\documentclass[final]{beamer}

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\def\bk{\hspace*{2mm}}
\setlength{\parindent}{0pt}
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\newcommand*\leibd{\mathrm{d}}
\def\grad{\text{grad}\,}
\def\div{\text{div}\,}
\def\rot{\text{rot}\,}

\title{\"Uberblick: Elektromagnetische Felder und Elektrodynamik, http://www.clifford.at/zettelkasten/}
\author{\copyright 2010 Clifford Wolf (CC BY-NC-SA), http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/at/}

\begin{document}
\begin{frame}{} 

\vfill

\centerline{\Huge \"Uberblick: Elektromagnetische Felder und Elektrodynamik}

\begin{block}{Zusammenh"ange zwischen den Feldern - Die Maxwellschen Gleichungen}
\centering
\begin{tikzpicture}
	[ fd/.style={rectangle,draw,fill=black!10},
	  eq/.style={ellipse,draw,fill=green!10},
	  mx/.style={ellipse,draw,fill=red!10} ]

	\path
		(  +9,  -5) coordinate (IJ)
		( +13,  -5) coordinate (I)
		( +14,-2.5) coordinate (EQI)
		( +13,  +0) coordinate (Q)
		( +11,  +2) coordinate (Qp)
		(  +6,  +2) coordinate (p)
		(  +1,  +2) coordinate (pD)
		(  -2,  +0) coordinate (D)
		(  +3,  -0) coordinate (DE)
		(  +8,  +0) coordinate (E)
		(  +3,  -5) coordinate (J)
		(  +0,  -3) coordinate (JDH)
		(  -2,  -5) coordinate (H)
		(  +1,  -7) coordinate (HB)
		(+6.5,  -7) coordinate (B)
		( +12,  -7) coordinate (B0)
		(+6.5,  -3) coordinate (BE)
	;

	\node[fd,at=(Q)] (Q) {$ Q \atop \text{Elektrische Ladung} $};
	\node[fd,at=(I)] (I) {$ I \atop \text{Elektrischer Strom} $};
	\node[fd,at=(p)] (p) {$ \rho\text{-Feld} \atop \text{Elektrische Ladungsdichte} $};
	\node[fd,at=(D)] (D) {$ \vec D\text{-Feld} \atop \text{Elektrische Flussdichte} $};
	\node[fd,at=(E)] (E) {$ \vec E\text{-Feld} \atop \text{Elektrische Feldst"arke} $};
	\node[fd,at=(J)] (J) {$ \vec J\text{-Feld} \atop \text{Elektrische Stromdichte} $};

	\node[fd,at=(H)] (H) {$ \vec H\text{-Feld} \atop \text{Magnetische Feldst"arke} $};
	\node[fd,at=(B)] (B) {$ \vec B\text{-Feld} \atop \text{Magnetische Flussdichte} $};

	\node[eq,at=(Qp)] (Qp) {$ \rho = \frac{\mathrm d Q}{\mathrm d V} $};

	\node[mx,at=(pD)] (pD) {$ \div \vec D = \rho $};
	\node[eq,at=(DE)] (DE) {$ \varepsilon \vec E = \vec D \bk ^\star $};

	\node[mx,at=(JDH)] (JDH) {$ \rot \vec H = \vec J + \frac{\partial \vec D}{\partial t} $};
	\node[eq,at=(HB)] (HB) {$ \vec B = \mu \vec H \bk ^\star $};
	\node[mx,at=(B0)] (B0) {$ \div \vec B = 0 $};
	\node[mx,at=(BE)] (BE) {$ \rot \vec E + \frac{\partial \vec B}{\partial t} = 0 $};

	\node[eq,at=(EQI)] (EQI) {$ \small\begin{matrix}
		\vec F = \vec E Q, \bk I = Q/t \bk ^\dagger \\
		\text{(d.h. $Q$ wird mit $\vec F$ beschleunigt)} \\
		\text{bzw. im Leiter: $I = U / R$}
	\end{matrix} $};

	\node[eq,at=(IJ)] (IJ) {$ \vec J = \frac{\mathrm d I}{\mathrm d A} $};

	\draw[latex-latex] (Qp) -- (Q);
	\draw[latex-latex] (Qp) -- (p);

	\draw[latex-latex] (pD) -- (p);
	\draw[latex-latex] (pD) -- (D);

	\draw[latex-latex] (DE) -- (D);
	\draw[latex-latex] (DE) -- (E);

	\draw[latex-latex] (JDH) -- (J);
	\draw[latex-latex] (JDH) -- (D);
	\draw[latex-latex] (JDH) -- (H);

	\draw[latex-latex] (HB) -- (H);
	\draw[latex-latex] (HB) -- (B);

	\draw[latex-latex] (B0) -- (B);

	% \draw[latex-latex] (BE) -- (B);
	\draw[latex-] (BE) -- (6.5,-4.8);
	\draw[-latex] (6.5,-5.2) -- (B);
	\draw[latex-latex] (BE) -- (E);

	\draw[latex-latex] (EQI) -- (E);
	\draw[latex-latex] (EQI) -- (Q);
	\draw[latex-latex] (EQI) -- (I);

	\draw[latex-latex] (IJ) -- (I);
	\draw[latex-latex] (IJ) -- (J);

	\path (-7,0) -- (+20,0);
	\path (0,+2.8) -- (0,-7.8);

	\draw (-7,-7.8) node [above right] {\begin{minipage}{4.5cm}\small
		$^\star$ Vereinfachte Form f"ur lineare, isotrope, r"aumlich und zeitlich homogene Medien.
	\end{minipage}};

	\draw (20,-7.8) node [above left] {\begin{minipage}{5cm}\small
		$^\dagger$ Das $\vec J$-Feld kann "uber die elektrische Leitf"ahigkeit $\sigma$
		auch direkt mit dem $\vec E$-Feld verkn"upft werden: $\vec J = \sigma \vec E$
	\end{minipage}};

\end{tikzpicture}
\end{block}

\begin{columns}[t]
\begin{column}{.47\textwidth}

\begin{block}{Der magnetische Kreis}
{\bf 1. Magnetische Spannung $U_\text{m}$ und Durchflutung $\Theta$ }

\vskip.5em
Die magnetische Spannung eines Feldliniensegments ergibt sich aus der Feldst"arke
mal der L"ange des Segments.

\vskip.5em
Die Durchflutung $\Theta$ ist die Summe aller magnetischen
Spannungen entlang der Feldlinie und ist gleich der Summe aller
Str"ome durch der von der Feldlinie eingeschlossenen Fl"ache.

$$ U_\text{m} = \vec H \cdot \vec s \hspace{3em}
\Theta = \sum (\vec H \cdot \vec s) = \sum I $$

\vskip.5em
{\bf 2. Magnetischer Widerstand $R_\text{m}$ bzw. Leitwert $\Lambda$ }

\vskip.5em
Analog zu $I = U/R$ ist der Magnetische Fluss $\Phi = \Theta / R_\text{m}$.

$$ R_\text{m} = \frac{s}{\mu \cdot A} \hspace{3em} \Lambda = \frac{1}{R_\text{m}} $$

Wobei $A$ der von den Feldlinien durchstr"omte Querschnitt ist. Bei einer Ringspule ist
dies der Ringquerschnitt.
\end{block}

\begin{block}{Kraftwirkungen in elektromagnetischen Feldern}

{\bf 1. Reluktanzkraft}

\vskip.5em
Die Reluktanzkraft wirkt immer so, dass sich der magnetische Widerstand
verringert und die Induktivit"at steigt.

\vskip.5em
Beispiele: Anziehung/Absto"sung zwischen Permanentmagneten. Anziehung zwischen
Magneten und magnetisierbaren Materialien.

\vskip.5em
{\bf 2. Lorentzkraft}

\vskip.5em
Die Lorentzkraft $\vec F_\text{L}$ wirkt auf eine bewegte Ladung (Strom) im
Magnetfeld, bzw. auf den stromf"uhrenden Leiter (mit der L"ange $s$).

$$ \vec F_\text{L} = Q (\vec v \times \vec B) = I (\vec s \times \vec B) $$

\vskip.5em
Die Lorentzkraft wirkt rechtwinkelig zur Bewegungsrichtung der Ladung und
zu den Feldlinien des $\vec B$-Feldes.

\vskip.5em
{\bf 3. Coulombkraft}

\vskip.5em
Die Coulombkraft $\vec F_\text{C}$ wirkt auf eine Ladung im elektrischen Feld. Die
Ladung wird entlang der Feldlinien des E-Feldes beschleunigt:

$$ \vec F_\text{C} = \vec E Q $$

\vskip.5em
Zwei Punktladungen sto"sen sich voneinander ab (bzw. ziehen sich an wenn sie
ungleiche Vorzeichen haben):

$$ F_\text{C} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} $$

\end{block}

\end{column}
\begin{column}{.47\textwidth}

\begin{block}{Operatoren der Vektoranalysis}
	$ \vec \nabla f = \grad f $ \dotfill Gradient (Steigung), Skalarfeld $\rightarrow$ Vektorfeld \\
	$ \vec \nabla \cdot \vec F = \div \vec F $ \dotfill Divergenz (Quellendichte), Vektorfeld $\rightarrow$ Skalarfeld \\
	$ \vec \nabla \times \vec F = \rot \vec F $ \dotfill Rotation (Wirbeldichte), Vektorfeld $\rightarrow$ Vektorfeld

	$$ \vec \nabla = \begin{pmatrix}
		\partial / \partial x \\
		\partial / \partial y \\
		\partial / \partial z
	\end{pmatrix} = \text{der "`Nabla-Operator"'} $$
\end{block}

\begin{block}{Die Gr"ossen mit ihren Einheiten}
\begin{tabular}{llr}
	\bf Formelzeichen & \bf Bezeichnung       & \bf Einheit (SI-System) \\
	$I$           & Elektrischer Strom        & Ampere $ = \unit{A}$ \\
	$Q$           & Elektrische Ladung        & Coulomb $ = \unit{C} = \unit{A s}$ \\
	$U$           & Elektrische Spannung      & Volt $ = \unitfrac{J}{C} = \unitfrac{W}{A} $ \\
	$\rho$-Feld   & Elektrische Ladungsdichte & $ \unitfrac{C}{m^3}$ \\
	$\vec J$-Feld & Elektrische Stromdichte   & $ \unitfrac{A}{m^2}$ \\
	$\Psi$        & Elektrischer Fluss        & Coulomb $ = \unit{C} = \unit{A s}$ \\
	$\vec D$-Feld & Elektrische Flussdichte   & $ \unitfrac{C}{m^2}$ \\
	$\vec E$-Feld & Elektrische Feldst"arke   & $ \unitfrac{V}{m}$ \\
	$\Phi$        & Magnetischer Fluss        & Weber $ = \unit{Wb} = \unit{Vs}$ \\
	$\vec B$-Feld & Magnetische Flussdichte   & Tesla $ = \unit{T} = \unitfrac{Vs}{m^2}$ \\
	$\vec H$-Feld & Magnetische Feldst"arke   & $ \unitfrac{A}{m}$
\end{tabular}
\end{block}

\vfill

\begin{block}{Die Kirchhoffschen Regeln}
{\bf 1.} Es gilt Ladungserhaltung: Ladung kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Sie kann
sich nur (in Form von Str"omen) bewegen. Es gilt also die Kontinuit"atsgleichung

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \div \vec J = 0 \text{.} $$

{\bf 2.} Bei Abwesenheit von magnetischen Wechselfeldern ist die Umlaufspannung jeder Masche gleich 0.
Es gilt also

$$ \frac{\partial \vec B}{\partial t} = 0 \bk\Rightarrow\bk \oint \vec E \leibd\vec s = 0 \text{.} $$
\end{block}

\begin{block}{Das Ohmsche Gesetz}
In einem gew"ohnlichen elektrischen Leiterabschnitt verhalten sich Spannungsabfall am Leiterabschnitt
und Strom durch den Leiterabschnitt proportional zueinander. Die Proportionalit"atskonstante
wird Ohmscher Widerstand $R$ genannt:

$$ R = \frac{U}{I} = \text{const.} \hspace{2em} [R] = \unit[1]{Ohm} = \unitfrac[1]{V}{A} = \unit[1]{\Omega} $$
\vspace{3pt}
\end{block}

\end{column}
\end{columns}

\end{frame}
\end{document}