\documentclass[a7paper]{kartei} \usepackage[utf8]{inputenc} %UTF8 \usepackage[OT1]{fontenc} \usepackage[scaled]{helvet} \usepackage[ngerman]{babel} % Neue Rechtschreibung \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{nicefrac} \usepackage{array} \usepackage{mathdots} % Deutsche Absatzformatierung \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{1em} % Oft verwendete spacer \def \bk {\hspace*{2mm}} \def \simplecenter {\vspace*{-10mm}\centering\vfil} % dies und das \newcommand*\euler{\mathrm{e}} \newcommand*\leibd{\mathrm{d}} \newcommand*\leibdx{\mathrm{d}x} \newcommand*\leibdt{\mathrm{d}t} \newcommand*\bigbar{\!\!\left.\begin{matrix}\,\\\,\end{matrix}\right|} \def\arcsin{\mathop{\rm arc\,sin}\nolimits} \def\arccos{\mathop{\rm arc\,cos}\nolimits} \def\arctan{\mathop{\rm arc\,tan}\nolimits} \def\vdts{\lower1pt\hbox{$\smash{\vdots}$}} \def\ddts{\lower1pt\hbox{$\smash{\ddots}$}} \def\phant#1#2{\hbox to0pt{#1\hss}\phantom{\hbox{#2}}} \newcommand*\dg{^{\circ}} % Wurzel mit haken \newcommand\hksqrt[2][]{\mathpalette\DHLhksqrtA{{#1}{#2}}} \def\DHLhksqrtA#1#2{\setbox0=\hbox{$#1\DHLhksqrtB#2$}\dimen0=\ht0 \advance\dimen0-0.2\ht0 %0.2 ist das Mass fuer die Hakenlaenge, relativ zum Inhalt der Wurzel \setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}% {\box0\lower0.4pt\box2}} \def\DHLhksqrtB#1#2{\def\a{#1}\def\b{}\ifx\a\b\sqrt{#2\,}\else\sqrt[#1]{#2\,}\fi} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{arrows} \begin{document} \fach{SBP Mathe Aufbaukurs 3} \kommentar{by Clifford Wolf} \include{hinweis} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Imagin"are und komplexe Zahlen} Die Quadratwurzeln der negativen reellen Zahlen hei"sen\break {\bf imagin"are Zahlen}. Alle imagin"are Zahlen sind vielfache der Zahl $i$: $$ \sqrt{-1} = i \qquad \sqrt{-x} = \sqrt{x}\cdot i \qquad (x \in \mathbb R^+_0) $$ D.h. die Quadrate der imagin"aren Zahlen sind die negativen reellen Zahlen: $$ (xi)^2 = (-xi)^2 = -(x^2) $$ Die Summen der Gestalt $a+bi$ bilden die Zahlenmenge der {\bf komplexen Zahlen} $\mathbb C$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Komplexe Zahlen \\ in der Gau"sschen Zahlenebene} \vbox{ \hfil \begin{tikzpicture} \draw[->] (-3,0) -- (+3,0) node [below] {$\rm Re$}; \draw[->] (0,-2) -- (0,+2) node [left] {$\rm Im$}; \draw (+1,0.1) -- ++(0,-0.2) node [below] {$1$}; \draw (-1,0.1) -- ++(0,-0.2) node [below] {$-1$}; \draw (+2,0.1) -- ++(0,-0.2) node [below] {$2$}; \draw (-2,0.1) -- ++(0,-0.2) node [below] {$-2$}; \draw (+0.1,+1) -- ++(-0.2,0) node [left] {$i=\sqrt{-1}$}; \draw (-0.1,-1) -- ++(+0.2,0) node [right] {$-i=-\sqrt{-1}$}; \fill (2,1) circle (0.05) ++(-0.05,-0.1) node [above right] {$2+1i$}; \draw (0,0) -- node [above] {$r$} (2,1); \draw (0.8,0) arc (0:atan(1/2):0.8); \path (0.6,0) arc (0:atan(1/2)/2:0.6) node {\scriptsize $\varphi$}; \path (-2,-1.3) node {$i^2 = (-i)^2 = -1$}; \end{tikzpicture} $$ r = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \varphi = \arctan\left(\frac{\lower0.2em\hbox{$b$}}{\raise0.2em\hbox{$a$}}\right)\;[+180\dg] $$ $$ a+bi = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi) $$ } \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Darstellungen komplexer Zahlen} {\bf 1. Die algebraischen Form} \vskip-2em$$a + bi$$ {\bf 2. Die trigonometrische Form} \vskip-2em$$r \cdot (\cos\varphi + i\sin\varphi)$$ {\bf 3. Die Exponentialform} \vskip-2em$$r \cdot \euler^{i\varphi}$$ $$ \euler^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi \qquad \varphi = {\rm arg}(a+bi) $$ $$ a = {\rm Re}(a+bi) \qquad b = {\rm Im}(a+bi) \qquad r = |a+bi| $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Summen und Differenzen \\ komplexer Zahlen} \null\vfill $$ (a + bi) \bk+\bk (c + di) \bk=\bk (a+c) \bk+\bk (b+d)i $$ $$ (a + bi) \bk-\bk (c + di) \bk=\bk (a-c) \bk+\bk (b-d)i $$ \null\vfill Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entspricht der Addition und Subtraktion der Ortsvektoren in der Gau"sschen Zahlenebene. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Produkte komplexer Zahlen} {\bf Ansatz 1: Ausmultiplizieren der algebraischen Form} \vskip-1.5em$$ (a+bi)\cdot(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i $$ \vfill {\bf Ansatz 2: Multiplikation des Betrages und Addition der Phase in der trigonometrischen Form} \vskip-2.5em$$ r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \cdot s(\cos\psi+i\sin\psi) = rs\big(\cos(\varphi+\psi) + i\sin(\varphi+\psi)\big) $$ \vfill {\bf Ansatz 3: Ausmultiplizieren der Exponentialform} \vskip-1.5em$$ r\cdot\euler^{i\varphi} \;\cdot\; s\cdot\euler^{i\psi} = rs\cdot\euler^{i(\varphi+\psi)} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Konjugiert komplexe Zahl} \null\vfill \centering Wenn $z=a+bi$, dann ist $\overline{z}=a-bi$ die \\ {\bf zu $z$ konjugiert komplexe Zahl}. $$ z \cdot \overline{z} = (a+bi) \cdot (a-bi) = a^2 + b^2 $$ Das Produkt aus einer komplexen Zahl \\ und ihrer konjugiert komplexen Zahl \\ ist immer eine reelle Zahl. \null\vfill \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Quotienten komplexer Zahlen} Durch Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners wird der Nenner reell: $$ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2 + d^2} $$ \vfill {\bf In trigonometrischer Form oder Exponentialform:} $$ \frac{r(\cos\varphi+i\sin\varphi)}{s(\cos\psi+i\sin\psi)} = \frac{r}{s}\cdot\big((\cos(\varphi-\psi) + i\sin(\varphi-\psi)\big) $$ $$ \frac{r\cdot\euler^{i\varphi}}{s\cdot\euler^{i\psi}} = \frac{r}{s}\cdot\euler^{i(\varphi-\psi)} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Potenzen komplexer Zahlen} \null\vfill $$ z^n \bk=\bk [r,\varphi]^n \bk=\bk [r^n, n\varphi \bmod 2\pi] \bk=\bk r^n \cdot \euler^{n\varphi i} $$ \vfill F"ur $r=1$ ergibt sich daraus die {\bf Moivresche Formel}: $$ (\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi \qquad \hbox{fuer alle $n\in\mathbb N$} $$ \vskip1em \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Wurzeln komplexer Zahlen} \null\vfill \begin{align*} \sqrt[n]{z} \bk=\bk \sqrt[n]{[r,\varphi]} \bk&=\bk [\sqrt[n]{z}, \frac{\varphi+k2\pi}{n} \bmod 2\pi] \\ \bk&=\bk \sqrt[n]{z} \cdot \euler^{(\frac{\varphi+k2\pi}{n})i} \qquad\qquad k \in \mathbb Z \end{align*} \vfill D.h. die $n$-te Wurzel einer komplexen Zahl hat immer $n$ L"osungen in $\mathbb C$. Diese L"osungen bilden ein regelm"a"siges Vieleck in der Gau"sschen Zahlenebene. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Fundamentalsatz der Algebra} \simplecenter Jede Gleichung der Form $$ c_nz^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots + c_2z^2 + c_1z^1 + c_0 = 0 $$ hat $n$ L"osungen in $\mathbb C$, wobei jede L"osung ent-\break{}sprechend ihrer Vielfachheit gez"ahlt wird. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{(Unendliche) Zahlenfolge} \simplecenter Eine Funktion $\mathbb N^\star \to \mathbb R: n \mapsto a_n$ \\ hei"st {\bf (unendliche) Zahlenfolge}. Man schreibt daf"ur z.B. $\left$ \\ oder $\left$ oder kurz $\left$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Umgebung} \simplecenter Man Bezeichnet das Intervall $\left] a-\epsilon; a+\epsilon \right[$ mit $\epsilon\in\mathbb R^+$ \\ als {\bf $\epsilon$-Umgebung von $a$} oder {\bf Umgebung mit \\ dem Radius $\epsilon$ um $a$}. Umgebungen k"onnen gro"s sein (wenn n"amlich $\epsilon$ \\ gro"s ist), im allgemeinen ist man aber an besonders \\ kleinen Umgebungen interessiert. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{"`fast alle"'} \simplecenter Liegen in einer Umgebung unendlich viele Glieder \\ einer Folge, au"serhalb dieser Umgebung aber nur \\ endliche viele, so sagt man: {\bf fast alle} Glieder \\ der Folge liegen in der Umgebung. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Grenzwert einer Folge} \simplecenter\null Eine Zahl $a$ hei"st {\bf Grenzwert} einer Folge $\left$, \\ wenn in {\it jeder}\/ Umgebung von $a$ {\it fast alle}\/ Glieder \\ dieser Folge liegen. \vskip-1em $$ \hbox{Man schreibt dann:} \quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \qquad\null $$ D.h. man kann zu jedem $\epsilon$ einen Index $N$ angeben, \\ so dass h"ochstens die Glieder $a_1$ bis $a_N$ ausserhalb \\ der $\epsilon$-Umgebung um $a$ liegen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Konvergenz} \simplecenter Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, hei"st {\bf konvergent}. Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, hei"st {\bf divergent}. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Grenzwerts"atze f"ur Folgen} Seien $\left$ und $\left$ konvergente Folgen mit den Grenzwerten $a$ und $b$: \vskip-1em $$ \lim_{n \to \infty} a_n + b_n = a + b $$ % \lim_{n \to \infty}(a_n) + \lim_{n \to \infty}(b_n) $$ \vskip-0.8em $$ \lim_{n \to \infty} a_n - b_n = a - b $$ % \lim_{n \to \infty}(a_n) - \lim_{n \to \infty}(b_n) $$ \vskip-0.8em $$ \lim_{n \to \infty} a_n \cdot b_n = a \cdot b $$ % \lim_{n \to \infty}(a_n) \cdot \lim_{n \to \infty}(b_n) $$ \vskip-0.8em $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \qquad \hbox{wenn $b \neq 0$} $$ % \frac{\lim_{n \to \infty}(a_n)}{\lim_{n \to \infty}(b_n)} % \qquad \hbox{wenn $\lim_{n \to \infty}(b_n) \neq 0$} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{H"aufungswert einer Folge} \simplecenter Eine Zahl hei"st H"aufungswert einer Folge, \\ wenn in jeder Umgebung der Zahl unendlich \\ viele Glieder der Folge liegen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Monoton wachsende und \\ monoton abnehmende Folgen} \null\vfil Eine Folge hei"st {\bf monoton wachsend}, wenn $$ \forall n \in \mathbb N^\star: a_{n+1} > a_n \hbox{.}$$ Eine Folge hei"st {\bf monoton abnehmend}, wenn $$ \forall n \in \mathbb N^\star: a_{n+1} < a_n \hbox{.}$$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Obere/untere Schranke} Eine Folge $\left$ hei"st {\bf nach oben beschr"ankt}, wenn es eine Zahl $S \in \mathbb R$ gibt, so dass $\forall n \in \mathbb N^\star: a_n \le S$. Jede solche Zahl $S$ hei"st {\bf obere Schranke} von $\left$. (Analog fuer {\bf nach unten beschr"ankt}, {\bf unten Schranke}.) \vfill Die {\bf kleinste obere Schranke} hei"st {\bf Supremum}. \\ Die {\bf gr"oste untere Schranke} hei"st {\bf Infimum}. \vfill Eine Folge hei"st {\bf beschr"ankt}, wenn sie nach oben {\it und} nach unten beschr"ankt ist. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Beschr"ankte Folgen und H"aufungswerte} Jede beschr"ankte Folge besitzt mindestens einen H"aufungswert. Jede beschr"ankte Folge mit nur einem H"aufungswert konvergiert gegen diesen H"aufungswert. Jede monoton steigende und nach oben beschr"ankte Folge konvergiert gegen ihr Supremum. Jede monoton abnehmende und nach unten beschr"ankte Folge konvergiert gegen ihr Infimum. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{H"aufungspunkte von Mengen} Sei $\mathbb M \subseteq \mathbb R$ eine Menge und $p \in \mathbb R$. Man nennt $p$ einen {\bf H"aufungspunkt} von $\mathbb M$, wenn in jeder Umgebung um $p$ unendlich viele Elemente von $\mathbb M$ liegen. Ist $p$ H"aufungspunkt von $\mathbb M$, dann gibt es eine Folge $\left$ von Elementen aus $\mathbb M$ mit dem Grenzwert $p$. Ist $p$ ein Element von $\mathbb M$ aber nicht H"aufungspunkt von $\mathbb M$, dann nennt man $p$ {\bf isolierter Punkt} von $\mathbb M$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Reihe} Gegeben sei eine Folge $\left$. Unter der aus dieser Folge gebildeten {\bf Reihe} versteht man die die Folge der Teilsummen $\left$. Falls der Grenzwert $s = \lim_{s \to \infty} s_n$ existiert so nennt man diese Zahl {\bf Summe der Folge} $\left$ oder {\bf Wert der Reihe} $\left$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Geometrische Folgen und Reihen} Eine Folge $\left$ hei"st {\bf geometrische Folge}. \vfil F"ur die Summe $s_n$ der ersten $n$ Glieder dieser Folge gilt: $$ s_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \qquad \begin{pmatrix} \text{\tiny $a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots)$} \\ \text{\tiny (Satz von Horner) \quad mit $a=1$ und $b=q$} \\ \end{pmatrix}$$ \vfil Wenn $|q| < 1$ so hat die Reihe $\left$ einen Grenzwert $s$: $$ s = \frac{a_1}{1-q} \qquad\qquad \text{(wegen $\lim_{n\to\infty}q^n = 0$)} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Grenzwerte von Funktionen} Sei $f: \mathbb A \to \mathbb R$ eine reelle Funktion. Wenn f"ur {\it jede} Folge $\left$ mit dem Grenzwert $p$ ($z_n \in \mathbb A$ und $z_n \neq p$) die Folge $\left$ denselben Grenzwert $q$ besitzt, so nennt man die Zahl $q$ den {\bf Grenzwert von $f$ and der Stelle $p$}. $$ \lim_{z \to p} f(z) = \lim_{n \to \infty} f(z_n) = q \qquad \forall \left \big| \lim_{n \to \infty} z_n = p $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Grenzwerts"atze f"ur Funktionen} Seien $f: \mathbb A \to \mathbb R$ und $g: \mathbb A \to \mathbb R$ reelle Funktionen. Falls die Grenzwerte $\lim_{z \to p}f(z)$ und $\lim_{z \to p}g(z)$ existieren, gilt: \vskip-1em $$ \lim_{z \to p}\big( f(z) + g(z) \big) = \lim_{z \to p}f(z) + \lim_{z \to p}g(z) $$ \vskip-0.8em $$ \lim_{z \to p}\big( f(z) - g(z) \big) = \lim_{z \to p}f(z) - \lim_{z \to p}g(z) $$ \vskip-0.8em $$ \lim_{z \to p}\big( f(z) \cdot g(z) \big) = \lim_{z \to p}f(z) \cdot \lim_{z \to p}g(z) $$ \vskip-0.8em $$ \lim_{z \to p}\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{ \lim_{z \to p}f(z) }{ \lim_{z \to p}g(z) } \qquad \hbox{wenn $\displaystyle \lim_{z \to p}g(z) \neq 0$} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Grenzwerte besonders \\ einfacher Funktionen} \null\vfil {\bf Die identische Funktion $z \mapsto z$:} $$ \lim_{z \to p} z = p $$ \vfil {\bf Die konstante Funktion $z \mapsto c \in \mathbb R$:} $$ \lim_{z \to p} c = c $$ \vfil\null \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{$\varepsilon$-$\delta$-Definition des \\ Grenzwerts einer Funktion} Sei \\ \null\qquad $f: \mathbb A \to \mathbb R$ eine reelle Funktion, \\ \null\qquad $p \in \mathbb R$ eine H"aufungsstelle von $\mathbb A$, \\ \null\qquad $q \in \mathbb R$ der Grenzwert von $f$ an der Stelle $p$, \\ \null\qquad $U_{p\delta}$ eine Umgebung von $p$ in $\mathbb A$ mit dem Radius $\delta$ und \\ \null\qquad $U_{q\varepsilon}$ eine Umgebung von $q$ in $\mathbb R$ mit dem Radius $\varepsilon$: $$ \lim_{x \to p}f(x) = q \bk \Leftrightarrow \bk \forall \varepsilon \!>\! 0 \bk \exists \delta \!>\! 0 \bk \forall x \!\in\! U_{p\delta} \!: f(x) \in U_{q\varepsilon} $$ \small In Worten: $q$ ist Grenzwert von $f$ an der Stelle $p$, wenn es f"ur jede $\varepsilon$-Umgebung um $q$ eine $\delta$-Umgebung um $p$ gibt, so dass die Funktionswerte von $f$ an allen Stellen der $\delta$-Umgebung um $p$ in der \hbox{$\varepsilon$-Umgebung} um $q$ liegen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Definition: Differenzierbarkeit} Sei $f: \mathbb A \to \mathbb R$ eine reelle Funktion. \vfil $f$ ist an der Stelle $x \in \mathbb A$ {\bf differenzierbar}, wenn der Grenzwert $$ f'(x) = \lim_{z \to x} \frac{f(z)-f(x)}{z-x} $$ existiert. Dieser Grenzwert heisst dann {\bf Differentialquotient} ({\bf "Anderungsrate}, {\bf Ableitung}) {\bf von $f$ and der Stelle $x$}. \vfil Ist $f$ in ganz $\mathbb A$ differenzierbar, so sagt man kurz: $f$ ist differenzierbar. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Definition: Stetigkeit} Sei $f: \mathbb A \to \mathbb R$ eine reelle Funktion. \vfil $f$ ist an der Stelle $x \in \mathbb A$ {\bf stetig}, wenn der Grenzwert an der Stelle $x$ existiert und gleich dem Funktionswert $f(x)$ ist: $$ \exists \lim_{z \to x} f(z) = f(x) \qquad \Leftrightarrow \qquad \text{$f$ stetig bei $x$} $$ \vfil \small Ist $f$ an jeder Stelle von $\mathbb M \subseteq \mathbb A$ stetig, dann hei"st $f$ stetig in $\mathbb M$. Ist $f$ in ganz $\mathbb A$ stetig, so sagt man kurz: $f$ ist stetig. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{$\varepsilon$-$\delta$-Definition der \\ Stetigkeit einer Funktion} Sei \\ \null\qquad $f: \mathbb A \to \mathbb R$ eine reelle Funktion, \\ \null\qquad $p \in \mathbb A$ und eine H"aufungsstelle von $\mathbb A$, \\ \null\qquad $U_{p\delta}$ eine Umgebung von $p$ in $\mathbb A$ mit dem Radius $\delta$ und \\ $f$ ist stetig an der Stelle $p$ wenn $$ \forall \varepsilon \!>\! 0 \bk \exists \delta \!>\! 0 \bk \forall x \!\in\! U_{p\delta} \!: |f(x)-f(p)| < \varepsilon $$ \vfill\small In Worten: F"ur jedes $\varepsilon$ gibt es eine $\delta$-Umgebung um $p$, so dass der Funktionswert von $f$ an allen Stellen der $\delta$-Umgebung in einer \hbox{$\varepsilon$-Umgebung} um den Funktionswert von $f$ an der Stelle $p$ liegt. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stetige Fortsetzung einer Funktion} Sei $f: \mathbb A \to \mathbb R$ eine reelle Funktion und $p$ eine H"aufungsstelle von $\mathbb A$. Sei weiters $$ q = \lim_{x \to p} f(x) $$ Die Funktion $$ \overline{f} = \left\{\begin{matrix} f(x) & x \in \mathbb A \backslash \{p\} \\ q & x = p \hfill\null \\ \end{matrix}\right. $$ hei"st "`{\bf stetige Fortsetzung von $f$ in die Stelle $p$}"'. \vfill\small Grenzwert "uber die Stetigkeit definiert: Wenn $\overline{f}$ an der Stelle $p$ stetig ist, dann ist $\overline{f}(p)$ der Grenzwert von $f$ an der Stelle $p$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stetigkeit von Polynomfunktionen \\ und rationalen Funktionen} \null\vfil\vskip-1em Jede Polynomfunktion ist an jeder Stelle $p \in \mathbb R$ stetig. Jede rationale Funktion $f(x) = {g_1(x)}/{g_2(x)}$ ($g_1$ und $g_2$ sind Polynomfunktionen) ist an jeder Stelle $p \in \mathbb R$ stetig, die nicht Nullstelle von $g_2$ ist. \vfil Beweis: Anwenden der Grenzwerts"atze f"ur Funktionen. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Zwischenwertsatz, Nullstellensatz \\ und Satz vom Vorzeichen \\ stetiger Funktionen} Sei $f: \mathbb A \to \mathbb R$ eine in $[a;b] \subseteq \mathbb A$ stetige Funktion. {\bf Zwischenwertsatz:} \\ F"ur jedes $q \in [f(a); f(b)]$ gibt es ein $p \in [a;b]$, so dass $f(p) = q$. D.h. $\{ f(x) | x \in [a;b] \} \supseteq [f(a); f(b)]$. {\bf Nullstellensatz:} \vskip-1.7em $$ \left.\begin{matrix} & f(a) < 0 < f(b) \\ \text{oder} & f(a) > 0 > f(b) \\ \end{matrix}\;\;\right\} \Rightarrow \exists p \in [a; b]: f(p) = 0 $$ {\bf Satz vom Vorzeichen:} \vskip-1.9em $$ f(p) > 0 \Rightarrow \exists\,\varepsilon\!>\!0: \forall\,x\!\in\![p\pm\varepsilon]: f(x) > 0 $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Stetigkeit differenzierbarer Funktionen} Ist eine Funktion $f$ an einer Stelle $p$ differenzierbar, dann ist $f$ an der Stelle $p$ stetig. Beweis aus dem Differentialquotienten (mit $z \neq p$): \vskip-1em $$ \exists \frac{f(z)-f(p)}{z-p} \bk\Rightarrow\bk f(z) = f(p) + \frac{f(z)-f(p)}{z-p} \cdot (z-p) $$ \begin{align*} \Rightarrow\bk \lim_{z \to p} f(z) \bk &=\bk \lim_{z \to p} \left( f(p) + \frac{f(z)-f(p)}{z-p} \cdot (z-p) \right) \\ \vbox{\vskip2em} &=\bk f(p) + f'(p) \cdot 0 \bk=\bk f(p) \\ \end{align*} \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Mittelwertsatz und Nullstellensatz \\ der Differentialrechnung} \null\vskip-1em {\bf Mittelwertsatz der Differentialrechnung:} \\ Ist $f: \mathbb A \to \mathbb R$ in $[a;b] \subseteq \mathbb A$ differenzierbar, so gibt es mindestens eine Stelle $z \in [a;b]$ mit $$ f'(z) = \smash{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \text{.} $$ \vfil {\bf Nullstellensatz der Differentialrechnung:} \\ Ist $f: \mathbb A \to \mathbb R$ in $[a;b] \subseteq \mathbb A$ differenzierbar und gilt $f(a) = f(b)$, so gibt es mindestens eine Stelle $z \in [a;b]$ mit $f'(z) = 0$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Untersumme und Obersumme} Sei $f: \mathbb A \to \mathbb R$ eine reelle Funktion und $x_0, x_1, x_2, .., x_n$ eine {\bf Zerlegung} des Intervalls $[a; b] \subseteq \mathbb A$. In jedem der Intervalle $[x_{i-1}; x_i]$ sei $f(k_i)$ der kleinste Funktionswert (bzw. das Infimum) und $f(g_i)$ der gr"osste Funktionswert (bzw. das Supremum). Dann hei"st \\ \vbox to 1.5em{}\hfil $U = \sum_{i=1}^nf(k_i)(x_i-x_{i-1})$ \\ \vbox to 1.5em{}{\bf Untersumme} von $f$ in $[a; b]$ und \\ \vbox to 1.5em{}\hfil $ O = \sum_{i=1}^nf(g_i)(x_i-x_{i-1}) $ \\ \vbox to 1.5em{}{\bf Obersumme} von $f$ in $[a; b]$. \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Integrale und Folgen von \\ Untersummen und Obersummen} Sei $f: \mathbb A \to \mathbb R$ eine reelle Funktion. Sei $\left$ eine Folge von Untersummen von $f$ "uber $[a; b]$, wobei das $n$ die Anzahl der Teilintervalle der zugrundeliegenden Zerlegung angibt. Sei $\left$ gleicherma"sen eine Folge von Obersummen. Wenn es eine Folge $\left$ und eine Folge $\left$ gibt, sodass beide Folgen gegen den selben Grenzwert konvergieren, dann hei"st dieser Grenzwert {\bf Integral} von $f$ "uber $[a; b]$ und $f$ {\bf integrierbar} "uber $[a; b]$: $$ \lim_{n \to \infty}U_n = \smash{\lim_{n \to \infty}O_n = \int_a^b\!f(x)\;\leibdx} $$ \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Integrierbarkeit von \\ stetigen Funktionen} Jede auf dem Intervall $[a; b]$ stetige Funktion $f$ ist in diesem Intervall integrierbar. \vfil F"ur in $[a; b]$ stetige Funktionen gilt insbesondere: $$ \int_a^b\! f(x)\; \leibdx \bk = \bk \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(\overline{x}_i)\cdot\Delta x $$ f"ur eine von $f$ unabh"anige Zerlegung (z.Bsp. einfach in gleich lange Teilintervalle). \vfil\null \end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{karte}{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}\vbox{ Sei $f: \mathbb A \to \mathbb R$ eine stetige reelle Funktion und $[a;b] \subseteq \mathbb A$. Dann ist $$ F_a: x \mapsto \int_a^x\! f(t)\; \leibdt $$ {\bf eine Stammfunktion} von $f$. Es ist also $F_a' = f$. \vskip-1em $$ \text{Beweis durch Umformung:} \quad f(x) = \lim_{z \to x}\frac{\int_a^z\! f(t)\; \leibdt - \int_a^x\! f(t)\; \leibdt}{z-x} $$ $$ \bk=\bk \lim_{z \to x}\frac{\int_x^z\! f(t)\; \leibdt}{z-x} \bk\stackrel{\footnotesize\star}{=}\bk \lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \int_x^{x+h}\hskip-1em f(t)\; \leibdt \bk=\bk f(x) $$ \vskip-2em {\footnotesize\null\hfill$^\star$ $h:=z-x$} }\end{karte} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}