\documentclass[a7paper]{kartei}

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% Deutsche Absatzformatierung
\setlength{\parindent}{0pt} 
\setlength{\parskip}{1em}	

% Oft verwendete spacer
\def \bk {\hspace*{2mm}}
\def \simplecenter {\vspace*{-10mm}\centering\vfil}

% dies und das
\newcommand*\euler{\mathrm{e}}
\newcommand*\leibd{\mathrm{d}}
\newcommand*\leibdx{\mathrm{d}x}
\newcommand*\bigbar{\!\!\left.\begin{matrix}\,\\\,\end{matrix}\right|}
\def\arcsin{\mathop{\rm arc\,sin}\nolimits}
\def\arccos{\mathop{\rm arc\,cos}\nolimits}
\def\arctan{\mathop{\rm arc\,tan}\nolimits}
\def\vdts{\lower1pt\hbox{$\smash{\vdots}$}}
\def\ddts{\lower1pt\hbox{$\smash{\ddots}$}}
\def\phant#1#2{\hbox to0pt{#1\hss}\phantom{\hbox{#2}}}
\newcommand*\dg{^{\circ}}

\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{arrows}

\begin{document}

\fach{SBP Mathe Aufbaukurs 2}
\kommentar{by Clifford Wolf}
\include{hinweis}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Winkelfunktionen im \\ rechtwinkeligen Dreieck}

\vbox{
\hfil
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
	\draw (0,0) coordinate (A) node [below left] {$A$} -- node [below] {$c$}
		(5,0) coordinate (B) node [below right] {$B$} -- node [right] {$a$}
		(16/5,12/5) coordinate(C) node [above] {$C$} -- node [left] {\raise2pt\hbox{$b$}} (A) -- cycle;

	\draw (C) ++(16/5/-8, 12/5/-8) arc (180+atan(12/16):270+atan(12/16):0.5);
	\path (C) ++(16/5/-16, 12/5/-16) arc (180+atan(12/16):225+atan(12/16):0.25) coordinate (x);
	\draw[fill=black] (x) circle (1pt);

	\draw (A) ++(0.8, 0) arc (0:atan(12/16):0.8);
	\path (A) ++(0.6, 0) arc (0:atan(12/16)/2:0.6) coordinate (x);
	\draw (x) node {$\alpha$};
\end{tikzpicture}
\begin{align*}
\sin\alpha &= a/c \qquad\ldots\qquad \hbox{Gegenkathete}/\hbox{Hypotenuse} \\
\cos\alpha &= b/c \qquad\ldots\qquad \hbox{Ankathete}/\hbox{Hypotenuse} \\
\tan\alpha &= a/b \qquad\ldots\qquad \hbox{Gegenkathete}/\hbox{Ankathete}
\end{align*}
\vskip-2em
\null\hfil $a$ \dots Gegenkathete zu $\alpha$, \hfil $b$ \dots Ankathete zu $\alpha$,\\
\null\hfil $c$ \dots Hypotenuse
}

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Winkelfunktionen \\ besonderer Winkel}

\null\vfil\hfil\vbox{
{\baselineskip=2.2em\halign{\hfill\quad#\quad&&\hss\quad#\quad\cr
\bf $\alpha\phantom{\dg}$ & rad & \bf $\sin\alpha$ & \bf $\cos\alpha$ & \bf $\tan\alpha$ \cr
$0\dg$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$ \cr
$30\dg$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}$ & $\frac{1}{\sqrt{3}}$ \cr
$45\dg$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}$ & $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}$ & $1$ \cr
$60\dg$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}$ & $\frac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$ \cr
$90\dg$ & $\frac{\pi}{2}$ & $1$ & $0$ & --- \cr
}}}
\bigskip
\bigskip

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Zusammenh\"ange der Winkelfunktionen}

\null\vskip-3.5em
\begin{align*}
\sin\alpha &= \cos(90\dg-\alpha)  &  \cos(\alpha)  &= \cos(-\alpha) \\
\cos\alpha &= \sin(90\dg-\alpha)  &  \sin(-\alpha) &= -\sin(\alpha)
\end{align*}

\vskip-0.6em
$$ \tan(\alpha) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $$

\vskip-0.6em
$$ \begin{matrix}
\phant{$\sin$}{$\tan$}\,\alpha = \phant{$\sin$}{$\tan$}(180\dg - \alpha) = y &
		\Rightarrow & \phant{$\arcsin y$}{$\arccos x$} = [180\dg\,-]\; \alpha \\
\vbox{\vskip1em}
\phant{$\cos$}{$\tan$}\,\alpha = \phant{$\cos$}{$\tan$}(360\dg - \alpha) = x &
		\Rightarrow & \phant{$\arccos x$}{$\arccos x$} = [360\dg\,-]\; \alpha \\
\vbox{\vskip1em}
\phant{$\tan$}{$\tan$}\,\alpha = \phant{$\tan$}{$\tan$}(180\dg + \alpha) = z &
		\Rightarrow & \phant{$\arctan z$}{$\arccos x$} = [180\dg\,+]\; \alpha
\end{matrix} $$

{\bf ACHTUNG:} \quad
Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen sind nicht eindeutig!

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{H"ohensatz und Kathetensatz}

\hfil
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
	\draw (0,0) coordinate (A) node [left] {$A$} -- node [below] {$c$}
		(5,0) coordinate (B) node [right] {$B$} -- node [right] {$a$}
		(16/5,12/5) coordinate(C) node [above] {$C$} -- node [left] {\raise2pt\hbox{$b$}} (A) -- cycle;

	\draw (C) ++(16/5/-8, 12/5/-8) arc (180+atan(12/16):270+atan(12/16):0.5);
	\path (C) ++(16/5/-16, 12/5/-16) arc (180+atan(12/16):225+atan(12/16):0.25) coordinate (x);
	\draw[fill=black] (x) circle (1pt);

	\draw let \p1 = (C) in (C) -- node [right] {$h$} (\x1,0) coordinate (H);

	\draw ($ 0.5*(A) + 0.5*(H) + (0,-0.08) $) node [above] {$p$};
	\draw ($ 0.5*(B) + 0.5*(H) + (0,-0.08) $) node [above] {$q$};

\end{tikzpicture}

{\bf H"ohensatz:}
$$ h^2 = p \cdot q $$

{\bf Kathetensatz:}
$$ a^2 = q \cdot c, \qquad b^2 = p \cdot c $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Polarkoordinaten und \\ kartesische Koordinaten}

\hfil
\begin{tikzpicture}
	\draw[->] (-1,0) -- (4,0);
	\draw[->] (0,-0.5) -- (0,3);
	\draw[-] (2.8,2) -- (-0.1,2) ++(0.1,0) node [left] {$y$};
	\draw[-] (3,1.8) -- (3,-0.1) ++(0,0.05) node [below] {$x$};
	\draw[fill=black,thick,-] (0,0) -- node [above] {$r$} (3,2) circle (1.5pt)
		node [right] {\hbox to 1cm{\vbox{\small$(x;y)$\break$[r;\varphi]$}}};
	\draw[->] (1,0) arc (0:atan(2/3):1);
	\path (0.7,0) arc (0:atan(2/3)/2:0.7) node {$\varphi$};
\end{tikzpicture}
\begin{align*}
	x &= r \cdot \cos(\varphi) & r & = \sqrt{x^2+y^2} \\
	y &= r \cdot \sin(\varphi) & \varphi & = \arctan (y / x) \quad [+180\dg]
\end{align*}

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Winkelfunktionen am Einheitskreis}

\null\vskip-1em\vfil\hfil
\begin{tikzpicture}
	\draw[white] (-4,0) -- (+4,0);
	\draw[->] (0,-2.5) -- (0,+2.5) node [left] {$y$};
	\draw[->] (-2.5,0) -- (+2.5,0) node [above] {$x$};
	\draw[gray] (0,0) circle (2);
	\draw[thick,->] (0,0) -- (2.5,2.2);
	\draw[->] (1,0) arc (0:atan(2.2/2.5):1);
	\path (0.7,0) arc (0:atan(2.2/2.5)/2:0.7) node {$\varphi$};
	\path (2,0) arc (0:atan(2.2/2.5):2) coordinate (p);
	\draw[dotted,-] let \p1 = (p) in (p) -- (0,\y1);
	\draw[-] let \p1 = (p) in (0.1,\y1) -- (-0.1,\y1)
			node [left] {$y=\sin\varphi$};
	\draw[dotted,-] let \p1 = (p) in (p) -- (\x1,0);
	\draw[-] let \p1 = (p) in (\x1,0.1) -- (\x1,-0.1)
			++(0.3,0) node [below left] {$x=\cos\varphi$};
	\draw (-4,-1) node [right] {$r = \sqrt{\cos^2\varphi + \sin^2\varphi} = 1$};
	\draw[gray,-] (2,-2.5) -- (2,2.5);
	\draw[dotted,-] (2,4.4/2.5) -- (0,4.4/2.5);
	\draw[-] (0.1,4.4/2.5) -- (-0.1,4.4/2.5)
		node [left] {$y=\tan\varphi$};;
\end{tikzpicture}

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Graphen von Sinus und Cosinus}

\null\vfil\vskip-1em\hfil
\begin{tikzpicture}
	\draw[->] (0,-0.1) -- (0,+1.3) node [below left] {$\sin x$};
	\draw[->] (-1,0) -- (+7,0) node [right] {$x$};
	\draw[domain=-0.5:6.5,samples=100] plot function {sin(x*pi/2)}; 

	\draw (0,-0.1) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $0$};
	\draw (1,0.1) -- (1,-0.1) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $\frac{1}{2}\pi$};
	\draw (2,0.1) -- (2,-0.1) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $\pi$};
	\draw (3,0.1) -- (3,-0.1) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $1\frac{1}{2}\pi$};
	\draw (4,0.1) -- (4,-0.1) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $2\pi$};
	\draw (5,0.1) -- (5,-0.1) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $2\frac{1}{2}\pi$};
	\draw (6,0.1) -- (6,-0.1) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $3\pi$};

	\draw[->] (0,-2.6) -- (0,-1.2) node [below left] {$\cos x$};
	\draw[->] (-1,-2.5) -- (+7,-2.5) node [right] {$x$};
	\draw[domain=-0.5:6.5,samples=100] plot function {cos(x*pi/2)-2.5}; 

	\draw (0,-2.6) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $0$};
	\draw (1,-2.4) -- (1,-2.6) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $\frac{1}{2}\pi$};
	\draw (2,-2.4) -- (2,-2.6) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $\pi$};
	\draw (3,-2.4) -- (3,-2.6) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $1\frac{1}{2}\pi$};
	\draw (4,-2.4) -- (4,-2.6) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $2\pi$};
	\draw (5,-2.4) -- (5,-2.6) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $2\frac{1}{2}\pi$};
	\draw (6,-2.4) -- (6,-2.6) ++(0,-0.3) node {\scriptsize $3\pi$};
\end{tikzpicture}

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Ableitungen der Winkelfunktionen}
\simplecenter
$$ \sin' x = \cos x $$

$$ \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \bk \Rightarrow \bk \cos' x = -\sin x $$

$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \bk \Rightarrow \bk \tan' x = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x $$
\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Sinussatz}

In jedem Dreieck gilt:
$$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} $$

{\bf Achtung:} In manchen F"allen liefert der Sinussatz keine eindeutige L"osung!
Es seien z.B.  $a$, $b$ und $\alpha$ gegeben und $h_\text{c} < a < b$:

\vbox to 0pt{
\begin{tikzpicture}
	\draw[gray] (2,0) arc (atan(3/1)+180:270+atan(1/3)+5:3.16);
	\draw[gray] (2,0) arc (atan(3/1)+180:atan(3/1)+180-5:3.16);
	\draw[->] (0,0) -- (4.5,0) node [below left] {$c$};
	\draw[-] (0,0) -- node [above] {$b$} (3,2);
	\draw (1,0) arc (0:atan(2/3):1);
	\path (0.7,0) arc (0:atan(2/3)/2:0.7) node {$\alpha$};
	\draw (3,2) -- node [left] {$a$} (2,0);
	\draw (3,2) -- node [left] {$a$} (4,0);
\end{tikzpicture}}

{\vskip-1em
\leftskip=5cm
% \parshape=5 3.5cm 6cm 3.8cm 5.7cm 4.1cm 5.4cm 4.4cm 5.1cm 4.7cm 4.8cm
Wenn 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind und die dem Winkel anliegende Seite
die l"angere ist, dann ist der Sinussatz nicht immer eindeutig.
\par}

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Trigonometrische Fl"acheninhaltsformel \\ f"ur allgemeine Dreiecke}

F"ur den Fl"acheninhalt $A$ eines Dreicks gilt:
\vfil\vskip-2em
$$ A \bk=\bk \frac{ab}{2}\cdot\sin\gamma \bk=\bk
	\frac{ac}{2}\cdot\sin\beta \bk=\bk \frac{bc}{2}\cdot\sin\alpha $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Cosinussatz}
In jedem Dreieck gilt:

\begin{align*}
	a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha \\
	\vbox{\vskip1.5em}
	b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac\cdot\cos\beta \\
	\vbox{\vskip1.5em}
	c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos\gamma
\end{align*}

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{"Ahnliche Dreiecke}
Zwei Dreiecke hei"sen "ahnlich, wenn sie in den drei Winkeln "ubereinstimmen.
In "ahnlichen Dreiecken gilt:

\bigskip

$$
\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}, \qquad
\frac{a}{c} = \frac{a'}{c'}, \qquad
\frac{b}{c} = \frac{b'}{c'}
$$

$$ \Longrightarrow \qquad \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{1. Summensatz der Winkelfunktionen}

\null\vfil\vskip-2em
\begin{align*}
	\sin(\alpha+\beta) &\bk=\bk \sin\alpha\cdot\cos\beta + \cos\alpha\cdot\sin\beta \\
	\vbox{\vskip1.5em}
	\sin(\alpha-\beta) &\bk=\bk \sin\alpha\cdot\cos\beta - \cos\alpha\cdot\sin\beta \\
	\vbox{\vskip1.5em}
	\cos(\alpha+\beta) &\bk=\bk \cos\alpha\cdot\cos\beta - \sin\alpha\cdot\sin\beta \\
	\vbox{\vskip1.5em}
	\cos(\alpha-\beta) &\bk=\bk \cos\alpha\cdot\cos\beta + \sin\alpha\cdot\sin\beta
\end{align*}

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{2. Summensatz der Winkelfunktionen}

{
\null\vfil\vskip-1.5em
\let\osin=\sin
\def\sin{\;\hbox to 0pt{$\,\osin$}\phantom{cos}}
\begin{align*}
	\sin\alpha\,\,+\!\!\sin\beta &\bk\bk=\bk \phantom+2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}
			\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\
	\vbox{\vskip2em}
	\sin\alpha\,\,-\!\!\sin\beta &\bk\bk=\bk \phantom+2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
			\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\
	\vbox{\vskip2em}
	\cos\alpha+\cos\beta &\bk\bk=\bk \phantom+2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
			\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\
	\vbox{\vskip2em}
	\cos\alpha-\cos\beta &\bk\bk=\bk -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}
			\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\
\end{align*}
}

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Das Bogenma"s}
\simplecenter
Das Bogenma"s eines Winkels ist das Verh"altnis $a=\frac{b}{r}$, \break
wobei $b$ die L"ange eines zum Winkel geh"orenden \break
Kreisbogens mit dem Radius $r$ ist.

Damit entspricht das Bogenma"s eines Winkels der L"ange des \break
zum Winkel geh"orenden Kreisbogens im Einheitskreis.

Das Bogenma"s ist eine dimensionslose Verh"altniszahl. \break
Zur besseren Kennzeichnung wird es jedoch manchmal \break
mit der Benennung Radiant (rad) versehen.
\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Definition: Vektor}
\simplecenter
{\bf Ein Vektor bezeichnet eine Richtung \break und eine L"ange im Raum.}

\medskip
Vektoren werden oft als Pfeile veranschaulicht. \break Alle Pfeile mit
gleicher Orientierung und gleicher L"ange \break sind Repr"asentanten
des gleichen Vektors.

\medskip
Zwei Vektoren heissen gleich (oder "aquivalent) \break wenn sie die gleiche
Orientierung im Raum \break und die gleiche L"ange haben.
\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Graphische Summe von Vektoren}

\null\vskip-2.5em
\vbox to 0pt{
\begin{tikzpicture}
	\draw[thick,-latex] (0,0) -- node [left] {$\vec a$} ++(-1,2) coordinate (p);
	\draw[thick,-latex] (p) -- node [above] {$\vec b$} ++(1.5,0.5);

	\draw[thick,-latex] (0,0) -- node [above] {$\vec b$} ++(1.5,0.5) coordinate (p);
	\draw[thick,-latex] (p) -- node [right] {$\vec a$} ++(-1,2) coordinate (p);

	\draw[thick,-latex,red] (0,0) -- node [rotate=atan(2.5/0.5),above] {$\vec a + \vec b$} (p);
\end{tikzpicture}}

{\vskip-1.5em\leftskip=3.3cm\tolerance=1000
Vektoren werden graphisch addiert, indem man die Repr"asentanten (Pfeile) der Vektoren durch
Parallelverschiebung so angeordnet werden, dass der Anfang eines Pfeils am Ende
des vorhergehenden Pfeils zu liegen kommt.
\par}

{\hangindent=3.3cm\hangafter=-1
Der Pfeil vom Anfang des ersten Vektors zum Ende des letzten Vektors ist ein Repr"asentant
des Summenvektors.
\par}

Die Addition von Vektoren ist Kommutativ und Assoziativ.

In der Physik ist es "ublich, die Summanden als {\sl Komponenten} und die Summe
als {\sl Resultierende} zu bezeichnen.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Graphische Skalarmultiplikation \\ von Vektoren}

\vskip-1em
\moveright0.5em\vbox to 0pt{
\begin{tikzpicture}
	\draw[thick,|-latex,red] (0,0) -- node [right] {$2\vec a$} ++(1,2);
	\draw[thick,-latex,dotted] (0,0) -- node [left] {$\vec a$} ++(0.5,1);
\end{tikzpicture}}

{\vskip-1.5em\leftskip=2cm\tolerance=1000
Die Skalarmultiplikation $x\vec a$ des Vektors $\vec a$ wird graphisch gebildet, indem ein
Repr"asentant (Pfeil) des Vektors so verl"angert oder verk"urzt wird,
dass seine neue L"ange das $x$-fache der urspr"unglichen L"ange ist.
\par}

{\hangindent=2cm\hangafter=-1
Die Orientierung (Richtung) des Vektors muss dabei unver"andert bleiben.
\par}

Die Skalarmultiplikation von Vektoren ist distributiv und assoziativ:
\vspace*{-1mm}
$$ r\vec a + s \vec a = (r+s)\vec a \qquad
r(\vec a + \vec b) = r\vec a + r\vec b \qquad
r(s\vec a) = (rs)\vec a $$

\vspace*{-3mm}
Der Vektor $-\vec a$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec a$.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Vektoren, Punkte, Ortsvektoren}

\null\vfill

\vskip-1em
\moveright0.5em\vbox to 0pt{
\begin{tikzpicture}
	\draw[thick,fill=black] (0.5,0.5) circle (1pt) node [above] {$\rm A$}
			-- node [above] {$\vec a$}
			(2,1) circle (1pt) node [above] {$\rm B$};
	\draw[thick,-latex] (0.5,0.5) -- (2,1);
\end{tikzpicture}}

{\vskip-2em\leftskip=3cm\tolerance=1000
H"aufig werden Vektoren durch ihre Anfangs- und Endpunkte angegeben:
$$ \vec a = \overrightarrow{\rm AB} $$
\par}

\vfill

\vskip-1em
\moveleft.5em\vbox to 0pt{\hfill
\begin{tikzpicture}
	\draw[->] (-0.2,-1) -- (2.5,-1);
	\draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.5);
	\draw (0,-1) node [below left] {$\rm O$};
	\draw[-latex,gray] (0,-1) -- (0.5,0.5);
	\draw[-latex,gray] (0,-1) -- (2,1);
	\draw[thick,fill=black] (0.5,0.5) circle (1pt) node [above] {$\rm A$}
			-- node [above] {$\vec a$}
			(2,1) circle (1pt) node [above] {$\rm B$};
	\draw[thick,-latex] (0.5,0.5) -- (2,1);
\end{tikzpicture}}

{\vskip-1em\rightskip=3.5cm\tolerance=1000
Jedem Punkt $\rm X$ ist der Ortsvektor $\small\overrightarrow{\rm OX}$ zugeordnet. H"aufig wird
einfach $\rm X$ geschrieben wenn $\small\overrightarrow{\rm OX}$ gemeint ist:

\hfil$ \vec a = \overrightarrow{\rm AB} =
\overrightarrow{\rm OB} - \overrightarrow{\rm OA} = \mathrm B - \mathrm A$
\par}

\vfill\null

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Vektoren und Koordinaten}

Wie Punkte im Raum k"onnen auch Vektoren mit Koordinaten angeschrieben werden:
$$ \mathrm A = (a_1;\; a_2) \qquad \Longrightarrow \qquad \overrightarrow{\rm OA} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} $$

\bigskip
Sei $\vec a = \tiny\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ und
$\vec b = \tiny\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$:
$$ \vec a + \vec b = \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}
\qquad
\vec a - \vec b = \begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}
\qquad
x \vec a = \begin{pmatrix}xa_1\\xa_2\end{pmatrix} $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Betrag eines Vektors}

Der Betrag eines Vektors ist seine L"ange, die mit dem Pythagor"aischen
Lehrsatz errechnet werden kann:

$$ \vec a = \begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad
\left| \vec a \right| = \sqrt{\vec a^2} = \sqrt{a_1^2 + \cdots + a_n^2} $$

\vfil

Vektoren mit dem Betrag 1 nennt man Einheitsvektoren.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Kartesische Einheitsvektoren}

\null

Man nennt die Vektoren $\vec i = \small\smash{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und
$\vec j = \small\smash{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ {\bf kartesische
Einheitsvektoren} der Ebene.

$$ \vec a \bk=\bk \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \bk=\bk a_1\vec i + a_2\vec j $$

\vfil

Analog dazu hei"sen $\vec i = \tiny\smash{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$,
$\vec j = \tiny\smash{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ und
$\vec k = \tiny\smash{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
kartesische Einheitsvektoren des Raumes.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Inneres Produkt zweier Vektoren}

Das innere Produkt von $\vec a$ und $\vec b$ (auch: "`Skalarprodukt"' oder
"`Punktprodukt"') $\vec a \cdot \vec b$ ist das Produkt der Betr"age der
Parallelen Komponenten der beiden Vektoren:

$$ \vec a \cdot \vec b \bk=\bk \big|\vec a\big| \cdot \big|\vec b\big|
\cdot \cos \measuredangle (\vec a, \vec b) $$

$$ \vec a \cdot \vec b \bk=\bk a_1 \cdot b_1 + \cdots + a_n \cdot b_n $$

$$ \vec a \perp \vec b \quad \Longleftrightarrow \quad \vec a \cdot \vec b = 0 $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Winkel zwischen zwei Vektoren}
Aus der Beziehung
$$ \vec a \cdot \vec b \bk=\bk \big|\vec a\big| \cdot \big|\vec b\big|
\cdot \cos \measuredangle (\vec a, \vec b) $$
(Definition des inneren Produkts zweier Vektoren) folgt

$$ \measuredangle (\vec a, \vec b) =
\arccos \frac{\vec a \cdot \vec b}{\big|\vec a\big| \cdot \big|\vec b\big|} \hbox{ .}$$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Rechenregeln f"ur das \\ innere Produkt von Vektoren}

Das innere Produkt ist Kommutativ und Distributiv:
$$ \vec a \cdot \vec b \bk=\bk \vec b \cdot \vec a
\qquad\qquad
\vec a \cdot (\vec b + \vec c) \bk=\bk \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c $$

Das innere Produkt ist Assoziativ bzgl. der Skalarmultiplikation:
$$ x (\vec a \cdot \vec b) \bk=\bk (x \vec b) \cdot \vec a \bk=\bk \vec b \cdot (x \vec a) $$

{\bf Aber} das innere Produkt ist selbst nicht Assoziativ:
$$ \setbox0=\hbox{$\exists\; \vec a,\; \vec b,\; \vec c\; : \qquad$}
\hskip-\wd0\box0
\vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c) \bk\neq\bk (\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Das vektorielle Produkt}

Des vektorielle Produkt $\vec v = \vec \omega \times \vec r$ (auch: "`Kreuzprodukt"')
ist ein Vektor, der rechtwinkelig auf die von $\vec r$ und $\vec \omega$
aufgespannte Ebene steht und vom Betrag her das Produkt der Betr"age der normal
aufeinander stehenden Komponenten von $\vec r$ und $\vec \omega$ ist.

\moveright1em\vbox to 0pt{
\begin{tikzpicture}
	\draw[-] (0,-0.9) -- (0,+1.4);
	\fill[white] ($ (0,-0.5) - (1pt,1pt) $) rectangle ++(2pt,2pt);
	\draw[xscale=7/5] (0,0) circle (0.5);
	\fill[white] ($ (0,+0.5) - (1pt,1pt) $) rectangle ++(2pt,2pt);

	\draw[line cap=round,thick,-latex] (0,0) -- ++(0,+1) node[left] {$\vec \omega$};
	\draw[line cap=round,thick,-latex] (0,0) -- node[below] {$\vec r$} ++(0.65,0.2);
	\draw[line cap=round,thick,-latex] (0.65,0.2) -- ++(-0.2,0.4)
		node[right] {$\ \vec v = \vec \omega \times \vec r$};
\end{tikzpicture}}

{\vskip-1em\leftskip=3.5cm\tolerance=1000
$\vec v$, $\;\vec \omega$ und $\vec r$ bilden ein {\bf Rechtssystem}:
\medskip \\
\null\qquad\qquad $\hbox to0pt{$\vec v$\hss}
	\phantom{\vec \omega} \bk\mathrel{\widehat{=}}\bk \text{Daumen}$ \smallskip \\
\null\qquad\qquad $\hbox to0pt{$\vec \omega$\hss}
	\phantom{\vec \omega} \bk\mathrel{\widehat{=}}\bk \text{Zeigefinger}$ \smallskip \\
\null\qquad\qquad $\hbox to0pt{$\vec r$\hss}
	\phantom{\vec \omega} \bk\mathrel{\widehat{=}}\bk \text{Mittelfinger}$
\par}

\vfill
Der Betrag von $\vec a \times \vec b$ ist gleich dem Fl"acheninhalt des von
$\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Berechnung von $\vec a \times \vec b$}
\simplecenter
$$ \vec a \times \vec b = \begin{pmatrix}
a_2 b_3 - a_3 b_2 \\
a_3 b_1 - a_1 b_3 \\
a_1 b_2 - a_2 b_1 \\
\end{pmatrix} $$

$$ \big| \vec a \times \vec b \big| =
\big| \vec a \big| \cdot \big| \vec b \big| \cdot \sin \measuredangle (\vec a, \vec b) $$
\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Definition: Vektorraum}
\small
Sei $\mathbb V$ eine Menge von Vektoren ($n$-Tupel).
$\mathbb V$ ist ein Vektorraum wenn:

\vskip-1em
\moveleft1em\vbox{
\begin{itemize}
\item eine kommutative und assoziative algebraische Funktion $\oplus$ definiert
ist, die je zwei Vektoren $v_1, v_2 \in \mathbb V$ einen weiteren Vektor $v_1
\oplus v_2 \in \mathbb V$ zuordnet.
\item ein neutraler Vektor $n$ definiert ist f"ur den $v \oplus n = v$ gilt.
\item fuer jeden Vektor $v \in \mathbb V$ ein inverser Vektor $v^* \in \mathbb V$
definiert ist f"ur den $v \oplus v^* = n$ gilt.
\item eine algebraische Funktion $\odot$ definiert ist die je
einer Zahl $t \in \mathbb R$ und einem Vektor $v \in \mathbb V$ einen
weiteren Vektor $t \odot v \in \mathbb V$ zuordnet, so dass gilt:
\end{itemize}}

\vskip-3.5em
\begin{align*}
t \odot ( v_1 \oplus v_2 ) &= (t \odot v_1) \oplus (t \odot v_2) &
s \odot ( t \odot v ) &= (s \cdot t) \odot v \\
(s+t) \odot v &= (s \odot v) \oplus (t \odot v) &
1 \odot v &= v
\end{align*}

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Definition: Betragsfunktion \\ eines reellen Vektorraums}

Es sei $\mathbb V$ ein reeller Vektorraum ($\mathbb R^k$). \bk Eine Funktion $f:
\mathbb V \mapsto \mathbb R$ heisst Norm oder Betragsfunktion von $\mathbb V$ wenn:

\begin{itemize}
\item $f(v) \ge 0$ \hskip70pt f"ur alle $v \in \mathbb V$
\item $f(v) = 0 \bk\Leftrightarrow\bk v=n$ \qquad ($n$ = neutrales Element von $\mathbb V$)
\item $f(t \odot v) \bk=\bk |t| \cdot f(v)$
\item $f(v_1 \oplus v_2) \bk\leq\bk f(v_1) + f(v_2)$
\end{itemize}

Statt $f(v)$ wird meist $|v|$ oder $\parallel{\!\!v\!\!}\parallel$ oder "`Betrag von $v$"' geschrieben.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Parameterdarstellung einer Geraden}

\moveright1em\vbox to 0pt{
\begin{tikzpicture}
	\draw[gray,-] (0,0) -- (3,1.5) node [left] {\strut \raise0.5em\hbox{$g$}};
	\fill[gray] (1,0.5) circle (1pt) node [above] {$\rm P$};
	\fill[gray] (2,1) circle (1pt) node [above] {$\rm Q$};
	\draw[thick,-latex] (1,0.5) -- node [below] {$\vec g$} (2,1);
\end{tikzpicture}}

{\vskip-1em\leftskip=4cm\tolerance=1000
Sei $g$ eine Gerade und $\mathrm P,\mathrm Q \in g$, \break $\mathrm P \neq \mathrm Q$.
Dann nennt man $\vec g = \small\overrightarrow{\rm PQ}$ \break ($\vec g \neq \vec o$)
einen Richtungsvektor der \break Geraden $g$ und
\par}

\kern-5pt
$$ g = \left\{\; \mathrm X \;\big|\; \mathrm X = \mathrm P + t \cdot \vec g \;\right\} $$
$$ \hbox to 0pt{\kern-8em oder kurz\hfil} g\!:\; \mathrm X = \mathrm P + t \cdot \vec g $$

\hfill die Parameterdarstellung von $g$ (mit dem Parameter $t$). \qquad\null

\vfill
Zu jeder Geraden gibt es unendlich viele Parameterdarstellungen.
\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Parallele Geraden}
\simplecenter
Zwei Geraden $g$ und $h$ sind genau dann parallel, \break wenn jeder Richtungsvektor
von $g$ auch ein \break Richtungsvektor von $h$ ist und umgekehrt.
\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Schnittpunkt zweier Geraden}
Seien \bk$g\!:\mathrm X = \mathrm A+t\cdot \vec g \;\;$\bk und
\bk$h\!:\mathrm X = \mathrm B+s\cdot \vec h \;\;$\bk Geraden.

Um den Schnittpunkt {$\mathrm P$} von $g$ und $h$ zu ermitteln setzt man die
beiden Parameterdarstellungen gleich:

\vspace*{-1mm}
$$
\left.
\setbox1=\hbox{$\mathrm A$}
\setbox2=\hbox{$s_0 \cdot \vec h$}
\begin{matrix}
\mathrm P = \hbox to\wd1{$\mathrm A$\hss}+\hbox to\wd2{$t_0\cdot \vec g$\hss} \\
\mathrm P = \hbox to\wd1{\null\hfill$\mathrm B$}+\hbox to\wd2{$s_0\cdot \vec h$\hss} \\
\end{matrix}
\;\right\} \bk\Longrightarrow\bk
\mathrm A+t_0\cdot \vec g \;=\; \mathrm B+s_0\cdot \vec h
$$

\vspace*{-1mm}
Hat dieses Gleichungssystem keine L"osung so gibt es keinen Schnittpunkt. D.h. die
Geraden sind dann parallel oder windschief.

\vspace*{-1mm}
Hat dieses Gleichungssystem unendlich viele L"osungen, so hei"st das, da"s die beiden
Geraden identisch sind.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Normalvektorform einer Geraden}
\def\pvec#1#2{{\tiny\begin{pmatrix}#1\\#2\end{pmatrix}}}

Sei $g\!:\mathrm X$ eine Gerade in der Ebene, $\mathrm P$ ein beliebiger
Punkt auf $g$ und $\vec n$ ein Normalvektor von $g$, dann ist $$ \vec n \cdot
\mathrm X = \vec n \cdot \mathrm P $$ die {\bf Normalvektorform} von $g$.

\vfill
Wir setzten f"ur $\vec n = \pvec{a}{b}$, $\mathrm X = \pvec{x_1}{x_2}$ und
$\mathrm P = \pvec{p_1}{p_2}$ ein:
$$ \pvec{a}{b} \cdot \pvec{x_1}{x_2} = \pvec{a}{b} \cdot \pvec{p_1}{p_2}
\bk\Longrightarrow\bk
ax_1 + bx_2 = \underbrace{ap_1 + bp_2}_{\hbox{const.}} $$

\kern-1em
Die Normalvektorform beschreibt also die Gerade als L"osungs\-menge einer linearen
Gleichung mit den zwei Unbekannten $x_1$ und $x_2$.
\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Von der Parameterdarstellung einer Geraden zur Normalvektorform}
\def\pvec#1#2{{\tiny\begin{pmatrix}#1\\#2\end{pmatrix}}}
Sei \bk$g\!:\mathrm X = \mathrm P+t\cdot \vec g \;\;$\bk eine Gerade in der Ebene.

\vfill
\kern+1em
{\bf Ansatz 1: Erweitern mit einem Normalvektor $\vec n \perp \vec g$}
$$ \mathrm X = \mathrm P+t\cdot \vec g  \bk\overset{\cdot \vec n}\Longrightarrow\bk
\mathrm X \cdot \vec n = \mathrm P \cdot \vec n +
\underbrace{t \cdot \vec g \cdot \vec n}_{=0} $$

\vfill
{\bf Ansatz 2: Eliminieren von $t$}
$$ \pvec{x_1}{x_2} = \pvec{a}{b} + t \cdot \pvec{c}{d} \bk\Leftrightarrow\bk
\begin{matrix}x_1 = a + t \cdot c \\ x_2 = b + t \cdot d\end{matrix}
\bk\Rightarrow\bk t = \frac{x_2-b}{d} \bk\Rightarrow $$
$$ \Rightarrow\bk x_1 = a + \frac{x_2-b}{d} \cdot c \bk\Longrightarrow\bk
\underline{\underline{dx_1 - cx_2 = ad - bc}} $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Von der Normalvektorform zur Parameterdarstellung einer Geraden}
\def\pvec#1#2{\smash{\tiny\begin{pmatrix}#1\\#2\end{pmatrix}}}
Sei \bk$ax_1 + bx_2 = y$\bk die Normalvektorform der Geraden $g$. \\
Gesucht ist die Parameterdarstellung \bk$\mathrm X = P + t\cdot\vec g$.

\vfill
Aus dem Normalvektor $\vec n = \pvec{a}{b}$ kann gefolgert werden,
dass $\vec g = \pvec{b}{-a}$ ein Richtungsvektor von $g$ ist.

\vfill
Durch eine willk"urliche Wahl von $x_1$ oder $x_2$ wird der Punkt $\mathrm P$
entweder als $\mathrm P = \pvec{x_1}{(y-ax_1)/b}$
oder als $\mathrm P = \pvec{(y-bx_2)/a}{x_2}$
festgelegt.

\vfill
\kern-2em
$$ X = \pvec{x_1}{(y-ax_1)/b} + t \cdot \pvec{b}{-a} \qquad\hbox{bzw.}\qquad
X = \pvec{(y-bx_2)/a}{x_2} + t \cdot \pvec{b}{-a} $$

\kern-0.5em
Bei $a=0$ bzw. $b=0$ ist nur jene definition von $\mathrm P$ m"oglich die nicht
zu einer Division durch Null f"uhrt.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Ebene, Richtunungsvektor der Ebene, Parameterdarstellung der Ebene}

Durch drei Punkte des Raums, die nicht auf einer Geraden liegen, geht genau
eine Ebene.

Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der Parallel zur Ebene $E$ liegt,
hei"st ein Richtunungs\-vektor der Ebene $E$.
Also jeder Vektor, der zwei voneinander verschiedene Punkte in der Ebene $E$
verbindet, ist ein Richtunungs\-vektor dieser Ebene $E$.

Seien $\vec a$ und $\vec b$ zwei linear unabh"anige Richtungsvektoren der Ebene
$E$ und sei $\mathrm P$ ein Punkt in $E$. Dann ist
\vskip-1.5em$$ E\!:\mathrm X = \mathrm P + u \cdot \vec a + v \cdot \vec b $$
eine Parameterdarstellung der Ebene $E$ mit den Parametern $u$ und $v$.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Von der Parameterdarstellung der \\ Ebene zur Normalvektorform}
Gegeben:\bk $ \mathrm X = \mathrm P + u \cdot \vec a + v \cdot \vec b $ \\
Gesucht:\bk $ \vec n \cdot X = k $ 

{\bf L"osungsstrategie:} \\
Die gegebene Parameterdarstellung wird als Gleichungssystem mit 3 Gleichungen
angeschrieben. Anschliessend werden die unbekannten $u$ und $v$ eliminiert und
so eine lineare Gleichung in $X$ erstellt:

\vskip-2em
\begin{align*}
	x_1 &= p_1 + u \cdot a_1 + v \cdot b_1 \\
	x_2 &= p_2 + u \cdot a_2 + v \cdot b_2 \\
	x_3 &= p_3 + u \cdot a_3 + v \cdot b_3
\end{align*}
$$ \Longrightarrow\bk n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = k
\bk\Leftrightarrow\bk \vec n \cdot X = k $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Von der Normalvektorform der Ebene \\ zur Parameterdarstellung}
\def\pvec#1#2#3{{\tiny\begin{pmatrix}#1\\#2\\#3\end{pmatrix}}}
Gegeben:\bk $ \vec n \cdot X = k $ \hfill
Gesucht:\bk $ \mathrm X = \mathrm P + u \cdot \vec a + v \cdot \vec b $

{\bf Ansatz 1: Ermitteln von 3 Punkten} \\
{\small
Es werden 3 (verschiedene) Punkte $\mathrm P$, $\mathrm A$ und
$\mathrm B$ ermittelt: jeweils 2 Koordinaten willk"urlich festlegen
und die dritte durch Einsetzen in die Gleichung errechnen.
Eine Parameterdarstellung ist:}\vskip-1.7em
$$ \mathrm X = \mathrm P + u \cdot \overrightarrow{PA} + v \cdot \overrightarrow{PB} $$

{\bf Ansatz 2: Teilweises festlegen der Richtungsvekotren} \\
{\small
Die gegebene Gleichung wird in die Form $x_1 = a + b x_2 + c x_3$ umgewandelt.
Indem man $u=x_2$ und $v=x_3$ setzt ergibt sich folgende Parameterdarstellung:
}\vskip-2.2em
$$ \pvec{x_1}{x_2}{x_3} = \pvec{a}{0}{0} + u\pvec{b}{1}{0} + v\pvec{c}{0}{1} $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Normale Geraden im Raum und \\ Normalvektoren von Ebenen}
\simplecenter

Zwei Vektoren im Raum stehen normal aufeinander, \\
wenn ihr inneres Produkt Null ergibt.

Zwei Geraden im Raum sind dann normal, wenn ihre Richtungsvektoren normal
aufeinander stehen.

Ein Vektor $\vec n$ hei"st Normalvektor einer Ebene $E$, \\
wenn $\vec n$ zu allen Richtungsvektoren von $E$ normal ist.

Das innere Produkt von einem Normalvektor $\vec n$ einer Ebene \\
und jedem Punkt $\mathrm X$ der Ebene ist konstant.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Linearkombinationen von Vektoren \\ und lineare Abh"anigkeit von Vektoren}

% Sei $\vec a_1, \vec a_2, \dots, \vec a_n$ eine Liste von Vektoren und
% $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ eine Liste von Skalaren.

Ein Vektor $\vec x = \lambda_1 \vec a_1 + \lambda_2 \vec a_2 + \cdots +
\lambda_n \vec a_n$ hei"st {\bf Linearkombination} von $\vec a_1, \vec a_2,
\dots, \vec a_n$.

Existiert eine Linearkombination $\lambda_1 \vec a_1 + \lambda_2 \vec a_2 + \cdots +
\lambda_n \vec a_n = 0$ mit mindestens einem $\lambda_k \neq 0$, so hei"sen die
Vektoren {\bf linear abh"anig}, ansonsten {\bf linear unabh"anig}.

In einer Liste von linear unabh"anigen Vektoren kann mindestens einer der Vektoren
als Linearkombination der "ubrigen dargestellt werden.

Im $n$-dimensionalen Raum k"onnen maximal $n$ Vektoren linear unabh"anig
voneinander sein.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Matrix}
Unter einer {\bf $\bf m {\!\times\!} n$-Matrix} versteht man ein rechteckiges Schema
reeller oder komplexer Zahlen mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten.

$$ A = \begin{pmatrix}
	a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
	a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
	\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
	a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} $$

\small
Im Fall $m=n$ spricht man von einer {\bf quadratischen Matrix}.  \\
Im Fall $a_{ij} = a_{ji}$ spricht man von einer {\bf symetrischen Matrix}.

\vskip-0.5em
Durch Vertauschung von Zeilen und Spalten (= {\it kippen} um die {\bf Hauptdiagonale})
erh"allt man die {\bf transponierte Matrix} $A^{\mathrm T}$.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Addition von Matrizen und \\ Multiplikation von Matrix und Skalar}

{\bf Addition von Matrizen:} \\
Seien $A = (a_{ij})$ und $B = (b_{ij})$ jeweils $m{\!\times\!}n$-Matrizen:
$$ A + B = (a_{ij} + b_{ij}) $$

\vfil

{\bf Multiplikation von Matrix und Skalar:} \\
Sei $A = (a_{ij})$ eine $m{\!\times\!}n$-Matrix und $\lambda$ ein Skalar:
$$ \lambda \cdot A = (\lambda \cdot a_{ij}) $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Multiplikation von Matrizen}
Seien $A = (a_{ij})$ eine $m{\!\times\!}n$-Matrix
und $B = (b_{jk})$ eine $n{\!\times\!}p$-Matrix:

\vfill
$$ AB = C \qquad \hbox{($C=(c_{ik})$ ist eine $m{\!\times\!}p$-Matrix)} $$

$$ c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk} $$

\vfill
Das hei"st die Elemente von $C$ werden gebildet indem jeweils das innere Produkt des
passenden Zeilenvektors aus $A$ und des passenden Spaltenvektors aus $B$
gebildet wird.

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Zeilenweise Multiplikation \\ von Matrizen}

$$
\underbrace{\begin{pmatrix}
   \textcolor{gray}{a_{11}} & \textcolor{gray}{a_{12}} & \textcolor{gray}{a_{13}} \\
   \textcolor{red}{a_{21}}  & \textcolor{red}{a_{22}}  & \textcolor{red}{a_{23}}  \\
   \textcolor{gray}{a_{31}} & \textcolor{gray}{a_{32}} & \textcolor{gray}{a_{33}}
\end{pmatrix}}_A
\cdot
\underbrace{\begin{pmatrix}
   \textcolor{green}{b_{11}}  & \textcolor{green}{b_{12}}  & \textcolor{green}{b_{13}} \\
   \textcolor{blue}{b_{21}}   & \textcolor{blue}{b_{22}}   & \textcolor{blue}{b_{23}}  \\
   \textcolor{orange}{b_{31}} & \textcolor{orange}{b_{32}} & \textcolor{orange}{b_{33}}
\end{pmatrix}}_B
=
\underbrace{\begin{pmatrix}
   \textcolor{gray}{c_{11}} & \textcolor{gray}{c_{12}} & \textcolor{gray}{c_{13}} \\
   \textcolor{cyan}{c_{21}} & \textcolor{cyan}{c_{22}} & \textcolor{cyan}{c_{23}} \\
   \textcolor{gray}{c_{31}} & \textcolor{gray}{c_{32}} & \textcolor{gray}{c_{33}}
\end{pmatrix}}_C
$$

Jede Zeile von $C$ ist eine Linearkombination aller Zeilen aus $B$ mit den
Koeffizienten aus der entsprechenden Zeile aus $A$.

$$
\begin{pmatrix}
	\textcolor{cyan}{c_{21}} \\
	\textcolor{cyan}{c_{22}} \\
	\textcolor{cyan}{c_{23}}
\end{pmatrix} \,=\;
\textcolor{red}{a_{21}}
\begin{pmatrix}
	\textcolor{green}{b_{11}} \\
	\textcolor{green}{b_{12}} \\
	\textcolor{green}{b_{13}}
\end{pmatrix} \,+\;
\textcolor{red}{a_{22}}
\begin{pmatrix}
	\textcolor{blue}{b_{21}} \\
	\textcolor{blue}{b_{22}} \\
	\textcolor{blue}{b_{23}}
\end{pmatrix} \,+\;
\textcolor{red}{a_{23}}
\begin{pmatrix}
	\textcolor{orange}{b_{31}} \\
	\textcolor{orange}{b_{32}} \\
	\textcolor{orange}{b_{33}}
\end{pmatrix}
$$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Spaltenweise Multiplikation \\ von Matrizen}

$$
\underbrace{\begin{pmatrix}
   \textcolor{green}{a_{11}} & \textcolor{blue}{a_{12}} & \textcolor{orange}{a_{13}} \\
   \textcolor{green}{a_{21}} & \textcolor{blue}{a_{22}} & \textcolor{orange}{a_{23}} \\
   \textcolor{green}{a_{31}} & \textcolor{blue}{a_{32}} & \textcolor{orange}{a_{33}}
\end{pmatrix}}_A
\cdot
\underbrace{\begin{pmatrix}
   \textcolor{gray}{b_{11}} & \textcolor{red}{b_{12}} & \textcolor{gray}{b_{13}} \\
   \textcolor{gray}{b_{21}} & \textcolor{red}{b_{22}} & \textcolor{gray}{b_{23}} \\
   \textcolor{gray}{b_{31}} & \textcolor{red}{b_{32}} & \textcolor{gray}{b_{33}}
\end{pmatrix}}_B
=
\underbrace{\begin{pmatrix}
   \textcolor{gray}{c_{11}} & \textcolor{cyan}{c_{12}} & \textcolor{gray}{c_{13}} \\
   \textcolor{gray}{c_{21}} & \textcolor{cyan}{c_{22}} & \textcolor{gray}{c_{23}} \\
   \textcolor{gray}{c_{31}} & \textcolor{cyan}{c_{32}} & \textcolor{gray}{c_{33}}
\end{pmatrix}}_C
$$

Jede Spalte von $C$ ist eine Linearkombination aller Spalten aus $A$ mit den
Koeffizienten aus der entsprechenden Spalte aus $B$.

$$
\begin{pmatrix}
	\textcolor{cyan}{c_{12}} \\
	\textcolor{cyan}{c_{22}} \\
	\textcolor{cyan}{c_{32}}
\end{pmatrix} \,=\;
\textcolor{red}{b_{12}}
\begin{pmatrix}
	\textcolor{green}{a_{11}} \\
	\textcolor{green}{a_{21}} \\
	\textcolor{green}{a_{31}}
\end{pmatrix} \,+\;
\textcolor{red}{b_{22}}
\begin{pmatrix}
	\textcolor{blue}{a_{12}} \\
	\textcolor{blue}{a_{22}} \\
	\textcolor{blue}{a_{32}}
\end{pmatrix} \,+\;
\textcolor{red}{b_{32}}
\begin{pmatrix}
	\textcolor{orange}{a_{13}} \\
	\textcolor{orange}{a_{23}} \\
	\textcolor{orange}{a_{33}}
\end{pmatrix}
$$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Nullmatrix und Einheitsmatrix}

Die Nullmatrix $\mathbb O$ ist jene Matrix, die mit einer anderen Matrix \break
addiert wieder diese andere Matrix als Ergebnis liefert:
$$ \mathbb O = \begin{pmatrix}
	0 & \cdots & 0 \\
	\vdts & \ddts & \vdts \\
	0 & \cdots & 0
\end{pmatrix} $$

\vfill
Die Einheitsmatrix $E$ ist jene Matrix, die mit einer anderen Matrix
multipliziert wieder diese andere Matrix als Ergebnis liefert:
$$ E = \tiny\begin{pmatrix}
	1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
	0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
	\vdts & \vdts & \ddts & \vdts & \vdts \\
	0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
	0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} $$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Determinante einer Matrix}
Sei $A = (a_{ij})$ eine quadratische $n{\!\times\!}n$-Matrix. \\
Dann ist $\det(A) = |A|$ (die Determinante von $A$) definiert als:

$n=1$:\vskip-3em
$$ |A| = a_{11} $$

$n=2$:\vskip-3em
$$ |A| = \left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right| =
a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} $$

$n=3$:\vskip-2em\scriptsize
$$ |A| = \left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| =
a_{11} \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| -
a_{12} \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| +
a_{13} \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| =
$$
$$ = a_{11} a_{22} a_{23} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}
- a_{31} a_{22} a_{13} - a_{32} a_{23} a_{11} - a_{33} a_{21} a_{12} $$

\end{karte}

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\begin{karte}{Entwicklungssatz von Laplace \\ zur Berechnung von Determinanten}

Eine Determinante kann nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt werden.
Das hei"st:

\vskip-2em
\begin{align*}
|A| &= \phant{$a_{i1}|A_{i1}|$}{$a_{1j}|A_{1j}|$} +
\phant{$a_{i2}|A_{i2}|$}{$a_{2j}|A_{2j}|$} + \cdots +
\phant{$a_{in}|A_{in}|$}{$a_{mj}|A_{mj}|$} & i&=1,\;\dots,\;m \\
\kern1em\hbox to0pt{\kern-1.5em bzw.\hfil}
\kern1em|A| &= a_{1j}|A_{1j}| + a_{2j}|A_{2j}| + \cdots + a_{mj}|A_{mj}| & j&=1,\;\dots,\;n
\end{align*}

Wobei $A_{xy}$ jene Matrix ist, die man erhaellt wenn man aus $A$ die $x$-te
Zeile und $y$-te Spalte entfernt und die resultierende Matrix mit $-1$ multipliziert
wenn $x+y$ ungerade ist. Zum Beispiel:

\scriptsize
\vskip-2em
$$ \left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| =
a_{11} \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| -
a_{12} \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| +
a_{13} \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right|
$$

\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{karte}{Eigenschaften von Determinanten}
\small
Vertauscht man zwei Zeilen oder Spalten, so "andert sich das Vorzeichen der
Determinante.

Multipliziert man eine Zeile oder Spalte mit einem konstanten Faktor, so
multipliziert sich auch die Determinante mit diesem Faktor.

Addiert man ein Vielfaches einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte),
so "andert sich die Determinante nicht.

F"ur die Transponierte einer Matrix gilt $|A^{\mathrm T}|=|A|$ sowie f"ur das
Produkt $|AB|=|A|\cdot|B|$.

F"ur die Inverse einer Matrix gilt $|A^{-1}|=|A|^{-1}$. Wenn die Determinante
einer Matrix $0$ ist so gibt es keine Inverse zu dieser Matrix.

\end{karte}

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\begin{karte}{Die inverse Matrix}
Sei $A$ eine quadratische Matrix. Wenn (und nur wenn) $|A| \neq 0$ dann gibt es eine
inverse Matrix $A^{-1}$, so dass
$$ \null\qquad A \cdot A^{-1} \,=\; A^{-1} \cdot A \;=\; E
\qquad \hbox{($E$ = Einheitsmatrix)}$$
ist.

Die inverse Matrix wird berechnet indem in die oben stehende Definition
eingesetzt wird. Zum Beispiel:

\vskip-8pt
$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$\vskip-5pt
$$ \left.\begin{matrix}2a + 1c = 1 \\ 5a + 3c = 0 \end{matrix}\right\}
\Rightarrow \begin{matrix} \phant{$a = 3$}{$c = -5$} \\ c = -5 \end{matrix}
\qquad
\left.\begin{matrix}2b + 1d = 0 \\ 5b + 3d = 1 \end{matrix}\right\}
\Rightarrow \begin{matrix} b = -1 \\ \phant{$d = 2$}{$b = -1$} \end{matrix} $$

\end{karte}

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\begin{karte}{Lineare Gleichungssysteme und Matrizen}

Lineare Gleichungssysteme der Form
$$ \begin{matrix} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 = k_1 \\
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 = k_2 \end{matrix} $$
k"onnen auch als Multiplikation einer Matrix mit einem Spalten\-vektor angeschrieben
werden:
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} $$

L"osung mittels Gau"sschem Eliminationsverfahren oder der inversen Matrix:
$ \bk A \cdot \vec x = \vec b \bk\Longrightarrow\bk
% \underbrace{A^{\hbox{-}1}\!\! \cdot A}_E \cdot
\vec x = A^{\hbox{-}1}\!\! \cdot \vec b $

\end{karte}

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\begin{karte}{Cramersche Regel}

Die Cramersche Regel (Determinantenmethode) ist ein Verfahren zum L"osen linearer
Gleichungssysteme.

$$ A \cdot \vec x = \vec b \bk\Longrightarrow\bk x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$

Wobei $A_i$ aus der Matrix $A$ entsteht, wenn man die $i$-te Spalte durch den
Vektor $\vec b$ ersetzt.

$$ \hbox to0pt{\hss z.B.\qquad}
\begin{matrix} 1 x_1 + 2 x_2 = 3 \\ 4 x_1 + 5 x_2 = 6 \end{matrix} \quad\Rightarrow\quad \tiny
x_1 = \frac{\left|\begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 5 \end{matrix}\right|
	}{\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix}\right|}, \quad
x_2 = \frac{\left|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix}\right|
	}{\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix}\right|} $$
\end{karte}

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\begin{karte}{L"osungs"aquivialente Umformungen \\ in linearen Gleichungssystemen}
Sei $A\vec x = \vec b$ eine lineare Gleichung in $\vec x$. Die L"osungsgesamtheit
des linearen Gleichungssystems "andert sich nicht bei:

\quad $\bullet$ Vertauschen zweier Geichungen \\
\null\qquad (d.h. zweier Zeilen von $[A \vec b]$)

\quad $\bullet$ Vertauschen zweier Spalten von A \\
\null\qquad (und Umbezeichnung der zugeh"origen Variablen)

\quad $\bullet$ Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor $\neq 0$

\quad $\bullet$ Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor \\
\null\qquad und Addition zu einer anderen Gleichung

\end{karte}

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\begin{karte}{Gau"ssches Eliminationsverfahren}

Sei $A\vec x = \vec b$ eine lineare Gleichung in $\vec x$. Durch L"osungs"aquivialente
Umformungen wird die Gleichung so in $A'\vec x = \vec b'$ umgewandelt, da"s $A'$ eine
obere Dreiecksmatrix ist. Zum Beispiel:
$$
\tiny
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 0 & 6 & 8 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
\bk\Leftrightarrow\bk
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}
$$

Durch einsetzen "`von unten nach oben"' werden die Werte f"ur die Variablen bestimmt:
\begin{align*}
-4x_3 &= 8 \phantom{-}\bk\Leftrightarrow\bk \phantom{3}x_3 = -2 \\
3x_2 + 6x_3 &= -2 \bk\Leftrightarrow\bk 3x_2 = -2 + 6\cdot2 = 10 \bk\Leftrightarrow\bk x_2 = \nicefrac{10}{3} \\
x_1 - 2x_2 + 3x_3 &= -4 \bk\Leftrightarrow\bk \phantom{3}x_1 = -4 + 2\cdot\nicefrac{10}{3} + 3\cdot2 = \nicefrac{26}{3}
\end{align*}

\end{karte}

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\begin{karte}{Gleichungen von Kreis und Kugel}
Ein Kreis $k$ ist die Menge jener Punkte in der Ebene, die den Abstand $r$
(Radius) zum Punkt $\mathrm M$ (Mittelpunkt) haben.
$$ k: \{\bk X \in \mathbb R^2 \bk\big|\bk |X-M| = r \bk\} $$
$$ (x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 = r^2 $$

\vfill
Eine Kugel $s$ (Sphere) ist die Menge jener Punkte im Raum, die den Abstand $r$
(Radius) zum Punkt $\mathrm M$ (Mittelpunkt) haben.
$$ s: \{\bk X \in \mathbb R^3 \bk\big|\bk |X-M| = r \bk\} $$
$$ (x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2 $$
\vskip-1em
\end{karte}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}