\documentclass[a7paper]{kartei} \usepackage[utf8]{inputenc} %UTF8 \usepackage[OT1]{fontenc} \usepackage[scaled]{helvet} \usepackage[ngerman]{babel} % Neue Rechtschreibung \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{units} \usepackage{nicefrac} \usepackage{array} \usepackage{mathdots} \usepackage{booktabs} \usepackage{stmaryrd} % Deutsche Absatzformatierung \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{1em} % Oft verwendete spacer \def \bk {\hspace*{2mm}} \def \simplecenter {\vspace*{-10mm}\centering\vfil} % dies und das \newcommand*\euler{\mathrm{e}} \newcommand*\leibd{\mathrm{d}} \newcommand*\leibdx{\mathrm{d}x} \newcommand*\bigbar{\!\!\left.\begin{matrix}\,\\\,\end{matrix}\right|} \def\arcsin{\mathop{\rm arc\,sin}\nolimits} \def\arccos{\mathop{\rm arc\,cos}\nolimits} \def\arctan{\mathop{\rm arc\,tan}\nolimits} \def\div{\mathop{\rm div}\nolimits} \def\rot{\mathop{\rm rot}\nolimits} \def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits} \def\vdts{\lower1pt\hbox{$\smash{\vdots}$}} \def\ddts{\lower1pt\hbox{$\smash{\ddots}$}} \def\phant#1#2{\hbox to0pt{#1\hss}\phantom{\hbox{#2}}} \newcommand*\dg{^{\circ}} % Wurzel mit haken \newcommand\hksqrt[2][]{\mathpalette\DHLhksqrtA{{#1}{#2}}} \def\DHLhksqrtA#1#2{\setbox0=\hbox{$#1\DHLhksqrtB#2$}\dimen0=\ht0 \advance\dimen0-0.2\ht0 %0.2 ist das Mass fuer die Hakenlaenge, relativ zum Inhalt der Wurzel \setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}% {\box0\lower0.4pt\box2}} \def\DHLhksqrtB#1#2{\def\a{#1}\def\b{}\ifx\a\b\sqrt{#2\,}\else\sqrt[#1]{#2\,}\fi} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{arrows} \begin{document} \fach{SBP Elektrotechnik} \kommentar{by Clifford Wolf} \include{hinweis} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{SI Basiseinheiten} \simplecenter \begin{tabular}{lcll} \toprule \multicolumn{2}{c}{SI-Basisgr"o"se} & \multicolumn{2}{c}{SI-Basiseinheit} \\ \cmidrule(r){1-2} \cmidrule(r){3-4} L"ange & $l$ & der Meter & $\unit[1]{m}$ \\ Zeit & $t$ & die Sekunde & $\unit[1]{s}$ \\ Masse & $m$ & das Kilogramm & $\unit[1]{kg}$ \\ Stromst"arke & $I$ & das Ampere & $\unit[1]{A}$ \\ Temperatur & $T$ & das Kelvin & $\unit[1]{K}$ \\ Lichtst"arke & $I_v$ & das Candela & $\unit[1]{cd}$ \\ Stoffmenge & $n$ & das Mol & $\unit[1]{mol}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Abgeleitete Gr"o"sen und Einheiten} \vbox{\begin{tabular}{lclr@{$\;=\;$}l} \multicolumn{2}{c}{Abgeleitete Gr"o"se} & \multicolumn{3}{c}{Abgeleitete Einheit} \\ \cmidrule(r){1-2} \cmidrule(r){3-5} Frequenz & $f$ & Hertz & $\unit[1]{Hz}$ & $\unitfrac{1}{s}$ \\ Kraft & $F$ & Newton & $\unit[1]{N}$ & $\unitfrac[1]{kg \cdot m}{s^2}$ \\ Druck & $\rho$ & Pascal & $\unit[1]{Pa}$ & $\unitfrac[1]{N}{m^2}$ \\ Energie & $E$ & Joule & $\unit[1]{J}$ & $\unit[1]{N\,m}$ \\ Leistung & $P$ & Watt & $\unit[1]{W}$ & $\unitfrac[1]{J}{s}$ \\ elektrische Spannung & $U$ & Volt & $\unit[1]{V}$ & $\unitfrac[1]{W}{A}$ \\ elektrische Ladung & $Q$ & Coulomb & $\unit[1]{C}$ & $\unit[1]{A\,s}$ \\ elektrischer Widerstand & $R$ & Ohm & $\unit[1]{\Omega}$ & $\unitfrac[1]{V}{A}$ \\ elektrischer Leitwert & $G$ & Siemens & $\unit[1]{S}$ & $\unitfrac{1}{\Omega}$ \\ elektrische Kapazit"at & $C$ & Farad & $\unit[1]{F}$ & $\unitfrac[1]{C}{V}$ \\ Induktivit"at & $L$ & Henry & $\unit[1]{H}$ & $\unitfrac[1]{V \cdot s}{A}$ \\ magnetischer Fluss & $\Phi$ & Weber & $\unit[1]{Wb}$ & $\unit[1]{V\,s}$ \\ magnetische Flussdichte & $B$ & Tesla & $\unit[1]{T}$ & $\unitfrac[1]{Wb}{m^2}$ \\ \bottomrule \end{tabular}} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ladung, Strom und Stromdichte} \null\vfil Elementarladung (Ladung eines Elektron $e^-$ bzw. Proton $e^+$): $$ e \approx \unit[1{,}602\cdot10^{-19}]{C} \qquad\qquad e^+ = +e \qquad e^- = -e $$ Der Strom $I$ ist bewegte elektische Ladung $Q$: $$ I = Q / t \qquad\qquad [I]=\unit[1]{A} \qquad [Q]=\unit[1]{A\,s}=\unit[1]{C} $$ Die Stromdichte $J$ ist Strom pro Leiterquerschnitt: $$ J = I / A \qquad\qquad [J]=\unitfrac[1]{A}{mm^2} \qquad\qquad I = \smash{\iint_A\!\vec J\;\leibd\vec a} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Spannung, Widerstand, Leitwert} Die Spannung $U$ ist die Ursache fuer das Fliessen von Strom. Der Widerstand $R$ des Leiters behindert das Fliessen von Strom. \vfil Das Ohmsche Gesetz dr"uckt diesen Zusammenhang aus: $$ I = U / R \quad \Leftrightarrow \quad U = R \cdot I \qquad [U] = \unit[1]{V} \quad [R] = \unit[1]{\Omega} $$ \vfil Der Leitwert $G$ ist der Kehrwert des Widerstandes: $$ G = 1 / R \qquad [G] = \unit[1]{S} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Spannungserzeugung} \null $\null\qquad\bullet$ Induktion $\null\qquad\bullet$ Chemische Wirkung $\null\qquad\bullet$ Licht $\null\qquad\bullet$ W"arme $\null\qquad\bullet$ Piezoelektrizit"at $\null\qquad\bullet$ Reibung \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Spannungs- bzw. Stromarten} \null {\bf Gleichstrom, DC} Beim Gleichstrom flie"st der Strom immer in die Gleiche Richtung. Ist auch die Stromst"arke konstant so spricht man vom idealen Gleichstrom. \vskip2em {\bf Wechselstrom, AC} Beim Wechselstrom flie"st der Strom abwechselnd in eine und in die andere Richtung. Dabei "andert sich st"andig die Stromst"arke. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stromrichtung, Strom- und Spannungspfeile} Die technische Stromrichtung ist im "au"seren Stromkreis vom Pluspol zum Minuspol gerichtet und damit dem Elektronenstrom entgegengesetzt. Strompfeile zeigen in Richtung der technischen Stromrichtung. Spannungspfeile zeigen vom h"oheren zum tieferen Potential (in Richtung des Spannungsabfalls). \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Widerstandsgerade} Da das Ohmsche Gesetz $$ U = I \cdot R $$ eine Proportionalit"at beschreibt ist die U-I-Kennlinie jedes Ohmschen Widerstandes eine Gerade mit der Steigung $1/R$. $$ [R] = \unit[1]{\Omega} = \unitfrac[1]{V}{A} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ideale Strom- und Spannungsquellen} Eine Ideale Spannungsquelle liefert unabh"anig vom Strom immer die selbe Spannung. Eine Ideale Stromquelle liefert unabh"anig von der ben"otigten Spannung immer den selben Strom. Ideale Spannungsquellen werden im Kurzschluss singu"ar. \\ Ideale Stromquellen werden im Leerlauf singul"ar. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Leiterwiderstand, spezifischer Widerstand, Leitf"ahigkeit}\vbox{ Der Leiterwiderstand $R$ errechnet sich aus dem spezifischen Widerstand des verwendeten Leiterwerkstoffes $\varrho$ der Leiter\-l"ange $l$ (in $\unit{m}$) und des Leiterquerschnitts $A$ (in $\unit{mm^2}$): $$ R = \frac{\varrho \cdot l}{A} \qquad\qquad [\varrho] = \unitfrac[1]{\Omega \cdot mm^2}{m} $$ Der Kehrwert des spezifischen Widerstands ist die Leitf"ahigkeit\,$\gamma$: $$ \gamma = 1 / \varrho \qquad\qquad [\gamma] = \unitfrac[1]{S \cdot m}{mm^2} = \unitfrac[1]{m}{\Omega \cdot mm^2} $$ $$ \hbox{z.B. Leitf"ahigkeit von Kupfer:} \quad \gamma_\text{Cu} = \unitfrac[56]{S \cdot m}{mm^2} $$ }\end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die kirchhoffschen Gesetze} {\bf 1. Knotenregel:} In einem Knoten ist die Summe aller zuflie"senden Str"ome gleich der Summe der abflie"senden Str"ome. Oder mit negativem Vorzeichen f"ur abflie"senden Str"ome: \\ Die Summe aller Str"ome in einem Knoten ist gleich Null. \vskip1em {\bf 2. Maschenregel:} Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich Null. \\ (Umlaufrichtung und Vorzeichen beachten!) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Reihenschaltung von Widerst"anden} In einer Reihenschaltung von Widerst"anden addieren sich die Widerstandswerte auf. $$ R = R_1 + R_2 + \cdots + R_n $$ Die abfallende Spannung Teilt sich dabei proportional zu den Widerstandswerten auf (Spannungsteiler). $$ I = \frac{U_1}{R_1} = \frac{U_2}{R_2} = \cdots = \frac{U_n}{R_n} \qquad\qquad U_i = U \cdot \frac{R_i}{R} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Parallelschatung von Widerst"anden} In einer Parallelschatung von Widerst"anden addieren sich die Leitwerte auf. $$ G = G_1 + G_2 + \cdots + G_n $$ Der fliessende Strom Teilt sich dabei proportional zu den Leitwerten auf (Stromteiler). $$ U = \frac{I_1}{G_1} = \frac{I_2}{G_2} = \cdots = \frac{I_n}{G_n} \qquad\qquad I_i = I \cdot \frac{G_i}{G} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Dualit"at} Zwei Schaltungen hei"sen {\bf zueinander dual}, wenn die eine hinsichtlich der Str"ome die gleichen Eigenschaften aufweist wie die andere hinsichtlich der Spannungen. \simplecenter \begin{tabular}{ll} \toprule \multicolumn{2}{c}{Paare zueinander dualer Scahltungen} \\ \cmidrule(r){1-2} Stromquelle $U$ & Spannungsquelle $I$ \\ Widerstand $R$ & Leitwert $G$ \\ Widerst"ande in Serie & Widerst"ande parallel \\ \bottomrule \end{tabular} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Arbeit, Energie und Leistung} Die Arbeit $W$ bezeichnet die Energiemenge $E$, die von einer Form in eine andere Umgewandelt wird. $$ [W] = [E] = \unit[1]{J} = \unit[1]{N\,m} = \unit[1]{W\,s}$$ Elektrische Arbeit: $$ W = U \cdot Q \qquad\qquad [W] = \unit[1]{V\,C} = \unit[1]{J} $$ Die Leistung P ist Arbeit pro Zeiteinheit: $$ P = \frac{W}{t} = \frac{U \cdot Q}{t} = U \cdot I \qquad\qquad [P] = \unit[1]{W} = \unit[1]{V \cdot A} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Wirkungsgrad} Bei einem elektromechanischen System unterscheidet man die zugef"uhrte Leistung $P_\text{zu}$, die abgegebene Leistung $P_\text{ab}$ und die Verlustleitsung $P_\text{V}$: $$ P_\text{V} = P_\text{zu} - P_\text{ab} \qquad \Leftrightarrow \qquad P_\text{zu} = P_\text{ab} + P_\text{V} $$ Der Quotient aus abgegebener und zugef"uhrter Leistung hei"st Wirkungsgrad $\eta$: $$ \eta = \frac{P_\text{ab}}{P_\text{zu}} = 1 - \frac{P_\text{V}}{P_\text{zu}} \qquad (\eta \le 1) $$ Der Wirkungsgrad ist eine dimensionslose Verh"altnisszahl und wird oft in Prozent angegeben. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Der elektrische Fluss} Eine elektrische Ladung $+Q$ und ihre Gegenladung $-Q$ bewirken eine Feld"anderung - den {\bf elektrischen Fluss} $\Psi$ - im Raum zwischen diesen Ladungen. Der elektrische Fluss ist Betrags- und Einheitsm"a"sig mit der felderzeugenden Ladung $Q$ ident. $$ [\Psi] = [Q] = \unit[1]{C} $$ Der elektrische Fluss kann durch Feldlinien oder Feldr"ohren veranschaulicht werden, die bei der positiven Ladung $+Q$ beginnen und der negativen Gegenladung $-Q$ enden. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die elektrische Flussdichte} Die zu einem elektrischen Fluss $\Psi$ geh"orenden Feldlinien oder Feldr"ohren bilden das Vektorfeld der {\bf elektrischen Flussdichte} $\vec D$. $$ \Psi = \iint_A\!\vec D\;\leibd\vec a \qquad\qquad [\vec D] = \frac{[Q]}{[A]} = \unitfrac[1]{C}{m^2} $$ {\scriptsize ($A$ sei die von den Feldlinien (normal) durchsetzte Fl"ache und $\leibd\vec a = \vec n \leibd a$ ein Segment dieser Fl"ache mit $\vec n$ als Einheitsnormalvektor auf dieses Segment.)} \vfill Je kleiner der Abstand der Feldlinien, je mehr Feldlinien die gleiche Fl"ache durchdringen, desto gr"osser ist die elektrische Flussdichte an der betreffenden Stelle. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die elektrische Feldst"arke} Der elektrische Fluss mit der Flussdichte $\vec D$ bewirkt im Raum den er durchdringt ein {\bf elektrisches Feld} mit der {\bf elektrischen Feldst"arke} $\vec E$ indirekt proportional zur Permittivit"at $\varepsilon$ des durchdrungenen Mediums. $$ \vec E = \vec D \frac{1}{\varepsilon} \bk\Leftrightarrow\bk \varepsilon \vec E = \vec D $$ Im elektrischen Feld $\vec E$ wird eine Probeladung $Q$ mit der Kraft $\vec F$ beschleunigt (Coulombkraft): $$ \vec F = Q \cdot \vec E \bk\Leftrightarrow\bk \vec E = \frac{\vec F}{Q} \qquad\qquad [E] = \frac{[F]}{[Q]} = \unitfrac[1]{N}{C} = \unitfrac[1]{V}{m} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Elektrisches Potential} Wird im (homogenen) elektrischen Feld $\vec E$ eine Probeladung $Q$ entgegen der Coulombkraft einen Weg $\vec s$ bewegt, so wird die Energie $W$ in dem System aus Probeladung und Feld gespeichert ("ahnlich der Lageenergie einer Masse im Gravitationsfeld). $$ W = -\vec E \cdot \vec s \cdot Q $$ Unter der Wahl eines belibigen Bezungspunktes kann jedem Punkt im Raum ein {\bf elektrisches Potential} $\varphi$ zugeordnet werden: $$ \varphi = -\vec E \cdot \vec s \qquad\qquad [\varphi] = \unit[1]{V} $$ \vfill\vbox{\hbox{\small Die {\bf Potentialdifferenz} zwischen zwei Punkten ist die Spannung $U$.}} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Permittivit"at} Die Permittivit"at (dielektrische Leitf"ahigkeit) $\varepsilon$ gibt die Durch\-l"assig\-keit eines Materials f"ur elektrische Felder an. $$ \vec D = \varepsilon \vec E = \varepsilon_0\varepsilon_r \vec E $$ $\varepsilon$ \dotfill Permittivit"at in $\unitfrac{F}{m} = \unitfrac{C}{Vm}$ \\ $\varepsilon_0$ \dotfill elektrische Feldkonstante in $\unitfrac{F}{m} = \unitfrac{C}{Vm}$ \\ $\varepsilon_r$ \dotfill relative Permittivit"at als Verh"altniszahl \\ \\ $\vec D$ \dotfill elektrische Flussdichte in $\phant{$\unitfrac{C}{m^2}$}{$\unitfrac{F}{m} = \unitfrac{C}{Vm}$}$ \\ $\vec E$ \dotfill elektrische Feldst"arke in $\phant{$\unitfrac{V}{m}$}{$\unitfrac{F}{m} = \unitfrac{C}{Vm}$}$ {\leftskip3em\rightskip2em\par} \vfill $\varepsilon_0 \approx \unitfrac[8{,}8542\cdot10^{-12}]{F}{m}$ ist die Permittivit"at des Vakuums. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die Kapazit"at} Durch Anlegen einer Spannung kann Ladung in einem Kondensator gespeichert werden. Die {\bf Kapazit"at} $C$ des Kondensators gibt an, wie viel Ladung $Q$ pro Spannungseinheit $U$ im Kondensator gespeichert werden kann: $$ Q = C \cdot U \bk\Leftrightarrow\bk C=\frac{Q}{U} \qquad\qquad [C]=\unitfrac[1]{C}{V}=\unit[1]{F} $$ \vfill Das Farad ($\unit[1]{F}$) ist eine sehr gro"se Einheit. Gebr"auchlich ist daher $\unit[1]{mF}$, $\unit[1]{\mu F}$, $\unit[1]{nF}$ und $\unit[1]{pF}$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Serien- und Parallelschaltung \\ von Kondensatoren} Bei einem Plattenkondensator ist die Kapazit"at $C$ direkt proportional zur Plattenoberfl"ache $A$ und indirekt proportional zum Plattenabstand $h$. \qquad ($[\varepsilon] = \unitfrac[1]{F \cdot m}{m^2} = \unitfrac[1]{F}{m}$) \vfil {\bf Parallelschaltung von Kondensatoren:} $$ A = A_1 + A_2 + \cdots + A_n \qquad \Longrightarrow \qquad C = C_1 + C_2 + \cdots + C_n $$ \vfil {\bf Serienschaltung von Kondensatoren:} $$ h = h_1 + h_2 + \cdots + h_n \qquad \Longrightarrow \qquad C = \smash{\frac{1}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_n}}} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Magnetische Felder} Das magnetische Feld ist ein Wirbelfeld. Die Feldlinien verlaufen {\bf ausserhalb eines Stabmagneten vom Nord- zum S"udpol} und innerhalb vom S"ud- zum Nordpol. Magnetische Felder werden immer von elektrischen Str"omen (allgem. bewegten elektrischen Ladungen) verursacht: \\ \vbox{\vskip-1em \null\qquad$\bullet$\quad Leitungsstr"ome \\ \null\qquad$\bullet$\quad Konvektionsstr"ome \\ \null\qquad$\bullet$\quad Elektronenspin \baselineskip=1.5em} Bestimmung der Richtung der Feldlinien aus der technischen Stromrichtung: {\bf Rechtsschraubenregel}, {\bf Korkenzieherregel}, {\bf Rechte-Hand-Regel} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die Magnetische Feldst"arke \\ (beim geraden Leiter)} F"ur die Magnetische Feldst"arke im Au"senraum eines geraden stromdurchflossenen Leiters gilt: $$ H = \frac{I}{l} = \frac{I}{2r\pi} $$ $H$ \dotfill Magnetische Feldst"arke in $\unitfrac{A}{m}$ \\ $I$ \dotfill Leitungsstrom in $\unit{A}$ \\ $l$ \dotfill L"ange der Feldlinie in $\unit{m}$ \\ $r$ \dotfill Radius der Feldlinie in $\unit{m}$ {\leftskip3em\rightskip3em\par} \vfill\hrule\small Bzw. der allgemeine Fall f"ur alle Arten von Str"omen: \\ \null\hfil $ \rot \vec H = \vec J + \frac{\partial{\vec D}}{\partial{t}} \quad \left(\!\!\hbox{ $\vec J$ = Stromdichte, $\frac{\partial{\vec D}}{\partial{t}}$ = Verschiebestrom }\!\!\right) $ \baselineskip=1.8em \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die Magnetische Feldst"arke \\ in Leiterschleifen und Spulen} Im Mittelpunkt einer kreisrunden d"unnen Leiterschleife: $$ H = \frac{I}{d} = \frac{I}{2r} \qquad [H]=\unitfrac[1]{A}{m}, \quad [I]=\unit[1]{A}, \quad [d]=\unit[1]{m} $$ In einer Zylinderspule mit $N$ Windungen und L"ange $l$: $$ H \approx \frac{I \cdot N}{l} \qquad \hbox{wenn $l>10d$}$$ In einer Ringspule mit Durchmesser $D$ und St"arke $d$: $$ H \approx \frac{I \cdot N}{l} = \frac{I \cdot N}{D \cdot \pi} \qquad \hbox{wenn $D>5d$}$$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Magnetische Durchflutung} Die (magnetische) Durchflutung $\Theta$ ist ein Ma"s fuer die erregende Kraft der magnetischen Feldst"arke in einer Spule mit $N$ Windungen die vom Stron $I$ durchflossen wird. $$ \Theta = N \cdot I \qquad [\Theta] = \unit[1]{A} $$ Bei der Durchflutung wird jeder Strom in seiner Vielfachheit gem"a"s der entsprechenden Anzahl von Windungen gez"ahlt. \vfill Aus der Beziehung $H = \smash{\frac{IN}{l}}$ in einer Spule folgt der Durchflutungssatz: $$ \Theta = N \cdot I = H \cdot l $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Magnetischer Fluss und \\ magnetische Flussdichte} Der {\bf magnetische Fluss} $\Phi$ ist die Gesamtheit aller Feldlinien des magnetischen Feldes. $$ [\Phi] = \unit[1]{V\,s} = \unit[1]{Wb} = \unit[1]{Weber} $$ "Andert sich in einer Leiterschleife ($N=1$) in $\unit[1]{s}$ der magnetische Fluss um $\unit[1]{Wb}$ so wird eine Spannung von $\unit[1]{V}$ induziert. \vfill Magnetischer Fluss je Fl"acheneinheit wird {\bf magnetische Flussdichte} $\vec B$ genannt: $$ \Phi = \smash{\iint_A\!\vec B\;\leibd\vec a} \qquad\qquad [\vec B] = \unitfrac[1]{Wb}{m^2} = \unit[1]{T} = \unit[1]{Tesla} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Permeabilit"at} Die {\bf Permeabilit"at} $\mu$ gibt die Durchl"assigkeit eines Materials f"ur magnetische Felder an. $$ \vec B = \mu \vec H = \mu_0\mu_r\vec H $$ $\mu$ \dotfill Permeabilit"at in $\unitfrac{Vs}{Am} = \unitfrac{H}{m}$ \\ $\mu_0$ \dotfill magnetische Feldkonstante in $\unitfrac{Vs}{Am} = \unitfrac{H}{m}$ \\ $\mu_r$ \dotfill relative Permeabilit"at als Verh"altniszahl \\ \\ $\vec B$ \dotfill magnetische Flussdichte in $\phant{$\unitfrac{Vs}{m^2} = \unit{T}$}{$\unitfrac{Vs}{Am} = \unitfrac{H}{m}$}$ \\ $\vec H$ \dotfill magnetische Feldst"arke in $\phant{$\unitfrac{A}{m}$}{$\unitfrac{Vs}{Am} = \unitfrac{H}{m}$}$ {\leftskip3em\rightskip2em\par} \vfill $\mu_0 \approx \unitfrac[4\pi\cdot10^{-7}]{Vs}{Am}$ ist die Permeabilit"at des Vakuums. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Induktivit"at} Die {\bf Induktivit"at} $L$ einer Leiterschleife ($N=1$) oder Spule gibt direkt den Zusamenhang zwischen dem Strom $I$ und dem magnetischen Fluss $\Phi$ an: $$ \Phi = L \cdot I \qquad\qquad [L] = \frac{[\Phi]}{[I]} = \unitfrac[1]{Vs}{A} = \unit[1]{H} = \unit[1]{Henry} $$ \vfill Die Induktivit"at einer Spule ergibt sich demnach aus: $$ L = \frac{\Phi_\text{v}}{I} = \frac{N \cdot \Phi}{I} = \frac{N^2 \cdot \mu \cdot A}{l} $$ \null\hfill\small ($\Phi_\text{v} = N \cdot \Phi$ ist der {\it verkettete magnetische Fluss}.)\qquad\null \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die magnetische Spannung, \\ der magnetische Leitwert und \\ der magnetische Widerstand} Die {\bf magnetische Spannung} $U_\text{m}$ ist das Linienintegral "uber die magnetische Feldst"arke $\vec H$. Betrachtet man einen vollst"andigen Umlauf so entspricht die magnetische Spannung der Durchflutung $\Theta$. $$ U_\text{m} = \smash{\int_{P_1}^{P_2}\!\vec H\;\leibd\vec s} \qquad\qquad \Theta = H \cdot l = \smash{\oint\!\vec H\;\leibd\vec s} $$ \vfill Der {\bf magnetische Leitwert} $\Lambda$ bzw. der {\bf magnetische Widerstand} $R_\text{m}$ ergiebt sich aus der Permeabilit"at $\mu$ sowie der Geometrie $A \times l$ des Bauteils: $$ \Lambda = \frac{\mu \cdot A}{l} \qquad\qquad R_\text{m} = \frac{l}{\mu \cdot A} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das ohmsche Gesetz f"ur den magnetischen Kreis} Der {\bf magnetische Fluss} $\Phi$ in einem {\bf magnetischen Kreis} ergibt sich aus der {\bf magnetische Spannung} $U_\text{m} = \Theta$ und dem magnetischen Leitwert $\Lambda$ bzw. dem magnetischen Widerstand $R_\text{m}$ der verwendeten Bauteile: $$ \Phi = \frac{\Theta}{R_\text{m}} \qquad\qquad \Phi = \Theta \cdot \Lambda $$ Bei einer Reihenschaltung magnetischer Widerst"ande addieren sich die magnetischen Widerstandswerte. Bei einer Parallelschaltung magnetischer Widerst"ande addieren sich die magnetischen Leitwerte. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Magnetischer Kreis mit Luftspalt} Bei einem magnetischen Kreis aus einem Eisenk"orper und einem Luftspalt kann i.d.R. der magnetische Widerstand des Eisenk"orpers vernachl"assigt werden. Zur n"aherungsweisen Berechnung der magnetischen Durchflutung gilt die Merkregel: $$ \frac{\unit[1]{mm} \cdot \unit[1]{T}}{\mu_0} \approx \unit[800]{A} $$ Pro $\unit[1]{mm}$ Luftspalt und $\unit[1]{T}$ Flussdichte wird eine Druchflutung von $\approx\!\unit[800]{A}$ ben"otigt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Magnetischer Streufluss} In einem Magnetischen Kreis mit Luftspalt und einer {\bf konzentrierten Wicklung} wird nur ein Teil des von der Spule erzeugten {\bf Gesamtflusses} $\Phi_\text{g}$ als {\bf Nutzfluss} $\Phi_\text{n}$ im Luftspalt verwertet. Der Rest nimmt einen zum Luftspalt parallel liegende Weg. Dieser Rest wird {\bf Streufluss} $\Phi_\text{st}$ genannt. $$ \Phi_\text{g} = \Phi_\text{n} + \Phi_\text{st} $$ $\Phi_\text{st}$ wird oft "uber den {\bf Streufaktor} $\sigma$ als Verh"altnisgr"o"se (z.B. in Prozent) zum Nutzfluss $\Phi_\text{n}$ bestimmt: $$ \Phi_\text{st} = \sigma \cdot \Phi_\text{n} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Magnetische Feldlinien beim "Ubertritt \\ von einem Medium in ein anderes} Sei $\vec B_1$ die Flussdichte auf der einen und $\vec B_2$ die Flussdichte auf der anderen Seite einer Grenzschicht zweier Medien mit der Permeabilit"at $\mu_1$ und $\mu_2$. {Sei weiters $\alpha$ der Winkel von $\vec B_1$ zum Lot auf die Grenzschicht und $\beta$ der Winkel von $\vec B_2$ zum Lot auf die Grenzschicht und $B_{1\text{T}}$ sowie $B_{2\text{T}}$ der Betrag der zur Grenzschicht tangentialen Komponente von $\vec B_1$ und $\vec B_2$.} % $$ \frac{B_{1\text{T}}}{B_{2\text{T}}} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta} = \frac{\mu_1}{\mu_2} $$ % D.h. die magnetischen Flusslinien treten aus einem hochpermeablen Material (z.B. Eisen) n"aherungsweise normal in die Luft "uber. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Sinusgr"ossen \\ am Beispiel der Wechselspannung} $$ u(t) = \hat U \cdot \sin(t\omega + \varphi_\text{u}) $$ $\hat U$ \dotfill Spitzenspannung \\ $\omega$ \dotfill Kreizfrequenz in $\unitfrac{rad}{s} = \unitfrac{1}{s} = \unit{Hz}$ \\ $\varphi_\text{u}$ \dotfill Nullphasenwinkel in $\unit{rad}$ \\ {\leftskip3em\rightskip3em\par} \centerline{$\omega$ = die Winkelgeschwindigkeit im Zeigerdiagramm} $$ \omega = \frac{\alpha}{t} = \frac{2\pi}{T} = 2 \pi f $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Arithmetischer Mittelwert und \\ Gleichrichtwert sinusf"ormiger Gr"o"sen} {\bf Arithmetischer Mittelwert $\bar U$: \bk} Das Integral "uber eine volle Schwingung durch die Periodendauer. Bei reinem Sinus ohne Gleichanteil = 0. {\bf Gleichrichtwert $|\bar U|$: \bk} Das Integral des Betrags "uber eine volle Schwingung durch die Periodendauer. $$ \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\!\left| \hat U \sin(t) \right| \,\leibd t \bk=\bk \frac{2 \hat U}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\!\!\!\sin(t)\,\leibd t \bk=$$ $$=\bk \frac{\hat U}{\pi}\left[ \vbox to 1em{} -\cos(t) \right]_{t=0}^{t=\pi} \bk=\bk \frac{2 \,\hat U}{\pi} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Effektivwert sinusf"ormiger Spannungen} {\bf Effektivwert $U$: \bk} jene Gleichspannung, die an einem ohmschen Verbraucher die gleiche Leistung in W"arme umsetzt. Aus $P = U^2 / R$ folgt: $$ \frac{U^2}{R} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\!\! \frac{1}{R} \left(u(t)\right)^2 \,\leibd t \bk\Longrightarrow\bk U = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\!\! \left(u(t)\right)^2 \,\leibd t} $$ F"ur sinusf"ormige Spannungen folgt aus $\int_{0}^{2\pi}\!\sin^2(t)\,\leibd t = \pi$: $$ U = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\!\! {\hat U}^2 \sin^2(t) \,\leibd t} \bk=\bk \sqrt{\frac{{\hat U}^2 \pi}{2\pi}} \bk=\bk \frac{\hat U}{\sqrt{2}} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Scheitelfaktor und Formfaktor \\ sinusf"ormiger Gr"ossen} {\bf Scheitelfaktor $k_\text{s}$: \bk} Verh"altnis von Scheitelwert (Spitzenwert) zu Effektivwert $\hat U / U$. Bei sinusf"ormiger Spannung = $\sqrt{2} \approx 1,414$. {\bf Formfaktor $k_\text{f}$: \bk} Verh"altnis von Effektivwert zu Gleichrichtwert $U / |\bar U|$. Bei sinusf"ormiger Spannung = $\pi / (2 \sqrt{2}) \approx 1,111$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Induktionsgesetz} $$ u = -\frac{\Delta \Phi_\text{v}}{\Delta t} = N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \hspace{1cm} \Phi = B A $$ Bewegungsinduktion ("Anderung der Geometrie $A$): $$ u = -NB\frac{\Delta A}{\Delta t} $$ Ruheinduktion ("Anderung der Flussdichte $B$): $$ u = -NA\frac{\Delta B}{\Delta t} $$ \vfill $\Phi_\text{v}$ = Verkettungsfluss, \bk\bk $N$ = Windungszahl \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Lenzsche Regel} \null\vfil {\bf Der induzierte Strom (und das damit verkn"upfte magnetische Feld) wirken stets der Ursache der Induktion entgegen.} {\bf Bei Bewegungsinduktion:} die resultierende Lorenzkraft wirkt entgegen der urspr"unglichen Bewegungsrichtung. {\bf Bei Ruheinduktion:} das resultierende magnetische Feld wirkt entgegen der urspr"unglichen Feld"anderung. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Bewegungsinduktion normal und \\ schr"ag zum magnetischen Feld} \null\vfil $$ u = N \cdot B \cdot l \cdot v_\text{x} = N \cdot B \cdot L \cdot v \cdot \sin \alpha $$ $N$ \dotfill Windungszahl bei Spule (sonst $N = 1$) \\ $l$ \dotfill Leiterl"ange im magnetischen Feld \\ $v$ \dotfill Geschwindigkeit des Leiters \\ $v_\text{x}$ \dotfill Komponente von $\vec v$ normal zu $\vec B$ \\ $\alpha$ \dotfill Winkel der von $\vec v$ und $\vec B$ eingeschlossen wird \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Induktion einer im magnetischen \\ Feld rotierenden Leiterschleife} \null\vfil $$ u = \hat U \cdot \sin( \omega t ) \hspace{1cm} \hat U = 2 \cdot r \cdot l \cdot B \cdot \omega $$ $r$, $l$ \dotfill Radius und L"ange der Leiterschleife in $\unit{m}$ \\ $B$ \dotfill magnetische Flussdichte in $\unit{T}$ \\ $\omega$ \dotfill Winkelgeschwindigkeit in $\unitfrac{rad}{s} = \unit{Hz}$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Ruheinduktion bei sinusf"ormigem Flussverlauf} \null\vfil $$ u = \hat U \cdot -\cos( \omega t ) \hspace{1cm} \hat U = N \cdot \omega \cdot \hat \Phi $$ $N$ \dotfill Windungszahl \\ $\omega$ \dotfill Kreisfrequenz in $\unitfrac{rad}{s} = \unit{Hz}$ \\ $\hat \Phi$ \dotfill Spitzenwert des Flusses in $\unit{Wb}$ \vfill Effektivwert der induzierten Spannung: $$ U \approx 4{,}44 \cdot N \cdot f \cdot \hat \Phi \hspace{1cm} \left( \text{wegen $\frac{2\pi}{\sqrt{2}} \approx 4{,}44$} \right) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Selbsinduktion} {\bf Selbsinduktion} = Induktion durch "Anderung des Stromflusses durch eine Spule in die Spule zur"uck. Eine "Anderung des Stroms $i$ in einer Spule um $\Delta i$ bewirkt eine "Anderung des magnetischen Flusses $\Phi$ um $\Delta \Phi$. $$ u = -N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}, \bk\bk \frac{\Delta i}{\Delta t} \sim \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \bk\bk\Longrightarrow\bk\bk u \sim -\frac{\Delta i}{\Delta t} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Induktivit"at einer Spule} \simplecenter $$ \Phi_\text{v} = N \cdot \Phi = L i $$ $N$ \dotfill Windungszahl der Spule \\ $\Phi_\text{v}$ \dotfill Verkettungsfluss in $\unit{Wb} = \unit{Vs}$ \\ $\Phi$ \dotfill Magnetischer Fluss in $\unit{Wb} = \unit{Vs}$ \\ $L$ \dotfill Induktivit"at in $\unit{H} = \unitfrac{Vs}{A}$ Induktivit"at $L$ = Verkettungsfluss in Weber \\ \hskip7em pro Ampere Stromst"arke \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Selbstinduktionsspannung einer Spule} \simplecenter $$ u_\text{L} = -L \cdot \frac{\Delta i}{\Delta t} $$ $u_\text{L}$ \dotfill Selbstinduktionsspannung in $\unit{V}$ \\ $L$ \dotfill Induktivit"at in $\unit{H} = \unitfrac{Vs}{A}$ \\ $\Delta i / \Delta t$ \dotfill Strom"anderung in $\unitfrac{A}{s}$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Berechnung der Induktivit"at \\ einer schlanken Zylinderspule} Bei einer schlanken Zylinderspule ($l/d > 10$): $$ L = N^2 \mu \frac{A}{l} $$ $N$ \dotfill Windungszahl der Spule \\ $L$ \dotfill Induktivit"at in $\unit{H} = \unitfrac{Vs}{A}$ \\ $A$ \dotfill Spulenquerschnitt in $\unit{m^2}$ ($A = (d/2)^2 \pi$) \\ $l$ \dotfill Spulenl"ange in $\unit{m}$ Bzw. allgemein am magnetischen Kreis: \\ \null\hfil $L = N^2 \cdot (1/R_\text{m}) = N^2 \cdot \Lambda$ {\bf Doppelte Windugszahl $\rightarrow$ vierfache Induktivit"at!} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Induktivit"atsbelag einer Doppelleitung} Induktivit"atsbelag = Induktivit"at pro Leitungsl"ange $$ L' = \frac{\mu}{4\pi}\cdot\left(1 + 4\ln\frac{4a}{d}\right) $$ $L'$ \dotfill Induktivit"atsbelag in $\unitfrac{H}{m} = \unitfrac{Vs}{Am}$ \\ $\mu$ \dotfill Permeabilit"at in $\unitfrac{H}{m} = \unitfrac{Vs}{Am}$ \\ $a$, $d$ \dotfill Abstand und Durchmesser der Leiter \vskip1em {\bf Bei Verringerung des Abstands der Leiter sinkt auch die Induktivit"at der Doppelleitung!} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Reihen- und Parallelschaltung \\ von Induktivit"aten} Reihenschaltung von magnetisch nicht gekoppelten Spulen: $$ L_\text{ges} = L_1 + L_2 + \cdots + L_n $$ Parallelschaltung von magnetisch nicht gekoppelten Spulen: $$ \frac{1}{L_\text{ges}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \cdots + \frac{1}{L_n} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Gegeninduktivit"at \\ magnetisch gekoppelter Spulen} $$ M = k \cdot \frac{N_1 \cdot N_2}{R_\text{m}} = k \cdot N_1 \cdot N_2 \cdot \Lambda $$ $M$ \dotfill Gegeninduktivit"at in $\unit{H}$ \\ $N_1, N_2$ \dotfill Windungszahl der beiden Spulen \\ $k$ \dotfill magnetischer Kopplungsgrad ($\Phi_\text{prim} / \Phi_\text{sec}$) \\ $R_\text{m}$ \dotfill magnetischer Widerstand in $\unit{H^{-1}}$ \\ $\Lambda$ \dotfill magnetischer Leitwert in $\unit{H}$ Induktivit"at vs. Gegeninduktivit"at: \\ \null\hskip1em Induktivit"at $L$ = $\Phi_\text{v}/i$ in der jew. selben Spule \\ \null\hskip1em Gegeninduktivit"at $M$ = $\Phi_\text{v}/i$ in der jew. anderen Spule \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{L"angenbez. Gegeninduktivit"at \\ zweier paralleler Doppelleitungen} 1. Doppelleitung: Leitung 1 und 2, \\ 2. Doppelleitung: Leitung 3 und 4: $$ M' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\frac{r_{14}r_{23}}{r_{13}r_{24}} $$ $M'$ \dotfill Gegeninduktivit"atsbelag in $\unitfrac{H}{m}$ \\ $r_{ij}$ \dotfill Abstand zwischen den Leitern $i$ und $j$ {\scriptsize Die Gegeninduktivit"at wird minimal wenn der rechte Faktor $\ln 1 = 0$ wird:} $$ \frac{r_{14}r_{23}}{r_{13}r_{24}} \rightarrow 1 \bk\bk\text{bzw.}\bk\bk \frac{r_{14}}{r_{24}} = \frac{r_{13}}{r_{23}} \bk\bk\text{bzw.}\bk\bk \frac{r_{14}}{r_{13}} = \frac{r_{24}}{r_{23}} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{"Ubersetzungsverh"altnis eines \\ idealen Transformators} "Ubersetzungsverh"altnis eines idealen Transformators bei sinudialen Signalen: % $$ "u = \frac{U_1}{U_2} = \frac{I_2}{I_1} = \frac{N_1}{N_2} $$ $"u$ \dotfill "Ubersetzungsverh"altnis \\ $N_1$, $N_2$ \dotfill prim"arseitige bzw. sekund"arseitige Windungszahl \\ $U_1$, $U_2$ \dotfill prim"arseitige bzw. sekund"arseitige Spannung \\ $I_1$, $I_2$ \dotfill prim"arseitiger bzw. sekund"arseitiger Strom Die Leistung ist prim"arseitig und sekund"arseitig ident: $$ U_1 \cdot I_1 = U_2 \cdot I_2 \bk\bk\Longrightarrow\bk\bk \frac{U_1}{U_2} = \frac{I_2}{I_1} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Transformation von Zweipolelementen} Transformation von Zweipolelementen bei sinudialen Signalen: \vfil $$ R' = R \cdot "u^2 \bk\bk\bk\bk L' = L \cdot "u^2 \bk\bk\bk\bk C' = C / "u^2 $$ \vfil $"u$ \dotfill "Ubersetzungsverh"altnis \\ $R'$, $L'$, $C'$ \dotfill prim"arseitig "ubersetzte Bauteilwerte \\ $R$, $L$, $C$ \dotfill sekund"arseitig angeschlossene Bauteilwerte \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Energie im magnetischen Feld} \null\vfil Energieinhalt einer stromdurchflossenen Spule: $$ W = \frac{L \cdot i^2}{2} = \frac{N^2 \cdot \Phi^2}{2 \cdot L} = \frac{N \cdot \Phi \cdot i}{2} $$ \vfil Energiedichte einer stromdurchflossenen Spule: $$ w = \frac{W}{V} = \frac{B \cdot H}{2} = \frac{\mu \cdot H^2}{2} = \frac{B^2}{2 \mu} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Zeigerdiagramm} Sinusf"ormige Wechselgr"ossen werden durch rotierende Zeiger dargestellt. Alle in einem Zeigerdiagramm dargestellten Zeiger haben die gleiche Frequenz $f$ und daher auch die gleiche Winkelgeschwindigkeit $\omega$. \vskip-1.5em \null\hfil \begin{tikzpicture} \begin{scope}[xshift=-2cm] \draw[->] (-1,0) -- (+2,0); \draw[->] (0,-0.5) -- (0,+2); \draw[-latex,red,rotate=20] (0,0) -- (+1.5,0) node[right] {$i$}; \draw[-latex,blue,rotate=50] (0,0) -- (+1.5,0) node[right] {$u$}; \draw (0,0) node[below right] {\small\vbox{\hbox{Induktivit"at:\hfil}\hbox{Strom nacheilend\hfil}}}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=+2cm] \draw[->] (-1,0) -- (+2,0); \draw[->] (0,-0.5) -- (0,+2); \draw[-latex,red,rotate=60] (0,0) -- (+1.5,0) node[right] {$i$}; \draw[-latex,blue,rotate=30] (0,0) -- (+1.5,0) node[right] {$u$}; \draw (0,0) node[below right] {\small\vbox{\hbox{Kapazit"at:\hfil}\hbox{Strom voreilend\hfil}}}; \end{scope} \end{tikzpicture} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Wirk- und Blindwiderstand} {\bf Wirkwiderstand $R$:} \\ $R=U/I$ f"ur die Anteile von $U$ und $I$ die in Phase sind (ohmscher Widerstand). {\bf Blindwiderstand $X$:} \\ $X=U/I$ f"ur die Anteile von $U$ und $I$ die um $\unit[90]{^\circ}$ Phasenversetzt sind ($X_\text{L}$ positiv bei Induktivit"aten und $X_\text{C}$ negativ bei Kapazit"aten). % $$ X_\text{L} = \frac{\hat u}{\hat i} = \frac{U}{I} = \omega \cdot L \bk\bk\bk\bk X_\text{C} = -\frac{\hat u}{\hat i} = -\frac{U}{I} = -\frac{1}{\omega \cdot C} $$ {\bf Blindleitwert $B$:} \\ $ B = -1/X $ \bk\bk (Vorzeichen weil komplex reziproker Wert) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Komplexe Rechnung in der E-Technik} Die imagin"are Einheit heisst in der E-Technik $j$ um Verwechslungen mit dem zeitabh"anigen Strom zu vermeiden. Komplexe Gr"ossen werden oft unterstrichen geschrieben: $\underline{Z}$ Der Betrag dann ohne die Unterstreichung: $Z = |\underline{Z}|$ \vskip-1em $$ \underline{Z} = Z \cdot \euler^{j\varphi} = Z \cdot (\cos \varphi + j \sin \varphi) \bk\bk\bk \text{mit $\varphi$ = Arg. von $\underline{Z}$} $$ $$ \underline{Z} = Z \angle \varphi = \text{Re}(\underline{Z}) + j\cdot\text{Im}(\underline{Z}) \bk\bk\bk \text{$\underline{Z}^\star$ = konj. komplex} $$ \vfill (Mehr zur komplexen Rechnung inklusive den Rechenregeln in den Karten "`SBP Mathe Aufbaukurs 3"') \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Impedanz} Die {\bf Impedanz $\underline Z$} (auch {\bf Scheinwiderstand}) ist der komplexe Widerstand der $\underline U = \underline Z \cdot \underline I$ erf"ullt - also die Beziehung zwischen Spannungs- und Stromzeiger angibt. Die {\bf Resistanz} (auch {\bf Wirkwiderstand}) $R = \text{Re}(\underline Z)$ ist der ohmsche Realteil der Impedanz. Die {\bf Reaktanz} (auch {\bf Blindwiderstand}) $X = \text{Im}(\underline Z)$ ist der Imagin"arteil der Impedanz. $$ \underline Z = R + j \cdot X = Z \angle \varphi $$ ($\varphi$ = der Phasenwinkel vom Strom- zum Spannungszeiger.) \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Admittanz} Die {\bf Admittanz $\underline Y$} (auch {\bf Scheinleitwert}) ist der Kerhwert der Impedanz: $$ \underline Y = \frac{1}{\underline Z} = G + j \cdot B = Y \angle -\varphi $$ $\underline Z$ \dotfill Impedanz \\ $G$ \dotfill Wirkleitwert (Konduktanz) \\ $B$ \dotfill Blindleitwert (Suszeptanz) \\ $\varphi$ \dotfill Phasenwinkel vom Strom- zum Spannungszeiger \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Schaltung von Wechselstromwiderst"anden} Schaltungen von Wechselstromwiderst"anden k"onnen genauso berechnet werden wie bei Gleichstromwiderst"anden, nur dass die Rechenregeln f"ur die komplexe Rechnung angewandt werden m"ussen und die Widerstandswerte frequenzabh"anig sind. z.B. Serienschaltung: $$ \underline Z = \underline Z_1 + \underline Z_2 + \cdots + \underline Z_n $$ z.B. Parallelschaltung: $$ \frac{1}{\underline Z} = \frac{1}{\underline Z_1} + \frac{1}{\underline Z_2} + \cdots + \frac{1}{\underline Z_n} $$ $$ \underline Y = \underline Y_1 + \underline Y_2 + \cdots + \underline Y_n $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Wirk-, Blind- und Scheinleistung} \small\vbox{ Wenn Strom und Spannung in Phase sind, ist die Momentanleistung $p = u \cdot i$ immer positiv. Wenn es einen Phasenversatz zwischen Strom und Spannung gibt so kommt es zu negativen Momentanleistungen und somit zu einem zeitweisen Energiefluss zurueck in die Quelle. {\bf Wirkleistung $P = U \cdot I \cdot \cos \varphi$} in Watt: \\ Die Leistung die tats"achlich am Verbraucher umgesetzt wird. {\bf Blindleistung $Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi$} in $\unit{var}$ (f"ur Volt-Ampere reaktiv): \\ Die zwischen Quelle und Verbraucher hin und zur"uck pendelnde Leistung. (Negativ bei kapazitiver Last.) {\bf Scheinleistung $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$} in $\unit{VA}$ (f"ur Volt-Ampere): \\ Die geometrische Summe aus Wirk- und Blindleitsung. {\bf Leistungsfaktor} $\cos \varphi = P / S$ \bk\bk (1 bei ohmscher Last)} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Komplexe Scheinleistung} Bei der {\bf komplexen Scheinleistung $\underline S$} ist der Strom konjungiert Komplex einzusetzen: $$ \underline S = P + j \cdot Q $$ $$ \underline S = \underline U \cdot \underline I^\star = U \cdot I \angle (\varphi_\text{U} - \varphi_\text{I}) $$ $P$ \dotfill Wirkleistung \\ $Q$ \dotfill Scheinleistung \\ $\underline U = U \angle \varphi_\text{U}$ \dotfill Komplexe Spannung \\ $\underline I = I \angle \varphi_\text{I}$ \dotfill Komplexer Strom \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Reihenresonanzkreis} Ein Reihenresonanzkreis ist eine Serienschaltung einer Induktivit"at und einer Kapazit"at. Bei der Resonanzfrequenz $f_\text{r}$ ($\omega_\text{r} = 2\pi \cdot f_\text{r}$) heben sich $X_\text{L}$ und $X_\text{C}$ gerade auf. D.h. bei dieser Frequenz wird die Reaktanz (Blindwiderstand) des Kreises zu Null und der Kreis bildet einen Kurzschluss bei dieser Frequenz. $$ X_\text{L} = -X_\text{C} \bk\Rightarrow\bk \omega_\text{r}\cdot L = \frac{1}{\omega_\text{r} \cdot C} \bk\Rightarrow\bk \omega_\text{r} = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} $$ Dabei kommt es an Induktivit"at und Kapazit"at zu hohen gegenphasigen Spannungen, die sogenannte Spannungsresonanz, die die Bauteile zerst"oren kann. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Parallelresonanzkreis} Ein Parallelresonanzkreis ist eine Parallelschaltung einer Induktivit"at und einer Kapazit"at. Bei der Resonanzfrequenz $f_\text{r}$ ($\omega_\text{r} = 2\pi \cdot f_\text{r}$) heben sich $B_\text{L}$ und $B_\text{C}$ gerade auf. D.h. bei dieser Frequenz wird die Suszeptanz (Bleindleitwert) des Kreises zu Null und der Kreis bildet eine Unterbrechung bei dieser Frequenz. $$ B_\text{L} = -B_\text{C} \bk\Rightarrow\bk \omega_\text{r}\cdot C = \frac{1}{\omega_\text{r} \cdot L} \bk\Rightarrow\bk \omega_\text{r} = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} $$ Dabei kommt es an Induktivit"at und Kapazit"at zu hohen gegenphasigen Str"omen, die sogenannte Stromresonanz, die die Bauteile zerst"oren kann. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{G"ute und Bandbreite eines Resonanzkreises} \small {\bf G"ute $Q_\text{ser}$ des Reihen- und $Q_\text{par}$ des Parallelschwingkreises:} $$ Q_\text{ser} = \frac{U_\text{r}}{U} = \frac{X_\text{r}}{R} \bk\bk\bk\bk Q_\text{par} = \frac{I_\text{r}}{I} = \frac{R}{X_\text{r}} $$ % $U_\text{r}$ \dotfill Betrag der Spannung an L sowie C bei Resonanz \\ $I_\text{r}$ \dotfill Betrag des Stroms durch L sowie C bei Resonanz \\ $X_\text{r}$ \dotfill Betrag der Reaktanz von L sowie C bei Resonanz {\bf Obere und untere Grenzfrequenz $f_\text{o}$ und $f_\text{u}$:} \\ Frequenz bei der $U_\text{r}$ bzw. $I_\text{r}$ gegen"uber $f_\text{r}$ auf den $1/\sqrt{2}$ fachen Wert abgesunken ist. {\bf Bandbreite B:} \vskip-1.7em $$ B = f_\text{o} - f_\text{u} \bk\bk\bk\bk B = \frac{f_\text{r}}{Q} \bk\bk\bk\bk Q = \frac{f_\text{r}}{B} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Dreiphasen Drehstrom} Beim Dreiphasen Drehstrom werden 3 Leiter "uber jeweils um $\unit[120]{^\circ}$ Phasenversetzte Wechselspannungsquellen mit einem Neutralleiter (Sternpunkt) verbunden. {\bf Sternspannung $U_\Yup$} ($\underline U_\text{1N}$, $\underline U_\text{2N}$, bzw. $\underline U_\text{3N}$){\bf :} \\ Spannung zwischen Leiter und Sternpunkt {\bf Leiterspannung $U$} ($\underline U_{12}$, $\underline U_{23}$, bzw. $\underline U_{31}$){\bf :} \\ Spannung zwischen zwei Leitern (eilt $U_{i\text{N}}$ um jew. $\unit[30]{^\circ}$ vor) $$ U = U_\Yup \cdot \sqrt{3} \hskip3em \text{($\sqrt{3}$ = Verkettungsfaktor)} $$ $$ U = \unit[400]{V} \bk \Rightarrow \bk U_\Yup = \unit[231]{V} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Lasten am Dreiphasen Drehstrom} {\bf Sternschaltung:} Lasten (Str"ange) zwischen Leitern und Sternpunkt. Laststrom = Strangstrom. Im Dreileiter-Netz ist der Sternpunkt nicht mit einem Neutralleiter verbunden. Bei Sternschaltung im Vierleiter-Netz (sowie allgemein bei symetrischer Sternschaltung) kann die Schaltung als dreifache Einphasenschaltung mit gemeinsamen R"uckleiter berechnet werden. {\bf Dreieckschaltung:} Die Lasten (Str"ange) zwischen den Leitern (reines Dreileiter-Netz). Bei gleichem Lastwiderstand wird in der Dreieckschaltung dreimal soviel Leistung wie in der Sternschaltung umgesetzt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}