cup \mathbb B) \cap (\mathbb A \cup \mathbb C) $$ $$ \mathbb A \cap (\mathbb B \cup \mathbb C) = (\mathbb A \cap \mathbb B) \cup (\mathbb A \cap \mathbb C) $$ \vfil Die De Morgan'sche Regeln f"ur Mengenoperationen: $$ (\mathbb A \cup \mathbb B)^\text{c} = \mathbb A^\text{c} \cap \mathbb B^\text{c}, \hskip1cm (\mathbb A \cap \mathbb B)^\text{c} = \mathbb A^\text{c} \cup \mathbb B^\text{c} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Arten von Abbildungen} Eine Abbildung $f: A \to B,\; a \mapsto b$ heisst: \vskip-0.7em \vbox to0pt{ \vskip0.5em\hfill \begin{tikzpicture}[scale=0.3] \draw[fill=gray!20] (-2,0) circle (1.5); \draw[fill=gray!20] (+2,0) circle (1.5); \begin{scope}[xshift=-2cm] \draw[red,fill=red,rotate=0] (-0.7,0) coordinate (A1) circle (0.2); \draw[red,fill=red,rotate=120] (-0.7,0) coordinate (A2) circle (0.2); % \draw[red,fill=red,rotate=240] (-0.7,0) coordinate (A3) circle (0.2); \end{scope} \begin{scope}[xshift=+2cm] \draw[blue,fill=blue,rotate=0] (-0.7,0) coordinate (B1) circle (0.2); \draw[blue,fill=blue,rotate=120] (-0.7,0) coordinate (B2) circle (0.2); \draw[blue,fill=blue,rotate=240] (-0.7,0) coordinate (B3) circle (0.2); \end{scope} \draw[-latex] (A1) -- (B1); \draw[-latex] (A2) -- (B2); \end{tikzpicture}\hskip1.5em\null \vss} {\bf 1. injektive Abbildung:} \\ zu jedem $b$ gibt es {\bf maximal} ein $a$ \\ (z.B.: $b = 2a$ mit $a,b \in \mathbb N$) \vskip-0.7em \vbox to0pt{ \vskip0.5em\hfill \begin{tikzpicture}[scale=0.3] \draw[fill=gray!20] (-2,0) circle (1.5); \draw[fill=gray!20] (+2,0) circle (1.5); \begin{scope}[xshift=-2cm] \draw[red,fill=red,rotate=0] (-0.7,0) coordinate (A1) circle (0.2); \draw[red,fill=red,rotate=120] (-0.7,0) coordinate (A2) circle (0.2); \draw[red,fill=red,rotate=240] (-0.7,0) coordinate (A3) circle (0.2); \end{scope} \begin{scope}[xshift=+2cm] \draw[blue,fill=blue,rotate=0] (-0.7,0) coordinate (B1) circle (0.2); \draw[blue,fill=blue,rotate=120] (-0.7,0) coordinate (B2) circle (0.2); % \draw[blue,fill=blue,rotate=240] (-0.7,0) coordinate (B3) circle (0.2); \end{scope} \draw[-latex] (A1) -- (B1); \draw[-latex] (A3) -- (B1); \draw[-latex] (A2) -- (B2); \end{tikzpicture}\hskip1.5em\null \vss} {\bf 2. surjektive Abbildung:} \\ zu jedem $b$ gibt es {\bf mindestens} ein $a$ \\ (z.B.: $b = |a|$ mit $a \in \mathbb R$ und $b \in \mathbb R_0^+$) \vskip-0.7em \vbox to0pt{ \vskip0.5em\hfill \begin{tikzpicture}[scale=0.3] \draw[fill=gray!20] (-2,0) circle (1.5); \draw[fill=gray!20] (+2,0) circle (1.5); \begin{scope}[xshift=-2cm] \draw[red,fill=red,rotate=0] (-0.7,0) coordinate (A1) circle (0.2); \draw[red,fill=red,rotate=120] (-0.7,0) coordinate (A2) circle (0.2); \draw[red,fill=red,rotate=240] (-0.7,0) coordinate (A3) circle (0.2); \end{scope} \begin{scope}[xshift=+2cm] \draw[blue,fill=blue,rotate=0] (-0.7,0) coordinate (B1) circle (0.2); \draw[blue,fill=blue,rotate=120] (-0.7,0) coordinate (B2) circle (0.2); \draw[blue,fill=blue,rotate=240] (-0.7,0) coordinate (B3) circle (0.2); \end{scope} \draw[-latex] (A1) -- (B3); \draw[-latex] (A3) -- (B1); \draw[-latex] (A2) -- (B2); \end{tikzpicture}\hskip1.5em\null \vss} {\bf 3. bijektive Abbildung:} \\ zu jedem $b$ gibt es {\bf genau} ein $a$ \\ (z.B.: $b = -a$ mit $a,b \in \mathbb R$) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{"Aquivalenz und Abz"ahlbarkeit \\ von Mengen} Zwei Mengen $\mathbb A$ und $\mathbb B$ hei"sen {\bf "aquivalent}, wenn es eine bijektive Abbildung von $\mathbb A$ nach $\mathbb B$ gibt. Eine Menge hei"st {\bf abz"ahlbar}, wenn sie {\bf "aquivalent} zur Menge der nat"urlichen Zahlen $\mathbb N$ ist. Eine Menge hei"st {\bf "uberabz"ahlbar}, wenn sie weder endlich noch abz"ahlbar ist. \vfil Die Mengen $\mathbb N$, $\mathbb N_0$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$ (u.v.m.) sind abz"ahlbar. Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb R$ ist "uberabz"ahlbar. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Rationale und reelle Zahlen} \small Die rationalen Zahlen sind die Menge $\mathbb Q$ der ganzzahligen Br"uche. Jeder rationale Zahl kann auch als (endliche oder periodische) Dezimalzahl angeschrieben werden. $$ \mathbb Q = \left\{ \frac{a}{b} \;\big|\; a \in \mathbb Z,\; b \in \mathbb N \right\} $$ Die reellen Zahlen sind die Menge $\mathbb R$ {\bf aller} Zahlen auf der Zahlengeraden. \vskip-3em $$ \mathbb Q \subset \mathbb R $$ Diejenigen reellen Zahlen die nicht in den rationalen Zahlen enthalten sind werden irrationale Zahlen genannt. Beispiele: $\sqrt{2}$, $\pi$, $\euler$ $\mathbb Q$ ist abz"ahlbar und $\mathbb R$ "uberabzaehlbar m"achtig. \\ (Beweis: 1. und 2. Cantor'sches Diagonalverfahren) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Intervallschachtelungsaxiom} \small {\bf Intervallschachtelung:} \\ Eine Folge von Intervallen f"ur die gilt: \\ $\bullet$ Jedes Intervall is im vorhergehenden enthalten \\ $\bullet$ Die Intervalll"ange konvergiert gegen 0 {\bf Intervallschachtelungsaxiom:} \\ Sei S eine Intervallschachtelung. Dann gibt es einen und nur einen Punkt der Zahlengeraden, der in allen Intervallen enthalten ist. {\bf Bisektionsverfahren:} \\ Verfahren zur Konstruktion einer Intervallschachtelung f"ur denn Fall das die nur die Umkehrfunktion bekannt ist (z.Bsp. f"ur $x = \sqrt{2} \Leftrightarrow x^2 = 2$): Es wird mit einem Intervall begonnen, in dem $x$ enthalten ist, und dieses Intervall wird in jeder Iteration halbiert. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Rechengesetzte f"ur die reellen Zahlen} \scriptsize {\bf Addition:} \\ $x+(y+z) = (x+y)+z$ \dotfill Assoziativgesetz \\ $x+y = y+x$ \dotfill Kommutativgesetz \\ $x+0 = x$ \dotfill 0 ist das neutrale Element \\ $x + (-x) = 0$ \dotfill Existenz des inversen Elements $(-x)$ {\bf Multiplikation:} \\ $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$ \dotfill Assoziativgesetz \\ $x \cdot y = y \cdot x$ \dotfill Kommutativgesetz \\ $x \cdot 1 = x$ \dotfill 1 ist das neutrale Element \\ $x \cdot x^{-1} = 1$ \dotfill Existenz des inversen Elements $x^{-1}$ {\bf Kombination von Addition und Multiplikation:} \\ $x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)$ \dotfill Distributivgesetz Allgemein nennt man eine algebraische Struktur mit diesen Eigenschaften einen {\bf K"orper}. D.h. $(\mathbb R, +, \cdot)$ ist ein K"orper. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ungleichungen mit reellen Zahlen} Zur Konstruktion einer Ordnungsstruktur in $\mathbb R$ wird $\mathbb R$ zun"achst in positive und negative Zahlen geteilt: $$ 0 \le x \bk\Longleftrightarrow\bk x \in \mathbb R^+_0, \bk\bk\bk 0 < x \bk\Longleftrightarrow\bk x \in \mathbb R^+ $$ F"ur alle Paare $x,y \in \mathbb R$ wird definiert: \vskip-1.5em $$ x \le y \bk\Longleftrightarrow\bk y = x + z, \bk\bk 0 \le z $$ \vskip-2.5em $$ x < y \bk\Longleftrightarrow\bk y = x + z, \bk\bk 0 < z $$ Die reellen Zahlen sind {\bf geordnet}. Das hei"st $\forall x,y,z \in \mathbb R$: $$ x \le x, \bk\bk x \le y \lor y \le x, \bk\bk x \le y \land y \le z \Longrightarrow x \le z $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Monotoniegesetze f"ur Ungleichungen} {\bf Addition (und Subtraktion):} \\ $\bullet$ \bk $ x \le y \bk\Longrightarrow\bk x + z \le y + z $ \\ $\bullet$ \bk $ x \le y,\; u \le v \bk\Longrightarrow\bk x + u \le y + v $ \\ $\bullet$ \bk $ x < y,\; u \le v \bk\Longrightarrow\bk x + u < y + v $ {\bf Multiplikation (und Division):} \\ $\bullet$ \bk $ x \le y,\; z \ge 0 \bk\Longrightarrow\bk x \cdot z \le y \cdot z $ \\ $\bullet$ \bk $ x \le y,\; z \le 0 \bk\Longrightarrow\bk x \cdot z \ge y \cdot z $ {\bf Kehrwert:} \\ $\bullet$ \bk $ 0 < x < y \bk\Longleftrightarrow\bk 0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x} $ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Betrag und Signum reeller Zahlen} Der Betrag einer reellen Zahl ist ihr Abstand vom Nullpunkt: $$ |x| = \left\{\begin{matrix} \mphant{ }{-}x & \text{wenn } x \ge 0 \\ \mphant{-}{-}x & \text{wenn } x < 0 \end{matrix}\right. $$ Das Signum einer reellen Zahl ist ihr Vorzeichen: $$ \mathop{\rm sign}\nolimits x = \left\{\begin{matrix} \mphant{ }{-}1 & \text{wenn } x > 0 \\ \mphant{ }{-}0 & \text{wenn } x = 0 \\ \mphant{-}{-}1 & \text{wenn } x < 0 \end{matrix}\right. $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die Dreiecksungleichung} $\forall x, y \in \mathbb R$: \vfil $$ | x \cdot y | = | x | \cdot | y | $$ $$ | x \pm y | \le | x | + | y | $$ \vfil \null \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die Gau"s-Klammer} F"ur $x \in \mathbb R$ bezeichnet $[x]$ bzw. $\lfloor x \rfloor$ die gr"oste ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist. Man nennt $[x]$ die {\bf Gau"s-Klammer-Funktion}. \vskip-0.5em \vbox to 0pt{\hfil \begin{tikzpicture} \draw[white] (-5,0) -- (+5,0); \draw (-4,2) node [below right] {\begin{minipage}{5cm}\small\bf Funktionsgraph \\ der Gau"s-Klammer:\end{minipage}}; \draw[->] (-3,0) -- (+3,0) node [right] {$x$}; \draw[->] (0,-2) -- (0,+2) node [right] {$[x]$}; \foreach \x in {-5,...,+5} { \draw ($ \x*(0.5,0) + (0,0.05) $) -- ++(0,-0.1); } \foreach \y in {-3,...,+3} { \draw ($ \y*(0,0.5) + (0.05,0) $) -- ++(-0.1,0); } \foreach \z in {-4,...,+4} { \draw[thick] ($ \z*(0.5,0.5) $) -- ++(0.5,0); \draw[thick,fill=black] ($ \z*(0.5,0.5) $) circle (2pt); \draw[thick,fill=white] ($ \z*(0.5,0.5) + (0.5,0) $) circle (2pt); } \end{tikzpicture} \vss} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Rechenregeln f"ur die Potenzfunktion} $\forall a, b, c \in \mathbb R$ mit $a > 0$: $$ a^b \cdot a^c = a^{b+c} $$ $$ \left( a^b \right)^c = a^{b \cdot c} $$ $$ a^{-b} = \frac{1}{a^b} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Monotoniegesetzte der Potenz- \\ und Exponentialfunktion} {\bf Exponentialfunktion zur Basis $a > 1$:} $$ b_1 \le b_2 \bk\Longleftrightarrow\bk a^{b_1} \le a^{b_2} $$ {\bf Exponentialfunktion zur Basis $a$ mit $0 < a < 1$:} $$ b_1 \le b_2 \bk\Longleftrightarrow\bk a^{b_1} \ge a^{b_2} $$ {\bf Potenzfunktion mit Exponenten $b > 0$:} $$ 0 < a_1 \le a_2 \bk\Longleftrightarrow\bk a_1^{b} \le a_2^{b} $$ {\bf Potenzfunktion mit Exponenten $b < 0$:} $$ 0 < a_1 \le a_2 \bk\Longleftrightarrow\bk a_1^{b} \ge a_2^{b} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Beschr"anktheit von Mengen \\ Supremum und Infimum \\ Maximum und Minimum} \scriptsize Sei $\mathbb A \subset \mathbb R$: $\mathbb A$ hei"st {\bf nach oben beschr"ankt} wenn es eine Zahl ({\bf obere Schanke}) gibt die {\bf gr"osser} ist als alle Elemente von $\mathbb A$. $\mathbb A$ hei"st {\bf nach unten beschr"ankt} wenn es eine Zahl ({\bf untere Schranke}) gibt die {\bf kleiner} ist als alle Elemente von $\mathbb A$. $\mathbb A$ hei"st {\bf bechr"ankt} wenn $\mathbb A$ nach oben und nach unten beschr"ankt ist. Das {\bf Supremum} von $\mathbb A$ (sup $\mathbb A$) ist die kleinste obere Schranke von $\mathbb A$. Wenn sup $\mathbb A \in \mathbb A$ dann hei"st es das {\bf Maximum} von $\mathbb A$ (max $\mathbb A$). Das {\bf Infimum} von $\mathbb A$ (inf $\mathbb A$) ist die gr"osste untere Schranke von $\mathbb A$. Wenn inf $\mathbb A \in \mathbb A$ dann hei"st es das {\bf Minimum} von $\mathbb A$ (min $\mathbb A$). {\bf Vollst"andigkeit der reellen Zahlen:} \\ Jede nach oben beschr"ankte nicht leere Teilmenge von $\mathbb R$ besitzt ein Supremum. \\ Jede nach unten beschr"ankte nicht leere Teilmenge von $\mathbb R$ besitzt ein Infimum. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Charakterisierung von Punkten \\ in Teilmengen von $\mathbb R$} \scriptsize\vbox{ Sei $\mathbb A \subset \mathbb R$ und $x \in \mathbb A$. Sei weiters $K(x,\varepsilon)$ eine Epsilon-Umgebung um $x$ und $K_\text{r}(x,\varepsilon)$ eine reduzierte Epsilon-Umgebung um $x$: {\bf innerer Punkt:} \\ Es existiert ein $K(x,\varepsilon)$, so da"s $K(x,\varepsilon) \subset \mathbb A$. {\bf "ausserer Punkt:} \\ Es existiert ein $K(x,\varepsilon)$, so da"s $K(x,\varepsilon) \subset \mathbb A^\text{c}$. {\bf Randpunkt:} \\ Jedes $K(x,\varepsilon)$ beinhaltet Punkte aus $\mathbb A$ und aus $\mathbb A^\text{c}$. {\bf H"aufingspunkt:} \\ Jedes $K(x,\varepsilon)$ beinhaltet unendlich viele Punkte aus $\mathbb A$. $\Leftrightarrow$ \\ $\Leftrightarrow$ Jedes $K_\text{r}(x,\varepsilon)$ beinhaltet mindestens einen Punkt aus $\mathbb A$. {\bf isolierter Punkt:} \\ Es existiert ein $K_\text{r}(x,\varepsilon)$, so da"s $K_\text{r}(x,\varepsilon) \subset \mathbb A^\text{c}$. innerer Punkt $\Rightarrow$ H"aufungspunkt, \hfill isolierter Punkt $\Rightarrow$ Randpunkt.} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Offene und abgeschlossene Mengen} Eine Menge $\mathbb A \subset \mathbb R$ hei"st {\bf offen}, wenn $\mathbb A$ nur aus inneren Punkten besteht. D.h. eine offene Menge beinhaltet keine Randpunkte. Die Menge $\mathbb A \subset \mathbb R$ hei"st {\bf abgeschlossen}, wenn $\mathbb A^\text{c}$ offen ist. D.h. in einer abgeschlossenen Menge wird jedes Teilintervall von zwei Randpunkten beschr"ankt. \vfill\small Ein Intervall $]a,b[$ (oft auch $(a,b)$ geschrieben) hei"st {\bf offen}, wenn es keine Randpunkte beinhaltet. Ein Intervall $[a,b]$ hei"st {\bf abgeschlossen}, wenn es von Randpunkten begrenzt wird. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Satz von Balzano - Weierstra"s \\ H"aufungspunkte beschr"ankter Teilmengen von $\mathbb R$} {\bf Satz von Balzano - Weierstra"s:} \\ Jede beschr"ankte unendliche Teilmenge von $\mathbb R$ hat mindestens einen H"aufungspunkt. \vfill {\bf Beweis durch Intervallschachtelung:} \\ Wird die Teilmenge von $\mathbb R$ halbiert so muss mindestens eine der beiden resultierenden Teilmengen wieder unendlich viele Elemente beinhalten. Wird die Halbierung jeweils f"ur jene Teilmengen mit unendlich vielen Punkten bis ins unendliche wiederholt so bestimmt diese Intervallschachtelung die H"aufungspunkte der Menge. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Notationen komplexer Zahlen \\ und spezielle Operationen} Sei $z \in \mathbb C$ eine komplexe Zahl mit $a = \text{Re}(z)$, $b = \text{Im}(z)$, $r = |z|$ und $\varphi = \text{Arg}(z)$: $z = a + b\imag$ \dotfill Komponentenschreibweise \\ $z = r \angle \varphi$ \dotfill Polarschreibweise \\ $z = r\cdot(\cos\varphi + \imag\sin\varphi)$ \dotfill Trigonometrische Schreibweise \\ $z = r\cdot\euler^{\varphi\imag}$ \dotfill Exponentialschreibweise ($\varphi$ in rad) {\bf Betrag und Argument:} \\ $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, \hskip2em $\varphi = \text{Arg}(z) = \arctan \frac{b}{a} \left[ +180^\circ \right]$ {\bf Konjugiert komplexe Zahl:} \\ $\overline{z} = a - b\imag$ \hskip2em {\small (Wegen $\imag^2 = -1$ ist $z\cdot\overline{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$.)} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Addition, multiplikation \\ und division komplexer Zahlen} Seien $z_i \in \mathbb C$ komplexe Zahlen mit $a_i = \text{Re}(z_i)$, $b_i = \text{Im}(z_i)$, $r_i = |z_i|$ und $\varphi_i = \text{Arg}(z_i)$: {\bf Addition komplexer Zahlen:} \smallskip\\ $ z_0 = z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\imag $ {\bf Multiplikation komplexer Zahlen:} \smallskip\\ $ z_0 = z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\imag $ \smallskip\\ $ z_0 = z_1 \cdot z_2 = r_1r_2 \cdot \euler^{(\varphi_1+\varphi_2)\imag} $ \hskip1em ($\varphi$ in rad) {\bf Division komplexer Zahlen:} \smallskip\\ $\displaystyle z_0 = \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{a_2^2 + b_2^2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \euler^{(\varphi_1-\varphi_2)\imag} $ \hskip1em ($\varphi$ in rad) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{S"atze zu konjugiert komplexen Zahlen} Seien $z, w \in \mathbb C$ komplexe Zahlen: $$ \text{Re}(z) = \frac{1}{2}(z + \overline{z}), \hskip3em \text{Im}(z) = \frac{1}{2\imag}(z - \overline{z}) $$ $$ z \in \mathbb R \Longleftrightarrow z = \overline{z}, \hskip3em \overline{\overline{z}} = z $$ \smallskip $$ \overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}, \hskip3em \overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} $$ $$ w \neq 0:\; \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\;\overline{w}\;}, \hskip3em n \in \mathbb Z:\; \overline{z^n} = (\overline{z})^n $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{S"atze zum Betrag komplexer Zahlen} Seien $z, w \in \mathbb C$ komplexe Zahlen: $$ |z| \in \mathbb R^+_0, \hskip2em |z| \ge 0, \hskip2em |z| = 0 \Longleftrightarrow z = 0 $$ $$ |w \cdot z| = |w| \cdot |z|, \hskip3em w \neq 0:\; \left|\frac{z}{w}\right| = \frac{|z|}{|w|} $$ $$ |z| = |\overline{z}| = |-z|, \hskip3em |w \pm z| \le |w| + |z| $$ $$ -|z| \le \text{Re}(z) \le |z|, \hskip3em -|z| \le \text{Im}(z) \le |z| $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Potenzen und Wurzeln \\ komplexer Zahlen} Sei $z \in \mathbb C$ eine komplexe Zahl, $\varphi = \text{Arg}(z)$ in rad und $n, k \in \mathbb N$: \vfill {\bf Potenzen komplexer Zahlen:} \\ $$ z^n = |z|^n \cdot \euler^{n\varphi\imag} $$ \vfill {\bf Wurzeln komplexer Zahlen:} \\ $$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \cdot \euler^{\left(\frac{\varphi}{n} + k\frac{2\pi}{n}\right)\imag} $$ D.h. die $n$-te Wurzel einer komplexen Zahl hat $n$ {\it Zweige} (L"osungen). Diese L"osungen bilden ein gleichseitiges $n$-Eck um den Nullpunkt in der komplexen Zahlenebene. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Zahlenfolgen und Konvergenz} \small Eine {\bf Folge} $a$ ist eine Abbildung $a: \mathbb N \to \mathbb R$. \\ Eine {\bf komplexe Folge} $a$ ist eine Abbildung $a: \mathbb N \to \mathbb C$. Anstelle von $a(1),\, a(2),\, \dots$ werden die {\bf Glieder} der Folge $a$ meist als $a_1,\, a_2,\, \dots$ oder allgemein als $a_n$ geschrieben. Die Folge selbst wird oft als $\{a_n\}_{n \in \mathbb N}$ oder kurz $\{a_n\}$ bezeichnet. Eine Folge $\{a_n\}$ hei"st {\bf konvergent} wenn eine Zahl $a$ existiert, so dass f"ur jedes $\varepsilon > 0$ eine Zahl $N(\varepsilon)$ existiert, so dass jedes $a_n$ mit $n > N(\varepsilon)$ in der $\varepsilon$-Umgebung um $a$ liegt: % $$ \left( \forall \varepsilon > 0: \exists N(\varepsilon): \forall n > N(\varepsilon): |a_n - a| < \varepsilon \right) \bk\Longrightarrow\bk \lim_{n \to \infty} = a $$ % In diesem Fall hei"st $a$ {\bf Grenzwert} von $\{a_n\}$. Jede konvergente Folge ist beschr"ankt. Eine nicht konvergente Folge hei"st {\bf divergent}. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Nullfolgen und \\ Folgen mit dem Grenzwert 1} Eine Folge mit dem Grenzwert 0 hei"st {\bf Nullfolge}. \\ Zwei wichtige Nullfolgen sind: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \hskip3em |q| < 1:\; \lim_{n \to \infty} q^n = 0 $$ \medskip Es gilt: $$\lim_{n \to \infty} a_n = a \bk \Longleftrightarrow \bk \lim_{n \to \infty} a_n - a = 0 $$ \vfill Zwei wichtige Folgen mit dem Grenzwert 1 sind: $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \hskip3em q \in \mathbb R^+:\; \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{q} = 1 $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Definition der Eulerschen Zahl \\ als Grenzwert einer Folge} \null\smallskip Der Grenzwert $$ \euler := \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$ ist die {\bf Eulersche Zahl} $\euler \approx 2{,}718281828459...\;$. \vfill Eine andere Darstellung von $\euler$ ist die unendliche Summe $$ \euler = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \;\text{.} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die Grenzwerts"atze: \\ Rechenoperationen f"ur Folgen} Seien $\{a_n\}$ und $\{b_n\}$ Folgen mit den Grenzwerten $a$ und $b$: {\bf Summen- und Differenzfolgen:} \vspace*{-0.5em} \\ $$ \lim_{n \to \infty} \left( a_n \pm b_n \right) = \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right) \pm \left( \lim_{n \to \infty} b_n \right) = a \pm b $$ {\bf Produktfolgen:} \vspace*{-0.5em} \\ $$ \lim_{n \to \infty} \left( a_n \cdot b_n \right) = \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right) \cdot \left( \lim_{n \to \infty} b_n \right) = a \cdot b $$ {\bf Quotientenfolgen:} \vspace*{-0.5em} \\ $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n} = \frac{a}{b} \hskip2em \text{wenn $b_n \ne 0$ und $b \ne 0$} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Cauchyfolgen} Eine Folge $\{a_n\}$ hei"st Cauchyfolge wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $N(\varepsilon)$ gibt, so dass die Differenz zwischen jedem Paar von Folgengliedern $| a_n - a_m |$ mit $m,n \ge N(\varepsilon)$ kleiner $\varepsilon$ ist: \vskip-0.5em $$ \left( \forall \varepsilon > 0: \exists N(\varepsilon): \forall m,n \ge N(\varepsilon): | a_n - a_m | < \varepsilon \right) \bk \Longrightarrow $$ $$ \Longrightarrow \bk \{a_n\} \text{ ist eine Cauchyfolge} $$ \vfill\small {\bf Konvergenzkriterium von Cauchy:} \\ Eine Folge $\{a_n\}$ ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Mit dem Konvergenzkriterium von Cauchy kann die Konvergenz einer Folge ohne Kenntnis des Grenzwerts untersucht werden. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Konvergenz gegen Unendlich} Eine Folge $\{a_n\}$ heisst {\bf konvergent gegen $\infty$}, wenn gilt: % $$ \forall K > 0: \exists N(K): \forall n \ge N(K): a_n \ge K \bk \Longrightarrow \bk \lim_{n \to \infty} = \infty $$ D.h. eine Folge konvergiert gegen $\infty$, wenn die Folgenglieder $a_n$ mit steigendem $n$ beliebig gro"s werden. Analog dazu wird Konvergenz gegen $-\infty$ definiert. \vfill {\bf Achtung:} z.B. Folgen der Form $\{1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ...\}$ sind nicht konvergent, auch nicht gegen $\infty$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Monotone Folgen} Eine Folge hei"st {\bf monoton wachsend}, wenn jedes Folgenglied kleiner-gleich seinem Nachfolger ist. Eine Folge hei"st {\bf streng monoton wachsend}, wenn jedes Folgenglied kleiner seinem Nachfolger ist. Analog dazu werden {\bf monoton fallende} und {\bf streng monoton fallende} Folgen definiert. {\bf Hauptsatz "uber monotone Folgen:} \\ Eine monoton wachsende und nach oben beschr"ankte Folge konvergiert gegen ihr Supremum. Eine monoton fallende und nach unten beschr"ankte Folge konvergiert gegen ihr Infimum. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Einschlie"sungsprinzip f"ur Folgen} {\bf Einschlie"sungsprinzip f"ur Folgen:} \\ Sind die Folgen $\{a_n\}$ und $\{c_n\}$ beide konvergent gegen denselben Grenzwert $a$ und gilt f"ur eine Folge $\{b_n\}$: $$ a_n \le b_n \le c_n, \bk \forall n \ge N \text{ f"ur ein } N \in \mathbb N \text{,} $$ so ist auch $\{b_n\}$ konvergent gegen $a$. \vfill {\bf Argumentation:} Mit steigendem $n$ wird der Grenzwert von $\{b_n\}$ zwischen den Grenzwerten von $\{a_n\}$ und $\{c_n\}$ quasi "`eingezwickt"'. Da die Grenzwerte von $\{a_n\}$ und $\{c_n\}$ beide $a$ sind muss daher auch der Grenzwert von $\{b_n\}$ der Wert $a$ sein. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Reihen und Konvergenz von Reihen} \scriptsize Eine {\bf Reihe} ist eine unendliche Summe der Form\\\vskip-3em $$ \sum_{k=1}^\infty a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots, \bk\bk\bk a_k \in \mathbb R, k \in \mathbb N\text{.} $$ % Die $n$-te Partialsumme einer Reihe $s_n$ ist die endliche Summe der Form $$ s_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n, \bk\bk\bk n \in \mathbb N\text{.} $$ % Die {\bf Summe der Reihe} $s$ ist der Grenzwert der Folge der Partialsummen: $$ s = \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k $$ % Falls die Folge $\{s_n\}$ konvergent ist spricht man von einer {\bf konvergenten Reihe}, ansonsten von einer {\bf divergenten Reihe}. Die Glieder $a_k$ einer konvergenten Reihe bilden eine Nullfolge. Die Gr"osse $R_n = s - s_n$ hei"st der {\bf Reihenrest}. Eine Reihe konvergiert genau dann wenn $\{R_n\}$ eine Nullfolge ist. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Geometrische und harmonische Reihen} Eine {\bf geometrische Reihe} ist eine Reihe der Form $ \displaystyle \sum_{k=0}^\infty q^k $. \\ Eine geometrische Reihe konvergiert f"ur $|q| < 1$ und es gilt $$ \sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q} \text{.} $$ Im fall $|q| \ge 1$ divergiert die Reihe. \vfill Eine {\bf harmonische Reihe} ist eine Reihe der Form $ \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} $. \\ Die harmonische Reihe divergiert (konvergiert gegen $\infty$). \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Reihen der Form $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}$} Reihen der Form $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha} $$ sind konvergent f"ur $\alpha > 1$ und divergent f"ur $0 < \alpha \le 1$. \vfill Insbesondere ist $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Teleskopreihe} \small Eine Reihe \vskip-3em $$ \sum_{k=1}^\infty a_k \text{ mit } a_k = b_k - b_{k+1} $$ hei"st {\bf Teleskopreihe}. F"ur die Partialsummen von Teleskopreihen gilt $ s_n = b_1 - b_{n+1} $. Daher konvergiert die Teleskopreihe wenn die Reihe $\{b_n\}$ konvergiert: $$ \sum_{k=1}^\infty a_k = b_1 - \lim_{k \to \infty} b_k $$ \vfill Beispiel: $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \left( \frac{1}{1} - \cancel{\frac{1}{2}} \right) + \left( \cancel{\frac{1}{2}} - \cancel{\frac{1}{3}} \right) + \cdots + \left( \cancel{\frac{1}{n}} - \frac{1}{n-1} \right) = 1 $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Rechenregeln f"ur konvergente Reihen} Seien $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k = a$ und $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty b_k = b$ konvergente Reihen: $$ \sum_{k=1}^\infty \left( a_k \pm b_k \right) = a \pm b $$ \vfil Sei $c \in \mathbb R$ eine Konstante: $$ \sum_{k=1}^\infty c a_k = c a $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Alternierende Reihe} Eine Reihe der Form $$ \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k \text { bzw. } \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} a_k $$ mit $a_k > 0$ hei"st {\bf alternierende Reihe}. \vfill {\bf Konvergenzkriterium von Leibnitz:} \\ Falls die Folge $\{a_k\}$ {\it monoton} gegen Null konvergiert, so ist die alternierende Reihe konvergent. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Absolut konvergente Reihen \\ Majoranten und Minoranten} \scriptsize Eine Reihe $ \sum a_k $ hei"st {\bf absolut konvergent}, wenn die Reihe $ \sum |a_k| $ konvergent ist. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. \vfill Eine Reihe $ \sum a_k $ mit positiven Gliedern hei"st {\bf Majorante} der Reihe $ \sum b_k $, wenn ab einem gewissen Index M f"ur alle $k \ge M$ gilt $|b_k| \le a_k$. Eine Reihe $ \sum a_k $ mit positiven Gliedern hei"st {\bf Minorante} der Reihe $ \sum b_k $, wenn ab einem gewissen Index M f"ur alle $k \ge M$ gilt $|b_k| \ge a_k$. \vfill {\bf Majorantenkriterium:} \\ Eine Reihe die eine konvergente Majorante besitzt, ist absolut konvergent. {\bf Minorantenkriterium:} \\ Eine Reihe die eine divergente Minorante besitzt, ist {\it nicht} absolut konvergent. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Quotientenkriterium \\ f"ur die Konvergenz von Reihen} Sei $\sum a_k$ eine Reihe. Falls ein $N \in \mathbb N$ existiert, sodass $\forall k \ge N$: $$ \begin{matrix} \vbox to1em{\null} \big| \frac{a_{k+1}}{a_k} \big| \le q < 1 \hfill\null & \Rightarrow \text{die Reihe ist absolut konvergent.} \hfill\null \\ \vbox to1.5em{\null} \big| \frac{a_{k+1}}{a_k} \big| > 1 \hfill\null & \Rightarrow \text{die Reihe ist divergent.} \hfill\null \\ \vbox to1.5em{\null} \text{sonst} \hfill\null & \Rightarrow \text{keine Aussage m"oglich} \hfill\null \end{matrix} $$ \vfill Falls der Grenzwert $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = r$ existiert: $$ \begin{matrix} r < 1 & \Rightarrow \text{die Reihe ist absolut konvergent.} \hfill\null \\ r > 1 & \Rightarrow \text{die Reihe ist divergent.} \hfill\null \\ r = 1 & \Rightarrow \text{keine Aussage m"oglich} \hfill\null \end{matrix} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Wurzelkriterium \\ f"ur die Konvergenz von Reihen} Sei $\sum a_k$ eine Reihe. Falls ein $N \in \mathbb N$ existiert, sodass $\forall k \ge N$: $$ \begin{matrix} \vbox to1em{\null} \sqrt[k]{|a_k|} \le q < 1 \hfill\null & \Rightarrow \text{die Reihe ist absolut konvergent.} \hfill\null \\ \vbox to1.5em{\null} \sqrt[k]{|a_k|} > 1 \hfill\null & \Rightarrow \text{die Reihe ist divergent.} \hfill\null \\ \vbox to1.5em{\null} \text{sonst} \hfill\null & \Rightarrow \text{keine Aussage m"oglich} \hfill\null \end{matrix} $$ \vfill Falls der Grenzwert $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} = r$ existiert: $$ \begin{matrix} r < 1 & \Rightarrow \text{die Reihe ist absolut konvergent.} \hfill\null \\ r > 1 & \Rightarrow \text{die Reihe ist divergent.} \hfill\null \\ r = 1 & \Rightarrow \text{keine Aussage m"oglich} \hfill\null \end{matrix} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Cauchyprodukt von Reihen} Seien $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k = a$ und $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty b_k = b$ Reihen. Dann ist $$ \sum_{k=0}^\infty c_k \bk := \bk \sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^k a_{k-l}b_l% \bk = \bk a \cdot b % \left(\sum_{k=0}^\infty a_k\right) \cdot \left(\sum_{k=0}^\infty b_k\right) $$ die Cauchy'sche Produktreihe dieser beiden Reihen. Existiert die Summe der Reihen $a$, $b$ und $c$, so gilt: $$ c = a \cdot b $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Reelle Funktionen} {\bf Reelle Funktionen} sind Abbildungen $f: \mathbb D \to \mathbb R$. $\mathbb D$ \dotfill Definitionsbereich oder Urbildmenge von $f$ \\ $x \in \mathbb D$ \dotfill Argumente oder Urbilder von $f$ $\{f(x): x \in \mathbb D\}$ \dotfill Bildmenge von $f$ \\ $f(x): x \in \mathbb D$ \dotfill Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$ \vfill Der {\bf Graph} $G_f$ einer reellen Funktion $f$: $$ G_f := \{ (x,f(x)) | x \in \mathbb D \} \subset \mathbb D \times \mathbb R $$ Funktionen mit beschr"ankter Bildmenge nennt man beschr"ankt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Periodische Funktion} Eine Funktion $f: \mathbb D \to \mathbb R$ hei"st {\bf periodisch} mit der {\bf Periode} $p > 0$, wenn $$ f(x+p) = f(x) \bk \forall x \in \mathbb R \text{.} $$ \vfill Meist interessiert man sich f"ur die kleinste Periode $p > 0$. Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode $p > 0 $. {\bf Beispiel:} \\ $ \sin(\varphi + 2\pi) = \sin \varphi \bk \forall \varphi \in \mathbb R \bk \Rightarrow \bk $ $\sin$ ist $2\pi$-periodisch. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Gerade und ungerade Funktionen} Sei $f: \mathbb D \to \mathbb R$ eine reelle Funktion mit $x \in \mathbb D \Leftrightarrow -x \in \mathbb D$: {\bf Gerade Funktion:} \\ Der Funktionsgraph einer geraden Funktion ist spiegelsymetrisch bez"uglich der y-Achse: $$ f(x) = f(-x) \bk \forall x \in \mathbb D $$ {\bf Ungerade Funktion:} \\ Der Funktionsgraph einer ungeraden Funktion ist rotationssymetrisch bez"uglich des Ursprungs: $$ f(x) = -f(-x) \bk \forall x \in \mathbb D $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Monotonie} $f(x)$ hei"st auf dem Intervall $\mathbb I$ (mit $x_1, x_2 \in \mathbb I$) {\bf streng monoton wachsend}, wenn \smallskip\\ \null\hfil $ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) $, {\bf streng monoton fallend}, wenn \smallskip\\ \null\hfil $ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) $, {\bf monoton wachsend}, wenn \smallskip\\ \null\hfil $ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2) $, {\bf monoton fallend}, wenn \smallskip\\ \null\hfil $ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2) $. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{$\varepsilon$-$\delta$-Definition der \\ Stetigkeit von Funktionen} {\bf $\varepsilon$-$\delta$-Definition der Stetigkeit von Funktionen:} \\ Eine Funktion $f: \mathbb D \to \mathbb R$ ist an der Stelle $c$ stetig, wenn es zu jeder $\varepsilon$-Umgebung um $f(c)$ in der Bildmenge eine passende $\delta$-Umgebung um $c$ in der Urbildmenge gibt: \medskip $$ \left( \forall \varepsilon > 0: \exists \delta > 0: \forall c \in \mathbb D: |c-x| < \delta \Rightarrow |f(c)-f(x)| < \varepsilon \right) \bk \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \bk \text{$f$ ist stetig an der Stelle $c$} $$ \vfill Zum Beweis der Stetigkeit ist es ausreichend zu jedem $\varepsilon$ ein aussreichend kleines $\delta$ anzugeben. Es muss nicht ein optimales (d.h. m"oglichst grosses) $\delta$ sein. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Charakterisierung der Stetigkeit \\ von Funktionen mittels Folgen \\ bzw. mittels Grenzwerte der Funktion} \small {\bf Charakterisierung der Stetigkeit mittels Folgen:} \\ Eine Funktion $f: \mathbb D \to \mathbb R$ ist genau dann an einer Stelle $c \in \mathbb D$ stetig, wenn f"ur jede Folge $\{x_n\}$ die in $\mathbb D$ gegen $c$ konvergiert die entsprechende Folge $\{f(x_n)\}$ in $\mathbb R$ gegen $f(c)$ konvergiert. $$ \left( \forall \{x_n | x_n \in \mathbb D\}: \lim_{x \to \infty} x_n = c \Rightarrow \lim_{x \to \infty} f(x_n) = f(c) \right) \bk \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \bk \text{$f$ ist stetig an der Stelle $c$} $$ \vfill {\bf Charakterisierung der Stetigkeit mittels Grenzwerte:} \\ Eine Funktion $f: \mathbb D \to \mathbb R$ ist genau dann an einer Stelle $c \in \mathbb D$ stetig, wenn der linksseitige Grenzwert $f(c-)$ sowie der rechtsseitige Grenzwert $f(c+)$ existieren und $f(c) = f(c-) = f(c+)$ gilt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Vorzeichenbest"andigkeit \\ stetiger Funktionen} {\bf Vorzeichenbest"andigkeit stetiger Funktionen:} \\ Wenn eine Funktion $f: \mathbb D \to \mathbb R$ an einer stetigen Stelle $c$ einen Funktionswert $f(c) \neq 0$ hat,\ dann existiert eine $\delta$-Umgebung um $c$ so dass die Funktionswerte f"ur alle Urbilder aus dieser $\delta$-Umgebung um $c$ das gleiche Vorzeichen wie $f(c)$ haben: $$ f(c) \neq 0 \bk\land\bk f \text{ stetig an der Stelle } c \bk \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \bk \left( \exists \delta > 0: \forall x \in \mathbb D: |x-c| < \delta \Rightarrow \mathop{\rm sign}\nolimits f(x) = \mathop{\rm sign}\nolimits f(c) \right) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Rechenregeln f"ur \\ stetige Funktionen} Sind $f(x)$ und $g(x)$ zwei an der Stelle $c$ stetigen Funktionen, so sind auch folgende Funktionen an der Stelle $c$ stetig: $$ \begin{matrix} 1.\vbox to1em{\null} & a f(x) + b g(x) \hfill\null & a,b \in \mathbb R \hfill\null \\ 2.\vbox to1.5em{\null} & f(x) g(x) \hfill\null \\ 3.\vbox to1.5em{\null} & \frac{f(x)}{g(x)} \hfill\null & \text{falls } g(c) \neq 0 \hfill\null \\ \end{matrix} $$ \vfill Wenn die Komposition $f \circ g$ definiert ist und $g$ an der Stelle $c$ stetig ist und $f$ an der Stelle $g(c)$ stetig ist, dann ist $f(g(x))$ an der Stelle $c$ ebenfalls stetig. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Grenzwerte von Funktionen} \scriptsize Eine Funktion $f: \mathbb D \to \mathbb R$ hat an der Stelle $c$ den {\bf Grenzwert} $\alpha$ (in Zeichen: $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = \alpha$), wenn \medskip\\ \null\hskip1em {\bf 1.} eine reduzierte Epsilon-Umgebung $K_\text{r}(c,\varepsilon) \subset \mathbb D$ existiert und \medskip\\ \null\hskip1em {\bf 2.} f"ur jede in $K_\text{r}(c,\varepsilon)$ gegen $c$ konvergente Folge $\{x_n\}$ gilt: $$ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \alpha $$ \vfill {\bf linksseitiger Grenzwert} (in Zeichen: $f(c-) = \lim_{x \to c-} f(x) = \alpha_\text{l}$): \\ Es extistiert ein Intervall $\mathbb I = \;]c-\varepsilon, c[\; \subset \mathbb D$ und f"ur jede in $\mathbb I$ gegen $c$ konvergente Folge $\{x_n\}$ gilt: $f(x_n)$ konvergiert gegen $\alpha_\text{l}$. {\bf rechtsseitiger Grenzwert} (in Zeichen: $f(c+) = \lim_{x \to c+} f(x) = \alpha_\text{r}$): \\ Es extistiert ein Intervall $\mathbb I = \;]c, c+\varepsilon[\; \subset \mathbb D$ und f"ur jede in $\mathbb I$ gegen $c$ konvergente Folge $\{x_n\}$ gilt: $f(x_n)$ konvergiert gegen $\alpha_\text{r}$. \tiny {\bf Charakterisierung mittels $\varepsilon$-$\delta$-Notation:} \\ Nat"urlich kann man den (einseitigen) Grenzwert einer Funktion auch mittels $\varepsilon$-$\delta$-Notation charakterisieren (siehe Karten "`SBP Mathe Aufbaukurs 3"'). \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Typen von Unstetigkeitsstellen} Eine isolierte Stelle $c$ an der eine Funktion {\bf nicht definiert} oder {\bf unstetig} ist nenn man eine {\bf Singularit"at} der Funktion. \vfill {\bf Sprungstelle:} \\ Wenn $f(c-)$ und $f(c+)$ exisitieren und $f(c-) \neq f(c+)$ gilt, so spricht man von einer Sprungstelle mit Sprungh"ohe $|f(c-) - f(c+)|$. \vfill {\bf Hebbare Unstetigkeit:} \\ Wenn $f(c-)$ und $f(c+)$ exisitieren und entweder $f(c)$ nicht definiert oder $f(c-) = f(c+) \neq f(c)$ ist, so spricht man von einer hebbaren Unstetigkeit. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Gleichm"a"sige Stetigkeit} Eine Funktion $f: \mathbb D \to \mathbb R$ hei"st gleichm"assig stetig auf $\mathbb D$, wenn es zu jeder reellen Zahl $\varepsilon > 0$ eine reelle Zahl $\delta(\varepsilon) > 0$ gibt, so dass f"ur alle $x_1, x_2 \in \mathbb D$ mit $|x_1 - x_2| < \delta$ gilt $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$. {\bf Unterschied zur $\varepsilon$-$\delta$-Definition zur Stetigkeit:} \\ Bei $\varepsilon$-$\delta$-Definition der Stetigkeit bezieht ist f"ur jede Stelle $c \in \mathbb D$ ein $\delta(\varepsilon, c)$ anzugeben. Bei der gleichm"a"sigen Stetigkeit ist f"ur ganz $\mathbb D$ nur ein $\delta(\varepsilon)$ anzugeben. Damit folgt aus der gleichm"a"sigen Stetigkeit auf $\mathbb D$ unmittelbar die Stetigkeit an jeder Stelle von $\mathbb D$. {\bf Beispiel:} \hskip3em Die Funktion $f(x) = 1/x$ ist auf $]0, \infty[$ stetig aber nicht gleich\-m"a"sig stetig. Auf $[a, \infty[$ mit $a > 0$ ist $f(x)$ jedoch stetig und auch gleichm"a"sig stetig. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Lipschitz Stetigkeit} Eine Funktion $f: \mathbb D \to \mathbb R$ hei"st Lipschitz-stetig auf $\mathbb D$, wenn es eine {\bf Libschitzkonstante} $L \ge 0$ gibt, so dass $$ |f(x_1) - f(x_2)| \le L|x_1 - x_2| \bk\bk \forall x_1, x_2 \in \mathbb D \text{.} $$ Das hei"st die Libschitzkonstante ist die maximale Steigung jeder Sekante des Funktionsgraphen in $\mathbb D$. Aus der Libschitzstetigkeit folgt mit $\delta(\varepsilon) = \varepsilon / L$ die gleichm"assige Stetigkeit. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stetigkeit auf \\ abgeschlossenen Intervallen} Eine auf einem abgeschlossenen Intervall $\mathbb I = [a,b]$ stetige Funktion $f(x)$ .. .. besitzt in diesem Intervall ein {\bf Maximum} und ein {\bf Minimum}. D.h. das Supremum ist tats"achlich ein Maximum und das Infimum tats"achlich ein Minimum. Damit ist nat"urlich $f$ in $\mathbb I$ {\bf beschr"ankt}. .. nimmt jeden {\bf Zwischenwert} zwischen ihrem Maximum und ihrem Minimum mindestens ein mal an. .. ist gleichm"a"sig stetig auf $\mathbb I$ mit $\delta(\varepsilon) = \max (\{ \delta(\varepsilon, c) \;|\; c \in \mathbb I \})$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Umkehrfunktionen} Eine {\bf bijektive} Funktion $f: \mathbb A \to \mathbb B$ besitzt eine {\bf inverse Funktion} oder {\bf Umkehrfunktion} $f^{-1}: \mathbb B \to \mathbb A$ mit $$ f(x) = y \bk\bk \Longleftrightarrow \bk\bk f^{-1}(y) = x $$ F"ur eine umkehrbare Funktion $f$ gilt stets: $$ f^{-1}\left(f(x)\right) \bk=\bk f\left(f^{-1}(x)\right) \bk=\bk x $$ Der Graph von $f^{-1}$ ist der um die 1. Mediane (das ist die Gerade $x=y$) gespiegelte Graph von $f$. Jede {\it stetige und streng monotone} Funktion ist umkehrbar. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Polynomfunktion} \scriptsize Eine {\bf Polynomfunktion} (ein {\bf Polynom}) $p(x)$ ist eine Funktion der Form % $$ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n = \sum_{k=0}^n a_k x^k \text{.} $$ % Das Polynom hat den Grad $n$ falls $a_n \neq 0$. Man schreibt $\text{Grad}(p) = n$. Das Polynom hei"st {\bf reell} falls alle {\bf Koeffizienten} $a_k$ und das Argument $x$ reell sind. Eine solche relle Polynomfunktion ist eine Abbildung $\mathbb R \to \mathbb R$. Das Polynom hei"st {\bf komplex} falls die {\bf Koeffizient} $a_k$ oder das Argument $x$ komplex sind. Eine solche komplexe Polynomfunktion ist eine Abbildung $\mathbb C \to \mathbb C$. Ein Argument $x_0$ mit der Eigenschaft $p(x_0) = 0$ hei"st {\bf Nullstelle} des Polynoms. Die zentrale mathematische Frage bei der Untersuchung von Polynomen ist das Bestimmen der Nullstellen des Polynoms. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Fundamentalsatz der Algebra \\ Linearfaktoren von Polynomen} \scriptsize {\bf Fundamentalsatz der Algebra:} \\ Jedes Polynom $p(x)$ vom Grad $n$ hat genau $n$ komplexe Nullstellen, wobei die Nullstellen in ihrer vielfachheit gez"ahlt werden. {\bf Abspalten eines Linearfaktors:} \\ Sei $p(x)$ ein Polynom vom Grad $n$ und $a$ eine Nullstelle von $p(x)$, so existiert ein Polynom $q(x)$ vom Grad $n-1$, so dass $p(x) = (x-a) q(x)$. Der Term $(x-a)$ hei"st {\bf Linearfaktor} von $p(x)$. Der Vorgang des bestimmens von $q(x)$ hei"st {\bf abspalten} des Linearfaktors $x-a$ (bzw. abspalten der Nullstelle $a$). {\bf Produktdarstellung (Faktorisierung):} \\ Sei $p(x)$ ein Polynom mit $r$ voneinander verschiedenen Nullstellen $x_1$ bis $x_r$, wobei $n_i$ die Vielfachheit (Ordnung) der $i$-ten Nullstelle angibt, so gilt $$ p(x) = a_n(x-x_1)^{n_1} (x-x_2)^{n_2} \cdots (x-x_r)^{n_r} \text{.} $$ Im Fall $n_i = 1$ spricht man von einer einfachen, im Fall $n_i > 1$ von einer mehrfachen Nullstelle. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Komplexe Nullstellen von Polynomen \\ mit rein reellen Koeffizienten} Sei $p(x)$ ein Polynom mit ausschliesslich reellen Koeffizienten, so treten komplexe Nullstellen immer in Paaren zueinander konjungiert komplexer Zahlen auf. Daraus folgt direkt, dass ein Polynom ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle besitzen muss. \vfill Da das Produkt zweier zueinander konjungiert komplexer Zahlen immer reell ist k"onnen solche Paare komplexer Nullstellen in der Produktdarstellung auch als ihr (reelles) Produkt geschireben werden. Die resultierende Form der Produktdarstellung nennt man auch {\bf reelle Faktorisierung} des Polynoms. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Horner Schema} \scriptsize Das {\bf Horner Schema} ist eine einfache Methode zum Auswerten eines Polynoms $p(x)$ an einer Stelle $\alpha$ und Abspalten einer Nullstelle. Es basiert auf der Darstellung % $$ p(x) = \big(\big(\big(\!\!\cdot\!\cdot((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \cdots\big)x + a_2\big)x + a_1\big)x + a_0 \text{.} $$ % Dabei wird in einer Tabelle dieser Ausdruck von innen nach aussen ausgewertet: {\def\M{\text{-}} \hfil \begin{tabular}{c|ccccccc} & $a_n$ & $a_{n-1}$ & $a_{n-2}$ & $\cdots$ & $a_1$ & $a_0$ \\ \hline $\alpha$ & $\underbrace{a_n}_{b_{n \M 1}}$ & $\underbrace{\alpha b_{n \M 1} + a_{n \M 1}}_{b_{n \M 2}}$ & $\underbrace{\alpha b_{n \M 2} + a_{n \M 2}}_{b_{n \M 3}}$ & $\cdots$ & $\underbrace{\alpha b_1 + a_1}_{b_0}$ & $\underbrace{\alpha b_0 + a_0}_{p(\alpha)}$ \end{tabular}} Im Fall $p(x) = 0$ sind die Zahlen $b_{n-1}$, \dots, $b_0$ die Koeffizienten des Polynoms $q(x)$ mit $p(x) = (x-\alpha)q(x)$. Somit kann das Horner Schema verwendet werden um in einem Schritt zu Pr"ufen ob $\alpha$ eine Nullstelle von $p(x)$ ist und um den entsprechenden Linearfaktor $x-\alpha$ abzuspalten. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Algebraische Gleichungen} \scriptsize Eine algebraische Gleichung $n$-ten Grades hat die Form $$ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n = 0 \text{.} $$ Algebraische Gleichungen ab dem 5. Grad k"onnen nicht durch allgemein g"ulte Formeln gel"ost werden. F"ur Gleichungen 3. und 4. Grades gibt es Formeln, die wegen ihrer Komplexit"at aber nicht Stoff der LVA sind. {\bf L"osungsformeln f"ur Quadratische Gleichungen:} $$ ax^2 + bx + c = 0 \bk\bk\Longrightarrow\bk\bk x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ $$ x^2 + px + q = 0 \bk\bk\Longrightarrow\bk\bk x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} $$ (Beweis mittels Erweitern auf vollst"andiges Quadrat.) \\ Der Term unter der Wurzel hei"st {\bf Diskriminante} $D$. \\ F"ur $D > 0$ gibt es zwei und f"ur $D < 0$ keine reelle L"osungen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Rationale Nullstellen von Polynomen \\ mit ganzzahligen Koeffizienten} Sind alle Koeffizienten $a_0$, \dots, $a_n$ eines Polynoms ganze Zahlen, dann gilt f"ur alle eventuell vorhandenen rationalen Nullstellen $p/q$ ($p$ und $q$ teilerfremd), dass $p$ ein Teiler von $a_0$ und $q$ ein Teiler von $a_n$ ist. Insbesondere ist im Fall $a_n = 1$ auch $q = 1$ und damit sind alle rationalen Nullstellen Ganzzahlen und Teiler von $a_0$. ACHTUNG: Die rationalen Nullstellen k"onnen nat"urlich auch negativ sein. \vfill Generell gilt: Im Fall $a_0 = 0$ ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Langrang'sche Interpolationsformel} Gegeben die $n+1$ Argumente $x_0$, \dots, $x_n$ und die $n+1$ Funktionswerte $y_0$, \dots, $y_n$. Gesucht ist die Polynomfunktion $p(x)$ maximal $n$-ten Grades mit $p(x_i) = y_i$. {\bf Langrang'sche Interpolationsformel:} $$ \varphi_i = \frac{\prod_{k=0,\dots,i-1,i+1,\dots,n} x - x_k}% {\prod_{k=0,\dots,i-1,i+1,\dots,n} x_i - x_k}, \hskip2em p(x) = \sum_{i=0}^n y_i \varphi_i $$ Merkregel: Damit eine Polynomfunktion entstehen kann muss der Nenner von $\varphi_i$ ein Zahlenwert sein und nur der Z"ahler ist eine Funktion von $x$. Und da man nicht durch 0 dividieren kann muss man den Fall $k=i$ bei der Konstruktion von $\varphi_i$ auslassen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Rationale Funktionen und Polstellen} \small Eine Funktion $R(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$, wobei $p(x)$ und $q(x)$ Polynome sind, heisst {\bf rationale Funktion}. Der Definitionsbereich $\mathbb D$ von $R(x)$ ist $\mathbb R$ ohne die Nullstellen von $q(x)$. Eine rationale Funktion ist auf ganz $\mathbb D$ stetig. {\bf Polstelle:} \\ Sei $\alpha$ ein Argument von $R(x)$ und Nullstelle von $q(x)$, $n > 0$ die Vielfachheit der Nullstelle $q(\alpha)$ und $k \ge 0$ die Vielfachheit der Nullstelle $p(\alpha)$ so gilt.. \hskip1em $\bullet$ im Fall $n > k$: \\ \null\hskip3em $\alpha$ ist eine Polstelle von $R(x)$ mit $(n-k)$-ter Ordnung \hskip1em $\bullet$ und im Fall $n \le k$: \\ \null\hskip3em $\alpha$ ist eine hebbare Unstetigkeit von $R(x)$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Partialbruchzerlegung} \scriptsize Die Partialbruchzerlegung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen als Summe einfacher rationaler Funktionen der Form $$ \frac{A}{(x-\alpha)^j} \hskip1em \text{und} \hskip1em \frac{Bx + C}{(x^2 + \beta x + \gamma)^m} \text{.} $$ {\bf Schritt 1: Der Ansatz} \\ Zerlegen des Nennerpolynoms in die Linearfaktoren. Zu jedem linearfaktor wird ein Bruch erstellt. Sei $\alpha$ eine $n$-fache Nullstelle des Nennerpolynoms: $$ (x - \alpha)^n \bk\mathrel{\widehat{=}}\bk \frac{A}{x-\alpha} + \frac{B}{(x-\alpha)^2} + \cdots + \frac{C}{(x-\alpha)^n} $$ {\bf Schritt 2: Bestimmen der Z"ahler} \\ Durch Gleichsetzten von Ansatz und der rationalen Funktion k"onnen die Werte $A$, $B$, \dots bestimmt werden. Entweder durch Koeffizientenvergleich oder durch einsetzen konkreter $x$-Werte. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Winkel, Kreisbogen, \\ Einheitskreis, Bogenma"s} \scriptsize Der Winkel (eigentlich {\it ebener Drehwinkel}) ist eine skalare Gr"osse die die relative Lage zweier Strahlen in einer Ebene mit gemeinsamen Anfangspunkt beschreibt. Drehwinkel k"onnen in Grad angegeben werden, wobei $\unit[360]{\!^\circ}$ einer vollen Drehung entsprechen. Bei $\unit[180]{\!^\circ}$ erg"anzen sich beide Strahlen zu einer Geraden und bei $\unit[90]{\!^\circ}$ stehen beide Strahlen normal aufeinander. \begin{tikzpicture} \draw (0,4mm) node {\begin{minipage}{4.5cm} Unter Wahl eines Radius $r$ schliessen beide Strahlen einen Kreisbogen mit der Bogenl"ange $b$ ein: \end{minipage}}; \begin{scope}[xshift=4cm] \draw[->] (0:0) -- (0:2); \draw[->] (0:0) -- (20:2); \draw[thin] (-3:1.5) arc (-3:23:1.5); \draw[very thick] (0:1.5) arc (0:20:1.5); \draw (10:0.7) node[rotate=10] {$\alpha$}; \draw (10:1.7) node[rotate=10] {$b$}; \draw (20:0.75) ++(110:0.2) node[rotate=20] {$r$} coordinate (x); \draw[-|] (x) ++(20:0.15) -- ++(20:0.6); \draw[-|] (x) ++(20:-0.15) -- ++(20:-0.6); \end{scope} \end{tikzpicture} Eine von Grad verschiedene Art Winkel zu vermessen ist das dimensionslose Bogenmass $\varphi = b/r$. Bei der Wahl von $r=1$ (Einheitskreis) gilt somit $\varphi=b$. % $$ \varphi = \frac{\alpha \pi}{180} \hskip1em \unit[360]{\!^\circ} \mathrel{\widehat{=}} \unit[2\pi]{rad} \hskip1em \unit[180]{\!^\circ} \mathrel{\widehat{=}} \unit[\pi]{rad} \hskip1em \unit[90]{\!^\circ} \mathrel{\widehat{=}} \unit[\frac{\pi}{2}]{rad} $$ % Wegen der Periodizit"at des Kreises haben alle Winkelfunktionen eine $\unit[360]{\!^\circ}$ bzw. $\unit[2\pi]{rad}$ Periode. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Sinus und Cosinus} \scriptsize\vbox{ Gegeben ist ein Punkt $\mathrm{P} = (x,y)$ am Einheitskreis (Kreis zentriert am Ursprung mit Radius 1) unter Angabe des im Bogenmass gemessenen Winkels $\varphi$ zwischen dem Strahl OP und der positiven $x$-Achse. Definition von Sinus und Cosinus: $$ \cos(\varphi): \mathbb R \to [-1; +1]: \varphi \mapsto x \hskip2em \sin(\varphi): \mathbb R \to [-1; +1]: \varphi \mapsto y $$ % \vbox to 0pt{\vskip-1cm \begin{tikzpicture} \draw[white] (-7.3,1) -- (0,0); \begin{scope}[scale=0.5] \draw[->] (-0.5,0) -- (3,0) node[below] {$\varphi$}; \draw[->] (0,-1) -- (0,+1) node[right] {$\sin \varphi$}; \draw[domain=-0.5:2.8] plot function {0.5*sin(x*3)}; \end{scope} \begin{scope}[yshift=-1.2cm,scale=0.5] \draw[->] (-0.5,0) -- (3,0) node[below] {$\varphi$}; \draw[->] (0,-1) -- (0,+1) node[right] {$\cos \varphi$}; \draw[domain=-0.5:2.8] plot function {0.5*cos(x*3)}; \end{scope} \end{tikzpicture}\vss} \vskip-2em $\null\hskip1em\bullet$ Sinus und Cosinus sind beide $2\pi$-Periodisch. $\null\hskip1em\bullet$ Sinus ist ungerade und Cosinus ist gerade. $$ \sin(\varphi + \pi) = -\sin\varphi, \hskip1em \cos(\varphi + \pi) = -\cos\varphi \hskip2cm $$ $$ \cos\varphi = \sin(\varphi + \frac{\pi}{2}), \hskip1em \sin\varphi = \cos(x - \frac{\pi}{2}) \hskip2cm $$ \vskip-1em $\null\hskip1em\bullet$ Sinus hat die Nullstellen $k\pi$ und Cosinus die Nullstellen $k\pi+\pi/2$ ($k \in \mathbb Z$) \vskip-0.5em $\null\hskip1em\bullet$ Aus dem Satz des Pythagoras folgt: $\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 \bk\forall\varphi\in\mathbb R$ } \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Sinussatz und Cosinussatz} {\bf Sinussatz:} \\ In einem Dreieck mit den Seiten $a$, $b$, $c$ und den gegen"uberliegenden Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gilt: $$ \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c} \hskip1cm $$ \vbox to 0pt{\vss \begin{tikzpicture} \draw[white] (-6.5,-1.5) -- (0,0); \draw (0,0) -- node[below]{$a$} (2,0) -- node[right] {$b$} (2.5,1.5) -- node[above] {$c$} (0,0); \draw (0,0) ++(15:0.7) node {$\beta$}; \draw (2,0) ++(140:0.3) node {$\gamma$}; \draw (2.5,1.5) ++(-130:0.4) node {$\alpha$}; \end{tikzpicture}\vss} {\bf Cosinussatz:} \\ In einem Dreieck mit den Seiten $a$, $b$, $c$ und den gegen"uberliegenden Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gilt: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma $$ (Spezialfall $\gamma = \unit[90]{\!^\circ}$: $a^2 + b^2 = c^2$) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Summens"atze f"ur Sinus und Cosinus: \\ $\sin(x \pm y)$ und $\cos(x \pm y)$ \\ (sowie Spezialf"alle $x=y$)} \null\vfil \begin{align*} \sin(x \pm y) &= \sin x \cos y \pm \cos x \sin y \\ \cos(x \pm y) &= \cos x \cos y \mp \sin x \sin y \\ \\ \sin 2x &= 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x \end{align*} \null\vfil\null \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Summens"atze: $\cos x \cos y$ \\ (und Derivate sowie Spezialf"alle $x=y$)} \null\vfil \begin{align*} 2 \cos x \cos y &= \cos(x-y) + \cos(x+y) \\ 2 \sin x \,\sin y &= \cos(x-y) - \cos(x+y) \\ 2 \sin x \cos y &= \,\sin(x-y) + \sin(x+y) \\ \\ \cos^2 x &= \nicefrac{1}{2}\left( 1 + \cos 2x \right) \\ \sin^2 x &= \nicefrac{1}{2}\left( 1 - \cos 2x \right) \end{align*} \null\vfil \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Summens"atze f"ur Sinus und Cosinus: \\ $\sin x \pm \sin y$ und Derivate} \null\vfil \begin{align*} \sin x \pm \sin y &= \hphantom{-}2 \sin \frac{x \pm y}{2} \cos \frac{x \mp y}{2} \\ \\ \cos x + \cos y &= \hphantom{-}2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} \\ \\ \cos x - \cos y &= -2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} \\ \end{align*} \null\vfil \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Tangens und Cotangens} Die Funktionen Tangens und Cotangens sind folgendermassen definiert: $$ \tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} \hskip1cm \cot\varphi = \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi} $$ \begin{tikzpicture} \begin{scope} \draw (-6.7,0.7) node[below right] {\begin{minipage}{4cm} Der Tangens hat eine Polstelle alle $k\pi + \nicefrac{\pi}{2}$, ist ungerade und $\pi$-periodisch: \end{minipage}}; \draw[->] (-2.2,0) -- (+2.2,0); \draw[->] (0,-0.7) -- (0,+0.7); \draw[domain=-2.2:-1.2] plot function {0.2*tan(x*pi/2)}; \draw[domain=-0.8:+0.8] plot function {0.2*tan(x*pi/2)}; \draw[domain=+1.2:+2.2] plot function {0.2*tan(x*pi/2)}; \draw (-2,-1mm) -- (-2,+1mm) ++(0,-3pt) node [above] {\tiny $-\pi$}; \draw (-1,-1mm) -- (-1,+1mm) ++(0,-3pt) node [above] {\tiny $\nicefrac{-\pi}{2}$}; \draw (+1,-1mm) -- (+1,+1mm) ++(0,-3pt) node [above] {\tiny $\nicefrac{\pi}{2}$}; \draw (+2,-1mm) -- (+2,+1mm) ++(0,-3pt) node [above] {\tiny $\pi$}; \end{scope} \begin{scope}[yshift=-1.7cm] \draw (-6.7,0.7) node[below right] {\begin{minipage}{4cm} Der Cotangens hat eine Polstelle alle $k\pi$ und ebenfalls ungerade und $\pi$-periodisch: \end{minipage}}; \draw[->] (-2.2,0) -- (+2.2,0); \draw[->] (0,-0.7) -- (0,+0.7); \draw[domain=-1.8:-0.2] plot function {0.2*tan(pi/2 - x*pi/2)}; \draw[domain=+0.2:+1.8] plot function {0.2*tan(pi/2 - x*pi/2)}; \draw (-2,-1mm) -- (-2,+1mm) ++(0,-3pt) node [above] {\tiny $-\pi$}; \draw (-1,-1mm) -- (-1,+1mm) ++(0,-3pt) node [above] {\tiny $\nicefrac{-\pi}{2}$}; \draw (+1,-1mm) -- (+1,+1mm) ++(0,-3pt) node [above] {\tiny $\nicefrac{\pi}{2}$}; \draw (+2,-1mm) -- (+2,+1mm) ++(0,-3pt) node [above] {\tiny $\pi$}; \end{scope} \end{tikzpicture} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Eigenschaften von Tangens und Cotangens} {\bf Eigenschaften von Tangens und Cotangens:} Beide Funktionen sind $\pi$-periodisch. Beide Funktionen sind ungerade: $$ \tan\varphi = -\tan(-\varphi) \hskip1cm \cot\varphi = -\cot(-\varphi) $$ $$ \cot\varphi = \tan(\nicefrac{\pi}{2} - \varphi) $$ Additionstheorem: $$ \tan(x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Winkelfunktionen im \\ rechtwinkeligen Dreieck} \vbox{ In rechtwinkeligen Dreieck mit den Seiten $a$, $b$, $c$ und den gegen"uberliegenden Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ mit $\gamma = \unit[90]{\!^\circ}$ gilt: {\bf Sinus = Gegenkathete durch Hypothenuse:} \\ $\sin\alpha = a/c$, $\sin\beta = b/c$ {\bf Cosinus = Ankathete durch Hypothenuse:} \\ $\cos\alpha = b/c$, $\cos\beta = a/c$ {\bf Tangens = Gegenkathete durch Ankathete:} \\ $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = a/b$, $\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = b/a$ {\bf Die "`Sinus-Tangens-Ungleichung"':} \\ $|\sin\varphi| \le |\varphi| \le |\tan\varphi|$ \bk mit $\varphi\in[0;\nicefrac{\pi}{2}[$ \vbox to 10pt{\vss \begin{tikzpicture} \draw[white] (-6.5,0) -- (0,0); \draw (0,0) -- node[below]{$a$} (2,0) -- node[right] {$b$} (2,1.5) -- node[above] {$c$} (0,0); \draw (0,0) ++(17:0.6) node {$\beta$}; % \draw (2,0) ++(140:0.3) node {$\gamma$}; \draw (2,1.5) ++(-120:0.3) node {$\alpha$}; \end{tikzpicture}} } \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Werte der Winkelfunktionen \\ f"ur spezielle Winkel} \null\vfil\hfil\vbox{ {\baselineskip=2.2em\halign{\hfill\quad#\quad&&\hss\quad#\quad\cr Grad & rad & $\sin\varphi$ & $\cos\varphi$ & $\tan\varphi$ \cr $0\dg$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$ \cr $30\dg$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}$ & $\frac{1}{\sqrt{3}}$ \cr $45\dg$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}$ & $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}$ & $1$ \cr $60\dg$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}$ & $\frac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$ \cr $90\dg$ & $\frac{\pi}{2}$ & $1$ & $0$ & --- \cr }}} \bigskip \bigskip \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stetigkeit der Winkelfunktionen} Die Funktionen sin, cos, tan und cot sind auf ihren Definitionsbereichen stetig. Die Funktion tan hat Pole 1. Ordnung an den Stellen $$ (k + \nicefrac{1}{2})\pi \text{ \bk mit } k \in \mathbb Z $$ Die Funktion cot hat Pole 1. Ordnung an den Stellen $$ k\pi \text{ \bk mit } k \in \mathbb Z $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Zyklometrische Funktionen} \scriptsize Die {\bf Zyklometrische Funktionen} sind die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen. Wegen ihrer Periodizit"at sind die Winkelfunktionen nur auf Teilen ihrer Definitionsbereiche invertierbar. \vskip-2em \null\hfil \begin{tikzpicture} \begin{scope}[scale=1] \draw[->] (-1.2,0) -- (+1.2,0); \draw[->] (0,-1.6) -- (0,+1.6); \draw[domain=-0.99999:+0.99999,samples=100] plot function { asin(x) }; \draw (0.6,0.6) node [above,rotate=51] {$\arcsin x$}; \end{scope} \begin{scope}[yshift=-1.6cm,xshift=2.5cm,scale=1] \draw[->] (-1.2,0) -- (+1.2,0); \draw[->] (0,0) -- (0,+3.2); \draw[domain=-0.99999:+0.99999,samples=100] plot function { acos(x) }; \draw (0.5,1) node [above,rotate=-51] {$\arccos x$}; \end{scope} \begin{scope}[yshift=+0.9cm,xshift=5.5cm,scale=0.5] \draw[->] (-3,0) -- (+3,0); \draw[->] (0,-1.5) -- (0,+1.5); \draw[domain=-5:+5,samples=100,scale=3/5] plot function { atan(x) }; \draw (2,0.7) node [above,rotate=5] {$\arctan x$}; \end{scope} \begin{scope}[yshift=-0.9cm,xshift=5.5cm,scale=0.5] \draw[->] (-3,0) -- (+3,0); \draw[->] (0,-1.5) -- (0,+1.5); \draw[domain=-5:0,samples=100,scale=3/5] plot function { -pi/2 + atan(-x) } coordinate (x); \draw[domain=+5:0,samples=100,scale=3/5] plot function { pi/2 + atan(-x) }; \draw[fill=white] (x) circle (3pt); \draw[fill=black] ($ (0,0) - (x) $) circle (3pt); \draw (2,0.15) node [above,rotate=-5] {$\arccot x$}; \end{scope} \draw (1.25,-2.2) node {$\displaystyle \arcsin: [-1,+1] \to [-\nicefrac{\pi}{2}, +\nicefrac{\pi}{2}] $}; \draw (1.25,-2.7) node {$\displaystyle \arccos: [-1,+1] \to [0, \pi] $}; \draw (5.5,-2.2) node {$\displaystyle \arctan: \mathbb R \to \,]\!-\nicefrac{\pi}{2}, +\nicefrac{\pi}{2}[ \,\hphantom{\backslash \{0\}} $}; \draw (5.5,-2.7) node {$\displaystyle \arccot: \mathbb R \to \,]\!-\nicefrac{\pi}{2}, +\nicefrac{\pi}{2}] \backslash \{0\} $}; \end{tikzpicture} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Allgemeine Exponentialfunktion} \vbox{ \scriptsize\setstretch{0.4} Die {\bf allgemeine Exponentialfunktion} zur {\bf Basis} $a > 0$ ist definiert als $$ f(x): \mathbb R \to \mathbb R^+: x \mapsto a^x $$ und ist auf ganz $\mathbb R$ stetig. F"ur die allgemeine Exponentialfunktion gilt: $$ a^{x+y} = a^x a^y \hskip2cm \left(a^x\right)^y = a^{xy} \hskip2cm $$ F"ur $a > 1$ ist $a^x$ streng monoton wachsend und es gilt: $$ \lim_{x\to+\infty} a^x = \infty \hskip2cm \lim_{x\to-\infty} a^x = 0 \hskip2cm $$ F"ur $0 < a < 1$ ist $a^x$ streng monoton fallend und es gilt: $$ \lim_{x\to+\infty} a^x = 0 \hskip2cm \lim_{x\to-\infty} a^x = \infty \hskip2cm $$ F"ur $a = 1$ ist $a^x = 1$ konstant. \vbox to 0pt{\vss \begin{tikzpicture} \draw[white] (-8,0.5) -- (0,0.5); \draw[->] (-3,0) -- (+1.3,0) node [above] {$x$}; \draw[->] (0,0) -- (0,+5) node [right] {$a^x$}; \draw[dotted] (1/1.6,0) |- (0,3.5/1.6); \draw (0,3.5/1.6) node[left] {$a$} ++(+1mm,0) -- ++(-2mm,0); \draw (0,1/1.6) node[left] {$1$} ++(+1mm,0) -- ++(-2mm,0); \draw (1/1.6,0) node[above right] {$1$} ++(0,+1mm) -- ++(0,-2mm); \draw[ultra thick,white,domain=1:1.5] plot function { (3.5**(1.6*x))/1.6 }; \draw[domain=-3:1.5] plot function { (3.5**(1.6*x))/1.6 }; \end{tikzpicture}} } \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Allgemeine Logarithmusfunktion} Die {\bf allgemeine Logarithmusfunktion} zur {\bf Basis} $a > 0$ ist die Umkehrfunktion der allgem. Exponentialfunktion zur Basis $a$: $$ a^y = x \bk\Longleftrightarrow\bk \log_a x = y $$ % \vbox to 0pt{\vss \begin{tikzpicture} \draw[white] (-7.5,0) circle (1pt) (0,-1) circle (1pt); \draw[->] (0,0) -- (+1.5,0); \draw[->] (0,-0.5) -- (0,+0.5); \draw[domain=0.01:1.5,samples=100] plot function {log(x*5)/5}; \end{tikzpicture}\vss} \vfill {\bf Rechenregeln f"ur den Logarithmus:} \\ $$ \log_a x + \log_a y = \log_a xy \hskip1cm \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} $$ $$ \log_a(b^x) = x \log_a b \hskip1.2cm \log_a c = (\log_a b) (\log_b c) $$ \vfill Wegen $a = \euler^{\ln a}$ und $\left(\euler^x\right)^y = \euler^{xy}$ gilt: \bk $a^x = \euler^{x \ln a}$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Allgemeine Potenzfunktion} \small Die {\bf allgemeine Potenzfunktion} zum {\bf Exponenten} $a$ ist definiert als die auf ganz $\mathbb D$ stetige Funktion $f(x) = x^a$. \begin{tabular}{l p{7.5cm}} $ a = 0: $ & $x^a = 1$ ist eine konstante Funktion. \\ $ a \in \mathbb Z^+: $ & $x^a$ ist ein auf $\mathbb R$ definiertes Polynom. \\ $ a \in \mathbb Z^-: $ & $x^a$ ist eine auf $\mathbb R \backslash \{0\}$ definierte rationale Funktion. \end{tabular} \begin{tabular}{l p{7.5cm}} $ a \in \mathbb R^+ \backslash \mathbb Z: $ & Definitionsbereich und Bild von $f(x)$ ist $[0; \infty[$. \\ $ a \in \mathbb R^- \backslash \mathbb Z: $ & Definitionsbereich und Bild von $f(x)$ ist $]0; \infty[$. \\ \end{tabular} \begin{tabular}{l p{7.5cm}} $ a > 0: $ & $x^a$ ist auf $\mathbb R^+$ streng monoton wachsend \\ $ a < 0: $ & $x^a$ ist auf $\mathbb R^+$ streng monoton fallend \end{tabular} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Hyperbelfunktionen \\ im Vergleich zu den Winkelfunktionen} \scriptsize \begin{tikzpicture} \draw (-7.5,0) node[right] {\begin{minipage}{5cm} Die {\bf Winkelfunktionen} $y = \sin t$ und $x = \cos t$ bilden eine parametrische Darstellung eines Kreises ($x^2 + y^2 = 1$), wobei der Parameter $t$ dem Winkel den der Ortsvektors des jeweiligen Punktes an der Kreisbahn zur positiven $x$-Achse bildet enspricht. \end{minipage}}; \draw[->] (-1,0) -- (+1,0); \draw[->] (0,-1) -- (0,+1); \draw (0,0) circle (0.8); \draw[-latex] (0:0) -- (45:0.8); \draw (0:0.4) arc (0:45:0.4) (22.5:0.3) node {$t$}; \draw[dotted] (45:0.8) coordinate (p1) let \p1 = (p1) in (p1) -- (\x1,0) coordinate (x); \draw[dotted] (45:0.8) coordinate (p1) let \p1 = (p1) in (p1) -- (0,\y1) coordinate (y); \draw (x) ++(0,2pt) -- ++(0,-4pt) (x) ++(2pt, 2pt) node[below left] {\tiny $\cos t$}; \draw (y) ++(2pt,0) -- ++(-4pt,0) (y) ++(2pt, 2pt) node[rotate=90,above left] {\tiny $\sin t$}; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture} \draw (-7.5,0) node[right] {\begin{minipage}{5cm} Die {\bf Hyperbelfunktionen} $y = \sinh t$ und $x = \cosh t$ bilden eine parametrische Darstellung einer Hyperbel ($x^2 - y^2 = 1$), wobei der Parameter $t$ der in der Abbildung hervorgehobenen Fl"ache entspricht. \\ \\ Das erkl"art auch den Namen Areafunktionen f"ur die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. \end{minipage}}; % sqrt(3) = 1.73205... \draw ($ 0.5*(2,+1.73205) + (-1.5,0) $) coordinate (p1); \draw ($ 0.5*(2,-1.73205) + (-1.5,0) $) coordinate (p2); \fill[blue!20] (-1.5,0) -- (p1) -- (p2); \fill[white,domain=-1:0,samples=100] plot function {+sinh(acosh((x+1.5)*2))/2} -- (0,0); \fill[white,domain=-1:0,samples=100] plot function {-sinh(acosh((x+1.5)*2))/2} -- (0,0); \draw[->] (-1.7,0) -- (+1,0); \draw[->] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,+1.5); \draw[domain=-1:0,samples=100] plot function {+sinh(acosh((x+1.5)*2))/2}; \draw[domain=-1:0,samples=100] plot function {-sinh(acosh((x+1.5)*2))/2}; \draw[-latex] (-1.5,0) -- (p1); \draw[dotted] let \p1 = (p1) in (p1) -- (\x1,0) coordinate (x); \draw[dotted] let \p1 = (p1) in (p1) -- (-1.5,\y1) coordinate (y); \draw (x) ++(0,2pt) -- ++(0,-4pt) (x) ++(-2pt, 2pt) node[below right] {\tiny $\cosh t$}; \draw (y) ++(2pt,0) -- ++(-4pt,0) (y) ++(2pt, 2pt) node[rotate=90,above left] {\tiny $\sinh t$}; \end{tikzpicture} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die Hyperbelfunktionen} \null\vfill $$ \cosh t = \frac{\euler^t + \euler^{-t}}{2} \hskip2cm \sinh t = \frac{\euler^t - \euler^{-t}}{2} $$ $$ \tanh t = \frac{\sinh t}{\cosh t} \hskip2cm \coth t = \frac{\cosh t}{\sinh t} $$ \null\vfill Die Funktionen cosh, sinh und tanh sind auf ganz $\mathbb R$ definiert. Die Funktion coth ist wegen $\sinh 0 = 0$ auf $\mathbb R \backslash \{0\}$ definiert. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Eigenschaften der Hyperbelfunktionen} \scriptsize\vbox{ Die Hyperbelfunktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig. Die Funktion $\cosh t$ ist eine gerade Funktion. Die Funktionen $\sinh t$, $\tanh t$ und $\coth t$ sind ungerade. Die Funktion $\cosh t$ hat ein minimum bei $t=0$. Sie ist auf $\mathbb R^+$ streng mononton steigend und auf $\mathbb R^-$ streng monoton fallend. Die Funktionen $\sinh t$ und $\tanh t$ sind auf ganz $\mathbb R$ strong monoton wachsend. % $$ \lim_{t \to \pm\infty} \cosh t = \infty \hskip0.8cm \lim_{t \to \pm\infty} \sinh t = \pm\infty \hskip0.8cm \lim_{t \to \pm\infty} \tanh t = \pm1 $$ \vskip-0.5cm \hfil \begin{tikzpicture} \begin{scope}[xshift=-3cm] \draw[->] (-0.8,0) -- (+0.8,0); \draw[->] (0,-0.5) -- (0,+0.8); \draw[domain=-0.5:+0.5] plot function { cosh(x*4)/4 }; \draw (0,-0.5) node[below] {\tiny $\cosh x$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=0cm] \draw[->] (-0.8,0) -- (+0.8,0); \draw[->] (0,-0.5) -- (0,+0.8); \draw[domain=-0.5:+0.5] plot function { sinh(x*4)/4 }; \draw (0,-0.5) node[below] {\tiny $\sinh x$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=+3cm] \draw[->] (-0.8,0) -- (+0.8,0); \draw[->] (0,-0.5) -- (0,+0.8); \draw[domain=-0.8:+0.8] plot function { tanh(x*4)/4 }; \draw (0,-0.5) node[below] {\tiny $\tanh x$}; \end{scope} \end{tikzpicture}} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Identit"aten und Additionstheoreme \\ der Hyperbelfunktionen} F"ur alle $x, y \in \mathbb R$ gilt: $$ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \hskip1cm \cosh^2 x + \sinh^2 x = \cosh 2 x $$ $$ \euler^x = \cosh x + \sinh x \hskip1cm \euler^{-x} = \cosh x - \sinh x $$ $$ \cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y $$ $$ \sinh(x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Area sinus hyperbolicus \\ und Area cosinus hyperbolicus} Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen: $$ \operatorname{arsinh} x:\bk \mathbb R \;\to\; \mathbb R:\bk \sinh x \mapsto x $$ $$ \operatorname{arsinh} x = \ln( x + \sqrt{x^2 + 1}) $$ $$ \operatorname{arcosh} x:\bk [1; \infty[\, \;\to\; [0; \infty[\,:\bk \cosh x \mapsto x $$ $$ \operatorname{arcosh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Area tangens hyperbolicus \\ und Area cotangens hyperbolicus} Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen: $$ \operatorname{artanh} x:\bk ]-1; +1[\, \;\to\; \mathbb R:\bk \tanh x \mapsto x $$ $$ \operatorname{artanh} x = \frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x} $$ $$ \operatorname{arcoth} x:\bk \mathbb R \backslash [-1;+1] \;\to\; \mathbb R:\bk \coth x \mapsto x $$ $$ \operatorname{arcoth} x = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Differenzenquotient und Differentialquotient} {\bf Differenzenquotient:} \\ Der Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante durch den Funktionsgraphen an den Stellen $x$ und $z = x + h$: $$ \frac{f(z) - f(x)}{z - x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ {\bf Differentialquotient:} \\ Der Differentialquotient entspricht der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an der Stelle $x$. Der Differentialquotient ist der Differenzenquotient im Grenzwert $z \to x$ bzw. $h \to 0$: $$ \lim_{z \to x} \frac{f(z) - f(x)}{z - x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ableitung und Differenzierbarkeit} \small Eine reelle Funktion $f(x)$ heisst {\bf differenzierbar an der Stelle $x$} wenn der Differentialquotient an dieser stelle existiert: $$ f'(x) = \lim_{z \to x} \frac{f(z) - f(x)}{z - x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ Man bezeichnet $f'(x)$ als {\bf Ableitung} von $f$ an der Stelle $x$. Existiert $f'(x)$ auf eunem ganzen Intervall $\mathbb I$, so sagt man $f(x)$ ist {\bf differenzierbar} auf $\mathbb I$ und $f'(x)$ ist eine Funktion. Ist $f'(x)$ auf $\mathbb I$ stetig so sagt man, $f(x)$ ist {\bf stetig differenzierbar} auf $\mathbb I$. Andere "ubliche Bezeichnungen f"ur die Ableitung von $y=f(x)$ sind: $$ \frac{\leibd}{\leibdx} f(x) \hskip2em \frac{\leibd y}{\leibdx} \hskip2em y' \hskip2em \dot y $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Tangente und lineare Approximierbarkeit} \small Sei $f(x)$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar, dann ist die Tangente an $f(x)$ an der Stelle $x_0$ der Graph der Funktion $$ t(x) := f(x_0) + f'(x_0) \; (x - x_0) \text{.} $$ % Die Funktion $t(x)$ ist die {\bf lineare Approximation} von $f(x)$ an der Stelle $x_0$. D.h. es gilt: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - t(x)}{x-x_0} = 0 $$ % Die Funktion $t(x)$ genau dann an der Stelle $x_0$ differenzierbar, wenn $f(x)$ an der Stelle $x_0$ linear approximierbar ist. Aus der linearen Approximierbarkeit von $f$ folgt unmittelbar die Stetigkeit von $f$. Die lineare Approximation wird u.A. in der Fehlerrechnung verwendet: $\hskip1em y = f(x) \bk\Rightarrow\bk |\Delta y| \approx |f'(x_0)||\Delta x| \hskip1em \text{mit $x \approx x_0$} $ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ableitungen von Polynomfunktionen} \scriptsize Polynomfunktionen k"onnen mit den folgenden Regeln differenziert werden: \small {\bf Ableitung von Summen:} \\ \null\hskip3em $ (a + b)' = a' + b' $ {\bf Ableitung der konstanten Funktion:} \\ \null\hskip3em $ f(x) = k \bk \Rightarrow \bk f'(x) = 0 $ {\bf Ableitung von konstanten Faktoren:} \\ \null\hskip3em $ (k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x) $ {\bf Ableitung von Potenzen:} \\ \null\hskip3em $ (x^n)' = n x^{n-1} $ \scriptsize \null\hfill{\bf Beispiel:} $ (5x^3 + 2x^2 - 3x + 8)' = 15 x^2 + 4x - 3 $ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Differentialrechnung: \\ Produktregel, Quotentenregel \\ und Kettenregel} {\bf Produktregel der Differentialrechnung:} $$ (u \cdot v)' = u'v + uv' $$ {\bf Quotentenregel der Differentialrechnung:} $$ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v = uv'}{v^2} $$ {\bf Kettenregel der Differentialrechnung:} $$ \big( f(g(x)) \big)' = (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ableitungen von \\ Exponentialfunktion \\ und Logarithmus} \small {\bf Nat"urliche Exponentialfunktion und Logarithmus:} $$ (\euler^x)' = \euler^x \hskip3em (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ {\bf Allgemeine Exponentialfunktion:} \\ Aus der Beziehung $a^x = \euler^{x \ln a}$ und der Kettenregel folgt: $$ (a^x)' = a^x \ln x $$ {\bf Allgemeine Logarithmusfunktion:} \\ Aus der Beziehung $\log_a x = \ln x / \ln a$ und der Regel "uber konstante Faktoren folgt: $$ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ableitung der inversen Funktion} Sei $f(x)$ eine reelle Funktion und $f^{-1}(x)$ ihr inverses. Sei weiters $f'(x)$ bekannt und $\big(f^{-1}(x)\big)'$ gesucht: $$ \big(f^{-1}(x)\big)' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$ \vfill\small {\bf Beispiel:} \\ $f(x) = a^x$, \bk$f'(x) = a^x \ln a$, \bk$f^{-1}(x) = \log_a x$ \bk$\Rightarrow$ $$ (\log_a x)' = \frac{1}{a^{\log_a x} \ln a} = \frac{1}{x \ln a} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ableitungen der Winkelfunktionen} \null\vskip-1em $$ (\sin x)' = \cos x \hskip3em (\cos x)' = -\sin x $$ $$ (\tan x)' \bk=\bk \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \bk=\bk \frac{1}{\cos^2 x} \bk=\bk 1 + \tan^2 x $$ $$ (\cot x)' \bk=\bk \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \bk=\bk \frac{-1}{\sin^2 x} \bk=\bk -1 - \cot^2 x $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ableitungen der Hyperbelfunktionen} \null\vskip-1em $$ (\sinh x)' = \cosh x \hskip3em (\cosh x)' = \sinh x $$ $$ (\tanh x)' \bk=\bk \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} \bk=\bk \frac{1}{\cos^2 x} \bk=\bk 1 - \tanh^2 x $$ $$ (\coth x)' \bk=\bk \frac{\sinh^2 x - \cosh^2 x}{\sinh^2 x} \bk=\bk \frac{-1}{\sinh^2 x} \bk=\bk 1 - \coth^2 x $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ableitungen der Arcusfunktionen} $$ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \hskip2em \text{mit $x \in \;]\!-1;+1[$} $$ $$ (\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \hskip2em \text{mit $x \in \;]\!-1;+1[$} $$ $$ (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \hskip2em \text{mit $x \in \mathbb R$} $$ $$ (\arccot x)' = \frac{-1}{1 + x^2} \hskip2em \text{mit $x \in \mathbb R$} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ableitungen der Areafunktionen} $$ (\arsinh x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \hskip2em \text{mit $x \in \mathbb R$} $$ $$ (\arcosh x)' = \frac{-1}{\sqrt{x^2 - 1}} \hskip2em \text{mit $x > 1$} $$ $$ (\artanh x)' = \frac{1}{1 - x^2} \hskip2em \text{mit $|x| < 1$} $$ $$ (\arcoth x)' = \frac{1}{1 - x^2} \hskip2em \text{mit $|x| > 1$} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Mittelwertsatz der Differentialrechnung \\ und der Satz von Rolle} Sei $f(x)$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar auf $]a,b[$. Dann gibt es mindestens einen Punkt $c \in \;]a,b[$, so dass gilt $$ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \text{.} $$ D.h. es gibt mindestens einen Punkt im Intervall $]a,b[$ an dem die Tangentensteigung gleich ist der Steigung der Sekante durch $a$ und $b$. \vfill\small {\bf Satz von Rolle (Spezialfall des Mittelwertsatzes):} \\ Wenn $f(a) = f(b)$ so gibt es mindestens ein $c \in ]a,b[$ mit $f'(c) = 0$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Monotonieverfalten von Funktionen \\ und Vorzeichen der Ableitung} \small Sei $f(x)$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar auf $]a,b[$. \begin{align*} \vbox to 1.5em{\vfil} f'(x) > 0 \;\;\forall x \in \;]a,b[ \bk&\Longrightarrow\bk \text{$f$ streng mon. wachsend auf $[a,b]$} \\ \vbox to 1.5em{\vfil} f'(x) \ge 0 \;\;\forall x \in \;]a,b[ \bk&\Longrightarrow\bk \text{$f$ mon. wachsend auf $[a,b]$} \\ \vbox to 1.5em{\vfil} f'(x) = 0 \;\;\forall x \in \;]a,b[ \bk&\Longrightarrow\bk \text{$f$ konstant auf $[a,b]$} \\ \vbox to 1.5em{\vfil} f'(x) \le 0 \;\;\forall x \in \;]a,b[ \bk&\Longrightarrow\bk \text{$f$ mon. fallend auf $[a,b]$} \\ \vbox to 1.5em{\vfil} f'(x) < 0 \;\;\forall x \in \;]a,b[ \bk&\Longrightarrow\bk \text{$f$ streng mon. fallend auf $[a,b]$} \\ \end{align*} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Lipschitzstetigkeit stetig \\ differenzierbarer Funktionen} Sei $f$ stetig differenzierbar auf $[a,b]$. Dann ist $f$ lipschitzstetig auf $[a,b]$, d.h.: $$ |f(x_1) - f(x_2)| \bk\le\bk L|x_1 - x_2| \bk\bk \forall x_1, x_2 \in [a,b] $$ mit $\displaystyle L = \max_{x \in [a,b]} |f'(x)|$ als kleinstm"ogliche Lipschitzkonstante. \vfill\scriptsize {\bf Beweis:} \\ Da stetige Funktionen ihr Maximum annehmen (keine Polstellen besitzen) exitiert $ \max |f'(x)| $. Wegen dem Mittelwertsatz existiert jede Sekantensteigung auch als Wert der Ableitung. Damit muss das Maximum f"ur die Ableitung auch das Supremum der Sekantensteigung sein. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Unbestimmte Formen \\ vom Typ $\frac{0}{0}$ und $\frac{\infty}{\infty}$} \small Seien $f$ und $g$ Funktionen mit $f(x) \to 0$ und $g(x) \to 0$ mit $x \to c$, so gilt die {\bf Regel von de l'Hospital} f"ur unbestimmte Formen vom Typ $\frac{0}{0}$: $$ \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \alpha \bk\bk\Rightarrow\bk\bk \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha $$ \vfill Analog dazu gilt f"ur $f(x) \to \infty$ und $g(x) \to \infty$ mit $x \to c$ die Regel von de l'Hospital f"ur unbestimmte Formen vom Typ $\frac{\infty}{\infty}$: $$ \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \alpha \bk\bk\Rightarrow\bk\bk \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha $$ \vfill Dabei ist $\alpha = \pm\infty$ und $c = \pm\infty$ zugelassen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Unbestimmte Formen \\ vom Typ $0 \cdot \infty$ und $\infty - \infty$} \small Seien $f$ und $g$ Funktionen mit $f(x) \to 0$ und $g(x) \to \infty$ mit $x \to c$, so kann man $f \cdot g$ in die unbestimmte Form $\frac{0}{0}$ umformen: $$ f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} $$ \vfill Seien $f$ und $g$ Funktionen mit $f(x) \to \infty$ und $g(x) \to \infty$ mit $x \to c$, so kann man $f - g$ in die unbestimmte Form $\frac{0}{0}$ umformen: $$ f(x) - g(x) = \frac{ \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)} }{ \frac{1}{f(x) \cdot g(x)} } $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Unbestimmte Formen \\ vom Typ $1^\infty$, $0^0$ und $\infty^0$} F"ur die unbestimmten Formen vom Typ $1^\infty$, $0^0$ und $\infty^0$ verwendet man die Umformung $$ \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to c} \euler^{ \,g(x) \ln f(x) } \text{.} $$ Damit ergibt sich im Exponenten des rechten Ausdrucks die unbestimmte Form $0 \cdot \infty$. Der Ausdruck im Exponenten kann dann entsprechend weiter in die Form $\frac{0}{0}$ umgeformt werden. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{H"ohere Ableitungen} Falls die Ableitung $f'$ an einer Stelle $x$ differenzierbar ist heisst $f$ and der Stelle $x$ {\bf zweimal differenzierbar} und $f''(x) = (f'(x))'$ heisst {\bf zweite Ableitung} von $f(x)$. \vfill Durch Induktion kann die $k$-te Ableitung ($k \in \mathbb N$) von $f(x)$ definiert werden: $$ f^{(k)}(x) := \big(f^{(k-1)}(x)\big)' $$ \vfill Eine Funktion hei"st {\bf unendlich oft differenzierbar}, wenn f"ur alle $k \in \mathbb N$ die entsprechende Ableitung $f^{(k)}$ existiert. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Konvexe und konkave Funktionen} {\bf Konvexe Funktionen:} \\ konvexe Funktionen sind linksgekr"ummt. D.h. $f''(x) \ge 0$. \\ Bei {\bf streng konvexen Funktionen} gilt $f''(x) > 0$. \\ {\bf Konkave Funktionen:} \\ konkave Funktionen sind rechtsgekr"ummt. D.h. $f''(x) \le 0$. \\ Bei {\bf streng konvexen Funktionen} gilt $f''(x) < 0$. \\ Treffen die oben genannten Kriterien auf die Funktion nur auf einem Intervall zu, so ist die Funktion auf diesem Intervall konvex bzw. konkav. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Taylorsche Lehrsatz} \small F"ur ein Polynom $$ p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n $$ gilt f"ur bei $x=0$ $$ p(0) = a_0, \bk\bk p'(0) = a_1, \bk\bk p''(0) = 2a_2, \bk\bk p'''(0) = 6a_3 $$ und allgemein $$ p^{(k)} = k!\,a_k \bk\bk \text{mit $k \in \mathbb N_0$.} $$ \vfill\scriptsize Dieser Satz kann verwendet werden um eine Funktion von der die ersten $n$ Ableitungen bekannt sind um $x=0$ durch ein Polynom $n$-ter Ordung zu approximieren: $$ p(x) = p(0) + \frac{p'(0)}{1}\,x + \frac{p''(0)}{2}\,x^2 + \frac{p'''(0)}{6}\,x^3 + \cdots + \frac{p^{(n)}(0)}{n!}\,x^n \text{.} $$ Der Fall $n=1$ entspricht der linearen Approximation um $x=0$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Taylorentwicklung \\ und Restglied} \small Sei $f(x)$ eine in einer Umgebung von $x_0$ $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, so l"asst sich $f(x)$ mit Hilfe der {\bf Taylorschen Formel} in der Umgebung von $x_0$ durch das Taylorpolynom von $f$ vom Grad $n$ bei Entwicklung um $x_0$ approximieren: $$ p(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1}\,(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\,(x-x_0)^n $$ Es gilt also $f(x) = p(x) + R_n(x)$ mit dem {\bf Restglied} $R_n$: $$ R_n = \frac{f^{(n+1)}(tx_0 + (1-t)x)}{(n+1)!}\,(x-x_0)^{(n+1)} \bk\bk \text{mit $t \in [0;1] $} $$ Dabei entspricht der Term $tx_0 + (1-t)x$ einem Punkt aus dem Intervall $[x_0; x]$. Beweis zu $R_n$ mittels Mittelwertsatz. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{$\mathcal O$-Notation f"ur \\ das Restglied in der \\ Taylorentwicklung} \scriptsize Das Landau-Symbol $\mathcal O$ wird verwendet um eine Funktion grob anhand einer oberen Schranke f"ur das asymptotische Verhalten der Funktion zu beschreiben, wobei konstante Faktoren in der Regel vernachlaessigt werden. Damit kann man f"ur das Restglied $R_n$ einer Taylorentwicklung $$ R_n = \frac{f^{(n+1)}(tx_0 + (1-t)x)}{(n+1)!}\,(x-x_0)^{(n+1)} \bk\bk \text{mit $t \in [0;1] $} $$ vereinfachend schreiben: $$ R_n = \mathcal O\big((x-x_0)^{n+1}\big) \hskip1em \text{bzw. auch} \hskip1em R_n \in \mathcal O\big((x-x_0)^{n+1}\big) $$ F"ur weitere Umformungen ist es aber hilfreich gewisse Eigenschaften des Restgliedes (insbesondere: kein konstanter Summand) quasi "`im Hinterkopf"' zu behalten. \vfill Anmerkung: Es gibt weitere Landau-Symbole (wie z.Bsp. $\Omega$ f"ur eine untere Schranke des asymptotische Verhalten einer Funktion), die f"ur uns aber nur von untergeordnetem Interesse sind. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Taylorentwicklung \\ und Ordnung einer Nullstelle} \small Die Funktion $f(x)$ sei $k$-mal stetig differenzierbar in einer Umgebung von $x_0$. Die Stelle $x_0$ heisst {\bf Nullstelle $k$-ter Ordnung} falls gilt: $$ f(x_0) = 0, \hskip1em f'(x_0) = 0, \hskip1em \dots, \hskip1em f^{(k-1)}(x) = 0, \hskip1em f^{(k)}(x) \neq 0 $$ \vfill {\bf Argumentation:} Da das Taylorpolynom $k$-ten Grades das $f(x)$ in der Umgebung von $x_0$ approximiert bei $x_0$ eine $k$-fache Nullstelle hat muss auch $f(x)$ eine $k$-fache Nullstelle bei $x_0$ besitzen. {\bf Beispiel:} Die Funktion $f(x) = 1 - \cos x$ hat bei $x=m\pi$ mit $m \in \mathbb Z$ Nullstellen zweiter Ordnung. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Definition: lokales \\ Maximum und Minimum} \small Sei $f(x)$ eine reellwertige Funktion, $x_0$ eine innere Stelle im Definitionsbereich von $f$ und $K_\text{r}(x_0,\varepsilon)$ eine Epsilon-Umgebung um $x_0$. $f$ besitzt an der Stelle $x_0$ ein {\bf lokales Maximum}, falls ein $\varepsilon$ existiert, so dass $ f(x_0) \ge f(x) \bk \forall x \in K_\text{r}(x_0,\varepsilon) $ gilt. $f$ besitzt an der Stelle $x_0$ ein {\bf lokales Minimum}, falls ein $\varepsilon$ existiert, so dass $ f(x_0) \le f(x) \bk \forall x \in K_\text{r}(x_0,\varepsilon) $ gilt. Wenn in den obenstehenden definitionen nicht nur $\ge$ bzw. $\le$ sondern sogar $>$ bzw. $<$ gilt, so spricht man von einem {\bf strikten} lokalem Maximum bzw. {\bf strikten} lokalem Minimum. Maxima und Minima werden unter dem Begriff {\bf Extremstelle} zusammengefasst. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Lokale Extremstellen \\ und Ableitungen} \small Unter der Voraussetzung, dass die Funktion $f$ hinreichend of stetig differenzierbar ist: Sei $f(x)$ eine reellwertige Funktion und $x_0$ eine innere Stelle im Definitionsbereich von $f$ mit $f'(x_0) = 0$. Sei weiters $n$ die Ordnung der ersten Ableitung $\neq 0$. D.h.: $$ f'(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 \hskip1cm f^{(n)}(x_0) \neq 0 $$ Falls $n$ gerade ist: $f$ hat an der Stelle $x_0$ eine lokale Extremstelle. \\ \null\vbox to 1.4em{\null}\hskip1em$\bullet$ $f^{(n)}(x_0) > 0$ \bk $\Longrightarrow$ \bk lokales Minimum \\ \null\vbox to 1.2em{\null}\hskip1em$\bullet$ $f^{(n)}(x_0) < 0$ \bk $\Longrightarrow$ \bk lokales Maximum \vfill Falls $n$ ungerade ist: $f$ hat an der Stelle $x_0$ einen Sattelpunkt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Definition: Asymptotisches Verhalten} Die Aussage "`{\bf $f(x)$ verh"alt siche bei $x_0$ asymptotisch zu $g(x)$}"' oder kurz $$ f(x) \sim g(x) \bk\bk \text{f"ur } x \to x_0 $$ bedeutet $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $$ oder gleichbedeutend $$ f(x) = g(x)(1 + r(x)) \bk\bk \text{mit } \lim_{x \to x_0} r(x) = 0 $$ wobei insbesondere $x_0 = \pm\infty$ zul"assig ist. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Definition: Asymptote} Eine {\bf Asymptote} ist eine Gerade die die Funktion $f(x)$ f"ur $x \to \infty$ (bzw. $x \to -\infty$) absolut approximiert. D.h. wenn $$ \lim_{x \to \pm\infty} | f(x) - (kx + d) | = 0 $$ dann ist die Gerade $kx +d$ die Asymptote von $f$. Ausser im Fall $k = d = 0$ ist die Asymptote immer auch asymptotisch zu $f(x)$. Im Falle eines Pols bei $f(x_0)$ spricht man bei der Geraden $x = x_0$ auch von der {\bf vertikalen Asymptote}. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Kurvendiskussion} \scriptsize Ziel einer Kurvendiskussion ist eine korrekte Darstellung und Beschreibung des Graphen einer Funktion $f$ inklusive ihrer Singularit"aten (Sprungstellen, Pole, Ecken, etc.). Dazu ermittelt man: \\\null \\\null\vbox to 1.2em{\null}\hskip3em$\bullet$ den maximalen Definitionsbereich von $f$ \\\null\vbox to 1.2em{\null}\hskip3em$\bullet$ ob $f$ gerade, ungerade und/oder periodisch ist \\\null\vbox to 1.2em{\null}\hskip3em$\bullet$ die Nullstellen von $f$, $f'$, und $f''$ \\\null\vbox to 1.2em{\null}\hskip3em$\bullet$ die Bereiche in denen $f$ positiv bzw. negativ ist \\\null\vbox to 1.2em{\null}\hskip3em$\bullet$ die Bereiche in denen $f$ steigend bzw. fallend ist \\\null\vbox to 1.2em{\null}\hskip3em$\bullet$ die Bereiche in denen $f$ konvex bzw. konkav ist \\\null\vbox to 1.2em{\null}\hskip3em$\bullet$ die lokalen Minima und Maxima von $f$ \\\null\vbox to 1.2em{\null}\hskip3em$\bullet$ die Wendepukte und Sattelpunkte von $f$ \\\null\vbox to 1.2em{\null}\hskip3em$\bullet$ die (eventuell Einseitigen) Grenzwerte an den Randpunkten \\\null\vbox to 1.2em{\null}\hskip3em$\bullet$ das asymptotische Verhalten und eventuelle Asymptoten \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Nullstellenprobleme und \\ Fixpunktprobleme} Sei $f(x)$ eine Funktion. Eine {\bf Nullstelle} ist ein Wert $x$ mit der Eigenschaft $f(x) = 0$. Ein {\bf Fixpunkt} ist ein Wert $x$ mit der Eigenschaft $f(x) = x$. Eine Gleichung $f(x) = b$ kann leicht in ein Nullstellenproblem oder ein Fixpunktproblem umgewandelt werden: $$ f(x) - b = 0 \hskip1cm \text{bzw.} \hskip1cm x \pm (f(x) - b) = x $$ \small Es gibt gute numerische Methoden zur approximativen Berechnung von Nullstellen und Fixpunkten. Diese Methoden sind in der Regel {\bf iterative Verfahren} die Ausgehend von einem Startwert eine rekursive Folge von N"aherungswerten erzeugen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Kontraktionen und Fixpunkte} Eine Funktion $f: [a, b] \to [a, b]$ nennt man {\bf Kontraktion} wenn sie mit einer Lipschitzkonstante $L < 1$ Lipschitz-stetig ist: $$ |f(x_1) - f(x_2)| \le L |x_1 - x_2| < |x_1 - x_2| \bk\bk \forall\; x_1, x_2 \in [a,b] $$ Eine Kontraktion besitzt genau einen Fixpunkt $p$. F"ur jeden Startwert $x_0 \in [a,b]$ konvergiert die rekursiv definierte Folge $x_{n+1} = f(x_n)$ gegen den Fixpunkt $p$. Diese Konvergenz ist midestens linear, d.h. es gilt $$ |x_n - p| \le L^n |x_0 - p| \bk\bk \text{mit $n \ge 0$.} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Anziehende und abstossende \\ Fixpunkte} Sei $f$ eine stetig differenzierbare Funktion und $p$ ein Fixpunkt. Im Fall $|f'(p)| < 1$ ist der Fixpunkt {\bf anziehend}: {\small\leftskip2em\rightskip2em Es existiert ein $\varepsilon > 0$, so dass f"ur jeden Startwert $x_0 \in [p-\varepsilon, p+\varepsilon]$ die rekursiv definierte Folge $x_{n+1} = f(x_n)$ gegen den Fixpunkt $p$ konvergiert. \par} Im Fall $|f'(p)| > 1$ ist der Fixpunkt {\bf abstossend}: {\small\leftskip2em\rightskip2em Es existiert ein $\varepsilon > 0$, so dass f"ur jeden Startwert $x_0 \in [p-\varepsilon, p+\varepsilon]$ der Abstang zwischen den Folgengliedern der rekursiv definierte Folge $x_{n+1} = f(x_n)$ und dem Fixpunkt $p$ monoton w"achst, bis nach endlich vielen Iteration die Folgenglieder ausserhalb des Intervalls $[p-\varepsilon, p+\varepsilon]$ liegen. \par} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Newtonverfahren} \small Gesucht ist eine L"osung der Gleichung $f(x) = 0$ f"ur eine differenzierbare reelle Funktion $f$. Ausgehend vom Startwert $x_0$ wird eine rekursive Folge $\{x_n\}$ von N"aherungswerten ermittelt: $$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x)}{f'(x)} $$ % Falls $\{x_n\}$ konvergiert so ist der Grenzwert $x^\star$ eine L"osung von $f(x) = 0$. Falls $f$ in einer Umgebung von $x^\star$ zweimal stetig differenzierbar ist und $f'(x) \neq 0$ gilt, so gibt es eine Umgebung um $x^\star$ in der das Newtonverfahren mindestens quadratisch konvergiert. D.h. es gibt ein $C>0$ sodass $$ \hskip1.3cm |x_{n+1}-x^\star| \le C|x_n - x^\star|^2 \bk\bk \text{gilt.} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Einzugsbereich \\ eines Fixpunktes} Ein Iterationsverfahren habe einen Fixpunkt $x^\star$. Der {\bf Einzugsbereich} von $x^\star$ ist die Menge aller Startwerte f"ur die das Verfahren gegen $x^\star$ konvergiert. Der Einzugsbereich ist zumindest eine (m"oglicherweise kleine) Umgebung von $x^\star$. Die Hauptschwierigkeit bei Iterationsverfahren wie dem Newtonverfahren liegt daher in der Wahl eines geeigneten Startwertes. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Untersumme und Obersumme} Sei $f: [a,b] \to \mathbb R$ eine beschr"ankte Funktion und $T$ eine Zerlegung von $[a, b]$. Seien weiters $m_i$ und $M_i$ Infimum und Supremum von $f$ im $i$-ten Teilabschnitt von $T$: $$ m_i := \mathop{\rm inf}_{x \in T_i} f(x), \hskip1cm M_i := \mathop{\rm sup}_{x \in T_i} f(x) $$ Die {\bf Untersumme} $U(f,T)$ und die {\bf Obersumme} $O(f,T)$ sind definiert als $$ U(f,T) = \sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i, \hskip1cm O(f,T) = \sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i $$ wobei $\Delta x_i$ die Breite des $i$-ten Teilabschnitt von $T$ angibt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Riemann Integral} Sei $f: [a,b] \to \mathbb R$ auf $[a, b]$ beschraenkt. Sei weiters $\mathbb U$ die Menge aller Untersummen $U(f,T)$ und $\mathbb O$ die Menge aller Obersummen $O(f,T)$ f"ur alle Zerlegungen $T$ des Intervalls $[a, b]$. Falls $\mathop{\rm sup} \mathbb U$ und $\mathop{\rm inf} \mathbb O$ existieren und $\mathop{\rm sup} \mathbb U = \mathop{\rm inf} \mathbb O$ gilt, so ist $$ \int_a^b \!f(x) \,\leibdx \bk := \bk \mathop{\rm sup} \mathbb U \bk = \bk \mathop{\rm inf} \mathbb O \text{.} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Integral als Grenzwert} Sei $f: [a,b] \to \mathbb R$ auf $[a, b]$ integrierbar. Dann gilt $$ \int_a^b \!f(x) \,\leibdx \bk = \bk \lim_{n \to \infty} U(f, T_n) \bk = \bk \lim_{n \to \infty} O(f, T_n) $$ f"ur jede {\bf ausgezeichnete Zerlegungsfolge} $\{T_n\}$, d.h. f"ur jede Folge $\{T_n\}$ mit der Eigenschaft $$ \lim_{n \to \infty} l(T_n) = 0 \text{,} $$ wobei $l(T_n)$ die gr"osste Intervalll"ange in $T_n$ (die {\bf Feinheit} von $T_n$) bezeichnet. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Integrierbarkeit \\ von Funktionen} Die Funktion $f: [a,b] \to \mathbb R$ auf $[a, b]$ unter anderem integrierbar, wenn \begin{itemize} \item $f$ auf $[a,b]$ monoton ist. \item $f$ auf $[a,b]$ stetig ist. \item $f$ auf $[a,b]$ endlich viele Sprungstellen besitzt \\ und sonst stetig ist. \end{itemize} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Eigenschaften \\ des Rieman Integtrals} \small Seien die Funktionen $f$ und $g$ "uber $[a, b]$ integrierbar, so gilt: $$ \int_a^b \!f(x) \,\leibdx \;=\; -\int_a^b \!f(x) \,\leibdx $$ $$ \int_a^b \!(\alpha f(x) + \beta g(x)) \,\leibdx = \alpha \int_a^b \!f(x) \,\leibdx + \beta \int_a^b \!g(x) \,\leibdx $$ $$ \int_a^b \!f(x) \,\leibdx = \int_a^c \!f(x) \,\leibdx + \int_c^b \!f(x) \,\leibdx $$ Die Funktion $f \cdot g$ ist ebenfalls auf $[a, b]$ integrierbar. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ungleichungen und Integrale} \vfil Seien die Funktionen $f$ und $g$ auf $[a, b]$ integrierbar, so gilt: $$ f(x) \;\le\; g(x) \bk \Longrightarrow \bk \int_a^b \!f(x) \,\leibdx \;\le\; \int_a^b \!g(x) \,\leibdx $$ \vfil Ist $f(x)$ auf $[a, b]$ integrierbar, so ist auch $|f(x)|$ auf $[a, b]$ integrierbar und es gilt: $$ \left|\; \int_a^b \!f(x) \,\leibdx \;\right| \bk \le \bk \int_a^b \!|f(x)| \,\leibdx $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Mittelwertsatz \\ der Integralrechnung} Ist $f(x)$ stetig auf $[a, b]$, so existiert ein $c \in [a, b]$, so dass $$ \int_a^b \!f(x) \,\leibdx \bk = \bk f(c)(b-a) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Hauptsatz der Differential- \\ und Integralrechnung} \small Der {\bf Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung} besagt, dass die Integration die Umkehrung der Differentiation ist: $$ F(x) = \int_{x_0}^x \!f(u) \,\leibd u \bk \Rightarrow \bk F'(x) = \frac{\leibd}{\leibdx} \int_{x_0}^x \!f(u) \,\leibd u = f(x) $$ (Unter der Voraussetzung das $F(x)$ stetig differenzierbar ist und der wahl eines beliebigen $x_0$.) Mit der Kenntnis von $F(x)$ f"ur ein beliebiges $x_0$ kann jedes Integral von $f(x)$ gel"ost werden: $$ \int_a^b \!f(x) \,\leibd x \bk=\bk F(b) - F(a) \bk=:\bk F(x) \big|_a^b $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stammfunktionen und \\ unbestimmte Integrale} Sei $f(x)$ stetig auf $\mathbb I$. Jede auf $\mathbb I$ stetig differenzierbare Funktion $F(x)$ mit $$ F'(x) = f(x) $$ nennt man {\bf Stammfunktion} von $f(x)$. Die Gesamtheit aller Stammfunktionen von $f(x)$ nennt man {\bf unbestimmtes Integral} von $f(x)$ und schreibt daf"ur $$ \int \!f(x)\,\leibdx \bk=\bk F(x) + C $$ wobei $C$ {\bf Integrationskonstante} genannt wird. \scriptsize Falls $f(x)$ Singularit"aten besitzt so ist f"ur jedes stetige Teilst"uck von $\mathbb I$ eine eigene Integrationskonstante anzugeben, damit die L"osung des unbestimmten Integrals die Gesamtheit aller Stammfunktionen beinhaltet. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stammfunktionen \\ von Polynomfunktionen \\ und Potenzen} Wegen der {\bf linearit"at} des Integraloperators bez"uglich des Integranten gilt: $$ \int\! \left( \sum_{i=0}^n a_ix^i \right) \leibdx \bk = \bk \sum_{i=0}^n \left( a_i\int\!x^i\,\leibdx \right) $$ Des weiteren gilt allgemein f"ur $x^\alpha$: $$ \int\!x^\alpha\,\leibdx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \hskip1cm \int\!\frac{1}{x}\,\leibdx = \ln|x| + C $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stammfunktionen \\ aus den Ableitungen \\ der trigonometrischen \\ Funktionen} $$ \int\! \cos x \,\leibdx \bk = \bk \sin x + C $$ $$ \int\! \sin x \,\leibdx \bk = \bk -\cos x + C $$ $$ \int\! \frac{1}{\cos^2 x} \,\leibdx \bk = \bk \tan x + C $$ $$ \int\! \frac{1}{\sin^2 x} \,\leibdx \bk = \bk -\cot x + C $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stammfunktionen \\ aus den Ableitungen \\ der zyklometrischen \\ Funktionen} \null\vskip0.8cm $$ \int\! \frac{\leibdx}{\sqrt{1-x^2}} \bk = \bk \arcsin x + C $$ $$ \int\! \frac{\leibdx}{1+x^2} \bk = \bk \arctan x + C $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stammfunktion \\ der Exponentialfunktion} \null\vskip0.8cm $$ \int\! \euler^x \,\leibdx \bk = \bk \euler^x + C $$ $$ \int\! a^x \,\leibdx \bk = \bk \frac{a^x}{\ln a} + C $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stammfunktionen \\ aus den Ableitungen \\ der Hyperbelfunktionen} $$ \int\! \cosh x \,\leibdx \bk = \bk \sinh x + C $$ $$ \int\! \sinh x \,\leibdx \bk = \bk \cosh x + C $$ $$ \int\! \frac{\leibdx}{\cosh^2 x} \bk = \bk \tanh x + C $$ $$ \int\! \frac{\leibdx}{\sinh^2 x} \bk = \bk -\coth x + C $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stammfunktionen \\ aus den Ableitungen \\ der Areafunktionen} $$ \int\! \frac{\leibdx}{\sqrt{x^2+1}} \bk = \bk \arsinh x + C \phant{}{\hskip2em mit $|x|>1$} $$ $$ \int\! \frac{\leibdx}{\sqrt{x^2-1}} \bk = \bk \arcosh x + C \text{\hskip2em mit $|x|>1$} $$ $$ \int\! \frac{\leibdx}{1-x^2} \bk\hskip8pt = \bk \artanh x + C \text{\hskip2em mit $|x|<1$} $$ $$ \int\! \frac{\leibdx}{1-x^2} \bk\hskip8pt = \bk \arcoth x + C \text{\hskip2em mit $|x|>1$} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Partielle Integration} Aus der Produktregel $(uv)' = u'v + uv'$ folgt: $$ \int\! uv' \,\leibdx \bk=\bk uv - \int\! u'v \,\leibdx + C $$ Bzw. f"ur bestimmte Integrale: $$ \int_a^b\! u(x) v'(x) \,\leibdx \bk=\bk u(x)v(x)\big|_a^b - \int_a^b\! u'(x) v(x) \,\leibdx $$ % \vfill\scriptsize % Beispiel mit $v(x) = x$: % $$ \int\! \ln x \,\leibdx = x \ln x - \int\! \frac{1}{\cancel{x}} \cancel{x} \,\leibdx + C = % x \ln x - x + C = x(\ln(x) - 1) + C $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Substitutionsregel} \scriptsize Aus der Kettenregel $ \frac{\leibd}{\leibdx} u(v(x)) = u'(v(x)) v'(x) $ folgt die Substitutionsregel: $$ \int\! f(g(x)) g'(x) \,\leibdx \bk=\bk F(g(x)) + C $$ Bzw.: $$ \int\! f(g(x)) \,\leibdx \bk=\bk \int\! f(u) \frac{\leibd u}{g'(x)} $$ Erkl"arung: Aus der Substitution $u = g(x)$ folgt $$ \frac{\leibd u}{\leibdx} = g'(x) \bk \Rightarrow \bk \leibdx = \frac{\leibd u}{g'(x)} \text{.} $$ Bei bestimmten Integralen kann $g$ direkt in die Grenzen eingesetzt werden: $$ \int_a^b\! f(g(x)) g'(x) \,\leibdx \bk=\bk \int_{g(a)}^{g(b)}\! f(u) \,\leibd u \bk=\bk F(g(b)) - F(g(a)) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Erweitern durch \\ Substitution} Gesucht ist $F(x) = \int\! f(x) \,\leibdx$, wobei $H(u) = \int\! f(g(u))g'(u) \,\leibd u$ bekannt ist. Durch die Substitution $x = g(u)$ kommt man zu $$ F(g(u)) = H(u) = \int\! f(g(u))g'(u) \,\leibd u \text{.} $$ Durch R"ucksubstitution mit $$ x = g(u) \bk\Longrightarrow\bk g^{-1}(x) = g^{-1}(g(u)) = u $$ kommt man zum gesuchten Resultat $$ F(x) = H(g^{-1}(x)) \text{.} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{L"osungsstrategie f"ur \\ \vskip1em $ \int\! \frac{\leibdx}{ax^2 + bx + c}, \hskip1cm a \neq 0 $} Gesucht ist $I(x) = \int\! \frac{\leibdx}{ax^2 + bx + c}$ mit $a \neq 0$. Durch Erweiterung aufs vollst"andige Quadrat $ax^2 + bx + c = \pm (Ax + B)^2 \pm C$ gelangt man zu $$ I(x) = \pm\frac{1}{C} \int\! \frac{\leibdx}{1 \pm \left( \frac{Ax + B}{\sqrt{C}} \right)^2} $$ % bzw. im Fall $C=0$ zu $$ I(x) = \pm\int\! \frac{\leibdx}{(Ax + B)^2} \text{.} $$ Diese Integrale lassen sich mit der Substitution $u(x) = (Ax+B)/\sqrt{C}$ bzw. im Fall $C=0$ mit $u(x) = Ax+B$ l"osen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{L"osungsstrategie f"ur \\ \vskip1em $ \int\! \frac{\leibdx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}, \hskip1cm a \neq 0 $} Gesucht ist $I(x) = \int\! \frac{\leibdx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}$ mit $a \neq 0$. Durch Erweiterung aufs vollst"andige Quadrat $ax^2 + bx + c = \pm (Ax + B)^2 \pm C$ gelangt man zu $$ I(x) = \frac{1}{\sqrt{C}} \int\! \frac{\leibdx}{\sqrt{\pm \left( \frac{Ax + B}{\sqrt{C}} \right)^2 \pm 1}} $$ % bzw. im Fall $C=0$ zu $$ I(x) = \pm \int\! \frac{\leibdx}{Ax + B} \text{.} $$ % Diese Integrale lassen sich mit der Substitution $u(x) = (Ax+B)/\sqrt{C}$ bzw. im Fall $C=0$ mit $u(x) = (Ax+B)$ l"osen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Integrale von \\ rationalen Funktionen} \small Jede rationale Funktion kann durch Partialbruchzerlegung in eine Summe von einfachen rationalen Funktionen zerlegt werden. Diese kann man wie folgt f"ur jeden Summanden einzeln integrieren: $$ \int\! \frac{A}{(x-\alpha)^j} \,\leibdx \bk=\bk \left\{\begin{matrix} \frac{A}{1-j}(x-\alpha)^{1-j},\hfill & j > 1 \\ \\ A \cdot \ln|x-\alpha|, \hfill & j = 1 \\ \end{matrix}\right. $$ \vfill\scriptsize $$ \int\! \frac{Bx + C}{(x^2 + \beta x + \gamma)^j} \,\leibdx \bk=\bk I_1 + I_2 \hskip1cm \text{mit} $$ \vskip-1.5em $$ I_1 = \frac{B}{2} \int\! \frac{2x + \beta}{(x^2 + \beta x + \gamma)^j} \,\leibdx, \hskip2em I_2 = \left(C-\frac{B \beta}{2}\right) \int\! \frac{\leibdx}{(x^2 + \beta x + \gamma)^j} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Uneigentliche Integrale} {\scriptsize Integrale mit offenen (insbesondere unbeschr"ankten) Integrationsintervallen nennt man {\bf uneigentliche Integrale}. Sie werden gel"ost indem das Integral f"ur ein variables Ende des des Integrationsintervalls gel"ost und der Grenzwert von diesem Ausdruck bestimmt wird. Zum Beispiel:} $$ \int_a^\infty\! f(t) \,\leibdt \bk=\bk \lim_{x \to \infty} \int_a^x\! f(t) \,\leibdt $$ \scriptsize F"ur das Integrationsintervall $]-\infty; +\infty[$ gilt $$ \int_{-\infty}^\infty\! f(t) \,\leibdt \bk:=\bk \int_{-\infty}^c\! f(t) \,\leibdt \bk+\bk \int_c^\infty\! f(t) \,\leibdt $$ unter der Voraussetzung das die beiden Integrale auf der rechten Seite unabh"anig voneinander konvergieren. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Definition: Potenzreihen} Sei $\{a_n\}_{n \in \mathbb N}$ eine komplexe Zahlenfolge und $x, x_0 \in \mathbb C$. Dann hei"st $$ f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n $$ {\bf komplexe Potenzreihe} mit der {\bf Anschlusstelle} $x_0$. Im Fall $a_n, x, x_0 \in \mathbb R$ spricht man von einer {\bf reellen Potenzreihe}. Da der komplexe Fall den reellen beinhaltet werden Potenzreihen am besten gleich im Komplexen untersucht. Es reicht den Fall $x_0 = 0$ zu untersuchen, da der allgemeine Fall durch die Substitution $x' := x - x_0$ auf den Fall $x_0 = 0$ reduziert werden kann. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Konvergenzsatz f"ur Potenzreihen} F"ur eine (komplexe) Potenzreihe $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$ gilt eine der folgenden Aussagen: \begin{itemize} \item Die Reihe konvergiert nur f"ur $x = x_0$. \item Die Reihe konvergiert absolut f"ur alle $x$. \item Es gibt eine reelle Zahl $R>0$, so dass die Reihe f"ur alle $x$ mit $|x-x_0| < R$ absolut konvergiert und f"ur alle $x$ mit $|x-x_0| > R$ divergiert. \end{itemize} Die Zahl $R$ heisst {\bf Konvergenzradius} der Reihe und die Menge $\{x \in \mathbb C; |x-x_0| < R\}$ heisst {\bf Konvergenzkreis} der Reihe. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Bestimmung des \\ Konvergenzradius f"ur Potenzreihen \\ (Wurzelkriterium)} \small Sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$ eine komplexe Potenzeihe und $R$ ihr Konvergenzradius. Wenn $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \in \mathbb R_+$: \vskip-1.5em$$ \Longrightarrow\bk\bk R = \frac{1}{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} $$ Wenn $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 0$: \vskip-1.5em$$ \Longrightarrow\bk\bk R = \infty \hskip5em $$ Wenn die Folge $\left\{ \sqrt[n]{|a_n|} \right\}$ unbeschr"ankt ist: \vskip-1.5em$$ \Longrightarrow\bk\bk R = 0 \hskip5em $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Bestimmung des \\ Konvergenzradius f"ur Potenzreihen \\ (Quotientenkriterium)} \small Sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$ eine komplexe Potenzeihe und $R$ ihr Konvergenzradius. Wenn $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \in \mathbb R_+$: \vskip-1.5em$$ \Longrightarrow\bk\bk R = \frac{1}{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|} $$ \vskip-1em Wenn $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 0$: \vskip-1.5em$$ \Longrightarrow\bk\bk R = \infty \hskip5em $$ Wenn die Folge $\left\{ \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\}$ unbeschr"ankt ist: \vskip-1.5em$$ \Longrightarrow\bk\bk R = 0 \hskip5em $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Linerakombinationen \\ und Produkte \\ von Potenzreihen} Im wesentlichen kann mit Potenzreihen innerhalb des gemeinsamen Konvergenzradius wie mit Polynomen gerechnet werden. Seien $\displaystyle f_1(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ und $\displaystyle f_2(z) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n z^n$ Potenzreihen: $$ \alpha f_1(z) + \beta f_2(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha a_n + \beta b_n) z^n $$ $$ f_1(z) \cdot f_2(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n \hskip2em \begin{minipage}{4cm} \small Wobei $\sum c_n$ die Cauchy'sche Produktreihe von $\sum a_n$ und $\sum b_n$ darstellt. \end{minipage} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Quotienten von Potenzreihen} Seien $\displaystyle f_1(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ und $\displaystyle f_2(z) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n z^n$ Potenzreihen: Der Quotient $f(z) = f_1(z) / f_2(z)$ ist definiert, falls $b_0 \neq 0$ ist. Ausgehend vom Ansatz $\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ wird $$ \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n z^n \right) = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \right) $$ ausmultipliziert und die Koeffizienten $c_n$ werden durch Koeffizientenvergleich bestimmt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Integration und Differentiation \\ von Potenzreihen} Konvergente Potenzreihen d"urfen innerhalb ihres Konvergenzradius {\bf gliederweise} differenziert und integriert werden. Sei $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$: $$ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x - x_0)^{n-1} $$ $$ \int\! f(x) \,\leibdx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} (x - x_0)^{n+1} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Taylorreihen} \small\vbox{ Sei $f(x)$ eine an der Stelle $x_0$ beliebig oft differentierbare Funktion. Dann nennt man die Potenzreihe $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \bk\bk \text{mit } a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} $$ die Taylorreihe von $f$ mit der Anschlussstelle $x_0$. Eine Taylorreihe einer Funktion $f$ konvergiert genau dann an einer Stelle $x$ gegen $f(x)$, wenn $$ \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 $$ gilt, wobei $R_n(x)$ das Restglied aus der Taylorschen Formel (Karte 114) ist. D.h. insbesondere, dass wenn die Taylorreihe an einer Stelle $x$ konvergiert, sie nicht unbedingt gegen $f(x)$ konvergieren muss.} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Taylorreihe der Exponentialfunktion \\ an der Anschlussstelle $x_0 = 0$} Sei $f(x) = \euler^x$. Wegen $f^{(n)}(x) = \euler^x \Rightarrow f^{(n)}(0) = 1$ ist die Taylorreihe an der Anschlussstelle $x_0=0$ $$ t(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n $$ gleich $$ t(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \text{.} $$ Der Konvergezradius dieser Reihe ist unendlich und das Restglied konvergiert fuer alle $x \in \mathbb R$ gegen 0. Damit gilt: $$ f(x) = \euler^x = t(x) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Taylorreihen der \\ Trigonometrischen Funktionen \\ an der Anschlussstelle $x_0 = 0$} \small Die Ableitungen von $f(x) = \sin x$ an der Stelle $x = 0$ sind: $$ \{ f^{(n)}(0) \} = \{ 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \dots \} \bk\bk \text{mit $n=0,1,2,\dots$} $$ % Die Ableitungen von $f(x) = \cos x$ an der Stelle $x = 0$ sind: $$ \{ f^{(n)}(0) \} = \{ 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, \dots \} \bk\bk \text{mit $n=0,1,2,\dots$} $$ % Wir erhalten die Taylorreihen $$ \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n + 1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $$ $$ \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $$ % Die f"ur alle $x \in \mathbb R$ gegen die jeweilige Funktion konvergieren. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Taylorreihen der \\ Hyperbelfunktionen \\ an der Anschlussstelle $x_0 = 0$} \small Die Ableitungen von $f(x) = \sinh x$ an der Stelle $x = 0$ sind: $$ \{ f^{(n)}(0) \} = \{ 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots \} \bk\bk \text{mit $n=0,1,2,\dots$} $$ % Die Ableitungen von $f(x) = \cosh x$ an der Stelle $x = 0$ sind: $$ \{ f^{(n)}(0) \} = \{ 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, \dots \} \bk\bk \text{mit $n=0,1,2,\dots$} $$ % Wir erhalten die Taylorreihen $$ \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots $$ $$ \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots $$ % Die f"ur alle $x \in \mathbb R$ gegen die jeweilige Funktion konvergieren. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Taylorreihe der \\ Logarithmusfunktion \\ an der Anschlussstellen $x_0 = 1$} \small Die Ableitungen von $f(x) = \ln x$ lauten $$ \{ f^{(n)}(x) \} = \{ \ln x, \frac{1}{x}, -\frac{1}{x^2}, \frac{2}{x^3}, \frac{2 \cdot 3}{x^4}\dots \} \bk\bk \text{mit $n=0,1,2,\dots$} $$ oder allgemein $$ f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \text{.} $$ Damit erhalten wir an der Anschlussstelle $x_0 = 1$: $$ \ln x = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(x-1)^n}{n} $$ Mit dem Konvergenzradius \bk $ \displaystyle R = \frac{1}{\displaystyle\tiny \lim_{n \to \infty}\left|\frac{n}{n+1}\right|} = 1 $. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Taylorreihe des Arcus Tangens \\ im Intervall $x \in [-1; +1]$} \small Sei $|x| \le 1$. Durch gliederweise Integration der Reihe $$ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + z^4 - x^6 + \cdots = \frac{1}{1 + x^2} $$ folgt $$ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \int_0^x\!\frac{\leibdt}{1+t^2} = \arctan x \text{.} $$ D.h. f"ur $-1 \le x \le 1$ darf man schreiben $$ \arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n + 1} \text{.} $$ F"ur $|x| > 1$ divergiert die Reihe. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Binomische Reihe} Sei $a \in \mathbb R$ und $|x| < 1$. Dann gilt f"ur die Taylorreihe von $f(x) = (1+x)^a$ an der Anschlussstellen $x_0 = 1$ \vfil $$ (1+x)^a = \sum_{n=0}^\infty \binom{a}{n} x^n \text{.} $$ \vfil F"ur $|x| \ge 1$ divergiert die Reihe. \vfil \null \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Eulersche Identit"at} Die Taylorreihen der elementaren Funktionen k"onnen dazu verwendet werden die elementaren Funktionen ins komplexe fortzusetzen. Aus der Reihendarstellung der Winkelfunktionen und Hyperbelfunktionen folgt: $$ \euler^{\imag z} = \cos z + \imag \sin z, \hskip1cm z \in \mathbb C $$ $$ \cosh(\imag z) = \cos z, \hskip5mm z \sinh(\imag z) = \imag \sin z $$ Wobei $z \in \mathbb R$ nat"urlich zul"assig ist. Durch Einsetzen von $x = \pi$ folgt die ber"uhmte Formel $$ \euler^{\imag \pi} + 1 = 0 \text{.} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}