\documentclass[a7paper]{kartei} \usepackage[utf8]{inputenc} %UTF8 \usepackage[OT1]{fontenc} \usepackage[scaled]{helvet} \usepackage[ngerman]{babel} % Neue Rechtschreibung \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{nicefrac} \usepackage{array} % Deutsche Absatzformatierung \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{1em} % Oft verwendete spacer \def \bk {\hspace*{2mm}} \def \simplecenter {\vspace*{-10mm}\centering\vfil} % dies und das \newcommand*\euler{\mathrm{e}} \newcommand*\leibd{\mathrm{d}} \newcommand*\leibdx{\mathrm{d}x} \newcommand*\bigbar{\!\!\left.\begin{matrix}\,\\\,\end{matrix}\right|} \begin{document} \fach{SBP Mathe Aufbaukurs 1} \kommentar{by Clifford Wolf} \include{hinweis} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Absolute und relative H"aufigkeit} Bei $n$ beobachteten Objekten mit $k$ verschiedenen Merk\-mals\-aus\-pr"agungen: \vfil $$ h_i = \frac{H_i}{n} \hspace{0.5cm} \text{mit } i = 1,2,\dots,k $$ \center\begin{tabular}{lll} $H_i$ & absolute H"aufigkeit & ($H_i \in [0; n]$) \\ $h_i$ & relative H"aufigkeit & ($h_i \in [0; 1]$) \\ \end{tabular} $$ \sum_{i=1}^k{H_i} = n \hspace{0.5cm} \text{und} \hspace{0.5cm} \sum_{i=1}^k{h_i} = 1 $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das arithmetische Mittel \\ und seine Eigenschaften} Das arithmetische Mittel $\overline{x}$ ist ein Zentralmass. Es sei $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$ eine Liste reeller Zahlen: \vspace*{-3mm} $$ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n}{x_i} $$ \vspace*{-1mm} $$ \Rightarrow \bk n \cdot \overline{x} = x_1 + x_2 + \dots + x_n \bk \Rightarrow \bk \sum_{i=1}^{n}{(x_i - \overline{x})} = 0 $$ \vspace*{-1mm} {\small Von keinem Wert ist die Summe der Abstandsquadrate der $x_i$ geringer als vom arithmetischen Mittel, d.h.:} $$ \sum_{i=1}^{n}(x_i - x)^2 \text{ hat an der Stelle } x = \overline{x} \text{ ein Minimum.} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das arithmetische Mittel und H"aufigkeit} Das arithmetische Mittel $\overline{x}$ kann nicht nur direkt aus den beobachteten Objekten sondern auch indirekt aus der H"aufigkeit der Merk\-mals\-aus\-pr"agungen ermittelt werden: \vfil $$ \overline{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{k}{H_i \cdot a_i} \hspace{0.5cm} \text{bzw.} \hspace{0.5cm} \overline{x} = \sum_{i=1}^{k}{h_i \cdot a_i} $$ \center\begin{tabular}{ll} $n$ & Anzahl der beobachteten Objekte \\ $k$ & Anzahl der verschiedenen Merk\-mals\-aus\-pr"agungen \\ $a_i$ & Zahlenm"assige Werte der Merk\-mals\-aus\-pr"agungen \\ $H_i$ & absolute H"aufigkeit \\ $h_i$ & relative H"aufigkeit \\ \end{tabular} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das gewogene arithmetische Mittel} Das gewogene arithmetische Mittel ist ein Verfahren um ein arithmetisches Mittel aus bereits gemittelten Werten zu errechnen: \vfil $$ \overline{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{k}{n_i \cdot \overline{x}_i} \hspace{0.5cm} \text{mit } n = \sum_{i=1}^{k}{n_i} $$ \center\begin{tabular}{ll} $k$ & Anzahl der bereits gemittelten Werte \\ $x_i$ & Arithmetisches Mittel einer Liste mit $n_i$ Elementen \\ $n_i$ & Anzahl der beobachteten Objekte im Wert $\overline{x}_i$ \end{tabular} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Das geometrische Mittel \\ und das harmonische Mittel} F"ur Gr"o\ss{}en die multiplikativ miteinander verkn"upft werden (z.B. Wachstumsraten wie Zinsen) wird als Zentralmass das geometrische Mittel $\hat{x}$ verwendet: $$ \hat{x} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n} $$ \vfill F"ur Gr"o\ss{}en die indirekt Proportional zu anderen Gr"o\ss{}en sind (z.B. Geschwindigkeit zur Zeit) wird als Zentralmass das harmonische Mittel $\tilde{x}$ verwendet: $$ \tilde{x} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_n}} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Median und Modus} In einer Liste von Variablenwerten bezeichnet man den wert mit der h"ochsten H"aufigkeit als {\bf Modus} (oder {\bf Modalwert}). \vfill Ordnet man eine Liste $x_1, x_2, \dots, x_n$ der Gr"o\ss{}e nach, so heisst der in der Mitte stehende Wert $m$ {\bf Median}. Bei einer geraden Anzahl von Werten w"ahlt man das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte stehenden Werte. Der Median ist jenes Zentralmass, bei dem die Summe der Betr"age der Abweichungen am kleinsten ist, d.h.: \vspace*{-2mm} $$ \sum_{i=1}^{n}\left|x_i - x\right| \text{ hat an der Stelle } x = m \text{ ein Minimum.} $$ \vspace*{-5mm} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Statistische Skalen} {\bf Nominaldaten:} Die Variablenwerte (Begriffe oder "uber Zahlen codiert). Dr"ucken lediglich eine Verschiedenartigkeit aus. z.B.: Namen, Geschlecht, Haarfarbe, usw. \vfill {\bf Ordinaldaten:} Die Variablenwerte bringen neben der Verschiedenartigkeit auch eine Rangordnung zum Ausdruck. z.B.: G"uteklassen, Schulnoten u."A. \vfill {\bf Metrische Daten:} Die Variablenwerte lassen sich nicht nur ordnen, sondern es lassen sich auch Abst"ande zwischen Werten angeben und sinnvoll interpretieren. z.B.: Jahreszahlen, L"angen, Mengenangaben, usw. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Spannweite und Quartile} Bei einer Liste $x_1, x_2, \dots, x_n$ nennt man die Differenz zwischen dem gr"ossten Wert $x_\text{max}$ und dem kleinsten Wert $x_\text{min}$ die Spannweite. \vfill\small Der Wert des Elements aus der Liste der den unteren $a$ten Teil der Elemente vom oberen $(1-a)$ten Teil der Elemente trennt wird $x_a$ genannt. So ist z.B. $x_{0,50}$ der Median der Liste. Den Wert $x_{0,25}$ nennt man auch unteres Quartil $Q_1$. \\ Den Wert $x_{0,50}$ nennt man auch mittleres Quartil $Q_2$ (oder Median). \\ Den Wert $x_{0,75}$ nennt man auch oberes Quartil $Q_3$. Die Differenz $Q_3 - Q_1$ nennt man Interquartil-Spannweite. Sie umfasst (ann"ahernd) die mittlere H"alfte der Daten. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Mittlere absolute und quadratische Abweichung und die empirische Standardabweichung} \small Sei $x_1, x_2, \dots, x_n$ eine Liste und $z$ ein Zentralmass: \\ \begin{tabular}{|p{45mm}p{10mm}p{32mm}|} \hline \multicolumn{2}{|p{55mm}}{ \vspace*{-0.5mm} \hbox{\bf Mittlere absolute Abweichung $s^\star$} \hbox{(minimal beim Median):}} & \vspace{-7mm} $$ s^\star = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n}{\left|x_i - z\right|} $$ \\ \hline \multicolumn{2}{|p{55mm}}{ \vspace*{-0.5mm} {\bf Mittlere quadratische Abweichung oder empirische Varianz $s^2$} (minimal beim arithmetischen Mittel): \vspace*{2mm}} & \vspace{-5mm} $$ s^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n}{(x_i - z)^2} $$ \\ \hline \vspace*{-0.5mm} {\bf Empirische Standardabweichung $s$}: & \multicolumn{2}{p{40mm}|}{ \vspace{-7mm} $$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n}{(x_i - z)^2}} $$} \\ \hline \end{tabular} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Berechnung der \\ empirischen Standardabweichung} \small Sei $x_1, x_2, \dots, x_n$ eine Liste, $\overline{x}$ das arithmetische Mittel, $a_i$ die auftretenden Werte, $H_i$ die absolute H"aufigkeit der Werte, $h_i$ die relative H"aufigkeit der Werte und $s$ die empirische Standardabweichung: \footnotesize \vspace*{-4mm} \begin{align*} s = \sqrt{\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})^2}} &= \sqrt{\frac{1}{n}\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}{x_i^2}\right)-\overline{x}^2} \\ \\ s = \sqrt{\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{k}{H_i\cdot(a_i-\overline{x})^2}} &= \sqrt{\frac{1}{n}\cdot\left(\sum_{i=1}^{k}{H_i\cdot a_i^2}\right)-\overline{x}^2} \\ \\ s = \sqrt{\sum_{i=1}^{k}{h_i\cdot(a_i-\overline{x})^2}}\hfil &= \sqrt{\left(\sum_{i=1}^{k}{h_i\cdot a_i^2}\right)-\overline{x}^2} \end{align*} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Berechnung der \\ mittleren absoluten Abweichung} \small Sei $x_1, x_2, \dots, x_n$ eine Liste, $z$ ein Zentralmass, $a_i$ die auftretenden Werte, $H_i$ die absolute H"aufigkeit der Werte, $h_i$ die relative H"aufigkeit der Werte und $s^\star$ die mittlere Abweichung von $z$: \vspace*{5mm} $$ s^\star = \frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i-z\right|} \bk \Longrightarrow $$ $$ s^\star \bk=\bk \frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{k}{H_i\cdot\left|a_i-z\right|} \bk=\bk \sum_{i=1}^{k}{h_i\cdot\left|a_i-z\right|} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Vergleich von Streuungen} Sei $\overline{x}$ das arithmetische Mittel einer Liste mit der Standardabweichung $s$ und der mittleren absoluten Abweichung $s^\star$ vom Zentralmass $z$: \vspace*{-5mm} \begin{align*} V &= \frac{s}{\overline{x}} & & \hspace*{-20mm}= \text{ Variationskoeffizient} \\ \\ v &= \frac{s^\star}{z} & & \hspace*{-20mm}= \text{ Variabilit"atskoeffizient} \end{align*} \vfill Variationskoeffizient und Variabilit"atskoeffizient sind dimensionslos und werden meist in Prozent angegeben. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Wahrscheinlichkeit und relativer Anteil} Sei $\mathbb G$ die endliche Grundgesamtheit mit $g$ Elementen und $\mathbb A \subset \mathbb G$ jene Teilmenge von $\mathbb G$ mit $a$ Elementen die eine bestimmte Eigenschaft aufweisen. \vfil $$ h(\mathbb A) = \frac{a}{g} \bk\bk \text{ = der {\bf relative Anteil} von $\mathbb A$ in $\mathbb G$} $$ \vfil \vspace*{3mm} Wird nun ein Element aus $\mathbb G$ zuf"allig ausgew"ahlt und das Ereignis $\mathbf E$ bezeichnet dabei die zuf"allige Auswahl eines Elements aus $\mathbb A$: \vfil $$ P(\mathbf E) = h(\mathbb A) \bk\bk \text{ = die {\bf Wahrscheinlichkeit} von $\mathbf E$} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Wertebereich von Wahrscheinlichkeiten} Sei $\mathbf E$ ein Ereignis und $P(\mathbf E)$ die Wahrscheinlichkeit des eintretens: \vfil $$ 0 \bk\le\bk P(\mathbf E) \bk\le\bk 1 $$ \vfil $$ P(\mathbf E)\, +\, P(\lnot \mathbf E)\, =\, 1 \bk\implies\bk P(\lnot \mathbf E)\, =\, 1 - P(\mathbf E) $$ \vfil \vspace*{5mm} Additionsregel f"ur einander ausschlie\ss{}ende Ereignisse: $$ P(\mathbf E_1 \lor \mathbf E_2)\, =\, P(\mathbf E_1) + P(\mathbf E_2) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Bedingte Wahrscheinlichkeiten} Seien $\mathbf E_1$ und $\mathbf E_2$ Ereignisse: \vfil $\mathbf E_2$ unter der Annahme das $\mathbf E_1$ bereits eingetreten ist: $$ \mathbf E_2 | \mathbf E_1 $$ \vfil Die Wahrscheinlichkeit vom Eintreten von $\mathbf E_2$ unter der Annahme das $\mathbf E_1$ bereits eingetreten ist: $$ P(\mathbf E_2 | \mathbf E_1) $$ \vfil Wenn $\mathbf E_1$ und $\mathbf E_2$ voneinander unabh"angig sind: $$ P(\mathbf E_2 | \mathbf E_1) = P(\mathbf E_2 | \lnot \mathbf E_1) = P(\mathbf E_2) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Multiplikationsregel f"ur Wahrscheinlichkeiten} Seien $\mathbf E_1$ und $\mathbf E_2$ Ereignisse: \vfill $$ P(\mathbf E_1 \land \mathbf E_2) \bk=\bk P(\mathbf E_1) \cdot P(\mathbf E_2 | \mathbf E_1) $$ \vfill Bei unabh"angigen Ereginissen: \bk $ P(\mathbf E_1 \land \mathbf E_2) \bk=\bk P(\mathbf E_1) \cdot P(\mathbf E_2) $ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Additionsregel f"ur Wahrscheinlichkeiten} Seien $\mathbf E_1$ und $\mathbf E_2$ Ereignisse: \vfill $$ P(\mathbf E_1 \lor \mathbf E_2) \bk=\bk P(\mathbf E_1) + P(\mathbf E_2) - P(\mathbf E_1 \land \mathbf E_2) $$ \vfill F"ur einander \\ ausschliessende Ereginisse: \hfil$ P(\mathbf E_1 \lor \mathbf E_2) \bk=\bk P(\mathbf E_1) + P(\mathbf E_2) $ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Empirisches Gesetz der gro\ss{}en Zahlen} \vspace*{-10mm}\vfill{}\vfill \begin{center} Die relative H"aufigkeit $h(\mathbf E)$ eines Ereignisses $\mathbf E$ ``stabilisiert'' sich mit zunehmender Versuchsanzahl um einen festen Wert. \end{center} \vfill Wenn $\mathbf E$ bei $k$ von $n$ Versuchen eintritt, dann ist: $$ h(\mathbf E) = \frac{k}{n}, \hspace{1cm} h(\mathbf E) \approx P(\mathbf E) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Definition: Zufallsgr"o"se und \\ Wahrscheinlichkeitsverteilung} \simplecenter Eine Funktion, die jedem m"oglichen Ausgang eines Zufallsexperiments einen zahlenm"a"sigen Wert zuordnet, \break nennt man {\bf Zufallsgr"o"se}. \bigskip Eine Funktion, die jedem m"oglichen Wert $a_i$ der (diskreten) \\ Zufallsgr"o\ss{}e $B$ eine Wahrscheinlichkeit $P(B = a_i)$ zuordnet, \\ nennt man {\bf Wahrscheinlichkeitsverteilung von $B$}. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Definition: Fakul"at} Die Fakult"at von $n$, geschrieben als $n!$, gesprochen als ``$n$ Faktorielle'', ist das Produkt aller Zahlen von $1$ bis $n$: \vfill $$ n! \bk=\bk 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \bk=\bk \prod_{i=1}^n i $$ \vfill Spezialfall $n=0$: $$ 0! \bk=\bk 1 $$ \vfill Anzahl der Permutationen (m"ogliche voneinander verschiedene Anordnungen der Elemente) einer Menge mit $n$ Elementen: \hfil $n!$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Permutationen von $k$ aus $n$} Permutationen von $k$ aus $n$ = die Anzahl $\text{nPr}(n,k)$ aller M"oglichen Anordnungen von $k$ verschiedenen Elementen aus einer Menge mit $n$ Elementen. \vfil $$ \text{nPr}(n,k) \bk=\bk \frac{n!}{(n-k)!} \bk=\bk n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \bk=\hspace{-1mm} \prod_{i=n-k+1}^{n}\hspace{-2mm}i $$ \vfil{}\vfil{} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Kombinationen von $k$ aus $n$} Kombinationen von $k$ aus $n$ = die Anzahl $\text{nCr}(n,k)$ aller M"o\-glich\-en Auswahlen von $k$ verschiedenen Elementen aus einer Menge mit $n$ Elementen, unabh"anig von der Reihenfolge der Elemente. \vfill $$ \text{nCr}(n,k) \bk=\bk \binom{n}{k} \bk=\bk \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \bk=\bk \text{nPr}(n,k) \cdot \frac{1}{k!} $$ \vfill F"ur {\scriptsize $\binom{n}{k}$} sagt man ``$k$ aus $n$'' oder auch ``$n$ "uber $k$''. \\ Die Funktion {\scriptsize $\binom{n}{k}$} wird Binomialkoeffizient genannt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Binomialverteilte Zufallsgr"o\ss{}en} Sei $\mathbf E$ ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $p$ in einem Versuch der $n$ mal durchgef"uhrt wird und $B$ die Anzahl der Male in denen $\mathbf E$ eintritt, dann ist die Wahrscheinlichkeit das $B$ gleich der Zahl $k$ ist: \vspace*{-3mm} $$ P(B = k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$ Ordnet man jedem m"oglichen Wert $k$ der Zufallsgr"o\ss{}e $B$ eine Wahrscheinlichkeit $P(B = k)$ zu, so ist dadurch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben, die man {\bf Binomialverteilung} mit den Parametern $n$ und $p$ (``$n$-$p$-binomialverteilung'') nennt; entsprechend nennt man $B$ eine $n$-$p$-binomialverteilte Zufallsgr"o\ss{}e. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Definition: $\gamma$-Sch"atzbereich} \simplecenter Man nennt das Intervall, in dem die (relativen) H"aufigkeiten \\ der Stichprobe mit der Wahrscheinlichkeit $\gamma$ liegen, \\ den {\bf $\gamma$-Sch"atzbereich} f"ur (relative) H"aufigkeiten. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Erwartungswert und Varianz \\ von diskreten Zufallsgr"o\ss{}en} Sei $Z$ eine diskrete Zufallsgr"o\ss{}e mit den Werten $a_1, a_2, \dots, a_k$, die mit den Wahrscheinlichkeiten $p_1, p_2, \dots, p_k$ angenommen werden. \vspace*{-3mm} $$ \mu = \sum_{i=1}^{k}{a_i\cdot p_i} \bk\text{ = Erwartungswert von $Z$} $$ $$ \sigma^2 = \left( \sum_{i=1}^{k}{a_i^2 \cdot p_i} \right) - \mu^2 \bk\text{ = Varianz von $Z$} $$ $$ \sigma \bk\text{ = Standardabweichung von $Z$} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Erwartungswert und Varianz \\ von binomialverteilten Zufallsgr"o\ss{}en} Sei $B$ eine binomialverteilte Zufallsgr"o\ss{}e mit den Parametern $n$ und $p$. $$ \mu = n \cdot p \bk\text{ = Erwartungswert von $B$} $$ $$ \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) \bk\text{ = Varianz von $B$} $$ $$ \sigma \bk\text{ = Standardabweichung von $B$} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \begin{karte}{Wahrscheinlichkeitsverteilung beim \\ Ziehen ohne Zur"ucklegen} % Wird aus einer Grundgesamtheit mit $g$ Elementen, von denen $a$ eine bestimmte % Eigenschaft haben, ohne Zur"ucklegen eine Stichprobe vom Umfang $n$ gezogen, % so ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau $k$ Elemente diese % Eigenschaft aufweisen: % % \vfill % $$ P(H=k) = \frac{\binom{n}{k} \cdot \binom{g-a}{n-k}}{\binom{g}{n}} $$ % % \vfill % Hinweis: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! - (n-k)!}$ % \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Die Gau\ss{}sche Glockenkurve} \vspace*{-3mm}\vfill \hfil \begin{tikzpicture} \draw[<->] (-3.5,0) -- (+3.5,0) node[right] {$x$}; \draw[-] (0,2) -- (0,-0.1) node[below] {$\mu$}; \draw[-] (-1,1.213) -- (-1,-0.1) node[below] {$\mu-\sigma$}; \draw[-] (+1,1.213) -- (+1,-0.1) node[below] {$\mu+\sigma$}; \draw[<->] (-3.5,-0.8) -- (+3.5,-0.8) node[right] {$z$}; \draw[-] (0,-0.7) -- (0,-0.9) node[below] {$0$}; \draw[-] (-1,-0.7) -- (-1,-0.9) node[below] {$-1$}; \draw[-] (+1,-0.7) -- (+1,-0.9) node[below] {$+1$}; \draw (-4,2) node[right] {$ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} $}; \draw (-4,1.3) node[right] {$ \mu = n \cdot p $}; \draw (+4,2) node[left] {$\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\euler^{-\frac{z^2}{2}}$}; \draw[domain=-3:+3,red,samples=100] plot function{exp(-x**2/2) * 2}; \end{tikzpicture} \vspace{-2mm} $$ \Phi(z_0) = \int_{-\infty}^{z_0}{\varphi(z)} \leibd z \hspace{2cm} z = \frac{x - \mu}{\sigma} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Normalverteilte Zufallsgr"o\ss{}en} Eine kontinuierliche Zufallsgr"o\ss{}e $X$ hei\ss{}t {\bf normalverteilt} mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$ ($\mu$-$\sigma$-normalverteilt), wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die Gau\ss{}sche Glockenkurve beschrieben wird. F"ur eine $\mu$-$\sigma$-normalverteilte Zufallsgr"o\ss{}e $X$ gilt: \vspace*{-3mm} $$ P(X \leq \mu+z_0\cdot\sigma) \bk=\bk \Phi(z_0) \bk=\bk \int_{-\infty}^{z_0}{\varphi(z)} \leibd z $$ \vspace*{-3mm} $$ P(\mu+z_1\cdot\sigma \bk\leq\bk X \bk\leq\bk \mu+z_2\cdot\sigma) \bk=\bk \Phi(z_2) - \Phi(z_1) $$ \vspace*{-3mm} $$ P(\mu-z_0\cdot\sigma \bk\leq\bk X \bk\leq\bk \mu+z_0\cdot\sigma) \bk=\bk 2\Phi(z_0) - 1 $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Laplace-Bedingung} Sei $B$ eine $n$-$p$-binomialverteilte Zufallsgr"o\ss{}e (mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$), so kann die Gau\ss{}sche Glockenkurve als Wahrscheinlichkeitsverteilung angenommen werden, wenn die Laplace-Bedingung $$ n \cdot p \cdot (1-p) \geq 9 \bk\bk\Longleftrightarrow\bk\bk \sigma \geq 3 $$ erf"ullt ist. Es gilt in diesen F"allen also: $$ P(B \leq \mu+z_0\cdot\sigma) \approx \Phi(z_0) $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{$\gamma$-Sch"atzbereich f"ur \\ normalverteilte Zufallsgr"o\ss{}en} Zur Ermittlung des $\gamma$-Sch"atzbereiches f"ur eine (n"aherungsweise) normalverteilte Zufallsgr"o\ss{}e muss zun"achst ein $z_0$ ermitteln werden, so dass $$ \gamma = 2\Phi(z_0)-1 \bk\Rightarrow\bk \frac{\gamma+1}{2} = \Phi(z_0) \bk\bk\text{ ist.}$$ Dann ist der $\gamma$-Sch"atzbereich f"ur die absolute H"aufigkeit $H$: $$ [\mu-z_0\cdot\sigma; \bk \mu+z_0\cdot\sigma] $$ Und der $\gamma$-Sch"atzbereich f"ur die relative H"aufigkeit $h$: \tiny $$ \left[\frac{\mu-z_0\cdot\sigma}{n}; \bk \frac{\mu+z_0\cdot\sigma}{n}\right] \bk=\bk \left[p-z_0\cdot\sqrt\frac{p\cdot(1-p)}{n}; \bk p+z_0\cdot\sqrt\frac{p\cdot(1-p)}{n}\right] $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Testen von Hypothesen \\ "uber relative Anteile} Gegeben ist eine Hypothese "uber die relative H"aufigkeit $p$ einer Merkmalsauspr"agung in einer Grundgesamtheit. Diese Hypothese soll anhand einer Stichprobe getestet werden. \vfill Dazu wird Anhand der der Stichprobengr"o\ss{}e, der vermuteten relativen H"aufigkeit (= Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Merkmalsauspr"agung) und der gew"unschten Sicherheit (bzw. Irrtumswahrscheinlichkeit) ein $\gamma$-Sch"atzbereich ermittelt. \vfill Liegt die vermuteten H"aufigkeit innerhalb des $\gamma$-Sch"atzbereichs so ist die Vermutung mit dem Stichprobenergebnis (mit der gew"ahlten Irrtumswahrscheinlichkeit) vereinbahr. Andernfalls ist die Vermutung mit dem Stichprobenergebnis (mit der ge\-w"ahlten Irrtumswahrscheinlichkeit) unvereinbahr. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Konfidenzintervall} Sei $h$ die beobachtete relative H"aufigkeit einer Merkmalsaus\-pr"agung in einer Stichprobe mit $n$ Elementen und $\gamma$ eine (grosse) Wahrscheinlichkeit. Die Menge aller $p$ deren, deren $\gamma$-Sch"atzbereich den Wert $h$ enth"alt, nennt man {\bf $\gamma$-Konfidenzintervall} ($\gamma$-Vertrauens\-inter\-vall) f"ur $p$: $$ h-z_0\sqrt\frac{h\cdot(1-h)}{n} \bk\leq\bk p \bk\leq\bk h+z_0\sqrt\frac{h\cdot(1-h)}{n} $$ \vspace*{-3mm} $$ \text{mit }\bk 2\Phi(z_0)-1 \bk\approx\bk \gamma $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Erforderlicher Stichprobenumfang} Sei $\epsilon$ die vorgegebene halbe L"ange des gesuchten Konfidenzintervalls, $h$ die erwartete relative H"aufigkeit der zu untersuchenden Merkmalsauspr"agung, $\gamma = 2\Phi(z_0)-1$ die geforderte Sicherheit und $n$ die Anzahl der ben"otigten Elemente in der Stichprobe: $$ n \bk=\bk \frac{z_0^2}{\epsilon^2} \cdot h \cdot (1-h) $$ \vfill \begin{sloppypar} Bzw. die maximal ben"otigte Stichprobengr"osse wenn es keine Absch"atzungen f"ur $h$ gibt: $$ n \bk=\bk \frac{z_0^2}{\epsilon^2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \bk=\bk \frac{z_0^2}{4\cdot\epsilon^2} $$ \end{sloppypar} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}